Доклад "Математика в календаре"

АКТУАЛЬНОСТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ

С настенным календарём мы встречаемся каждый день. Это привычный и такой необходимый для нас предмет. Интерес к настенному календарю у нас появился после задачи, которую нам предложил учитель на уроке геометрии, при изучении темы «Прямоугольные треугольники»: «если соединить числа 10,20, и 30 января 2006 года, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник. Докажите это.» Задача про календарь и треугольники оказалась нестандартной задачей на признаки равенства треугольников и вызвала у большинства учащихся интерес и много вопросов. По совету учителя мы продолжили исследование задачи и постарались ответить на возникшие вопросы. Результатом нашего исследования стал проект «Математика в календаре».

ЦЕЛЬ: Доказать задачу про календарь и треугольники и найти другие задачи, для решения которых используется календарь.

ЗАДАЧИ:

1.  Изучить литературу по данной теме.

2.  Обработать полученную информацию.

3.  Познакомиться с историей появления календарей.

4.  Исследовать задачу про календарь и треугольники.

5.  Подобрать и исследовать задачи по теме «календари».

6.  Выявить какими особенностями обладают настенные календари.

На подготовительном этапе собрала материал по данной теме, систематизировала собранный материал, обдумала формулировку темы исследования. В Интернете нашла сведения из истории календаря и достаточно большое количество задач по теме «Календари», которые предлагались на различных олимпиадах и конкурсах.

Проведем исследование задачи про календарь и треугольники:

Задача: Если в календаре на январь 2006 года соединить числа 10, 20. 30, то получим равнобедренный прямоугольный треугольник. Доказать.

Решение:

Для удобства сделаем календарь на клетчатой бумаге.

Очевидно, что у треугольника 30 – 9 – 10 угол 9 прямой, и, аналогично, является прямым угол 13 у треугольника 10 – 13 – 20. Ясно, что стороны 9 -30 и 10 – 13 равны; аналогично равны стороны 9 – 10 и 13 – 20. Поэтому треугольники 9 – 30 – 10 и 13 – 10 – 20 равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, отрезки 10 – 30 и 10 – 20 равны. Так как сумма углов в треугольнике равна 180˚, получаем, что сумма острых углов в треугольнике 9 – 10 – 30 равна 180˚–90˚=90˚. Следовательно, сумма углов, дополняющих угол 10 треугольника 10-20-30 до развернутого угла, равна сумме острых углов треугольника 9 – 10 – 30. Значит, угол 10 тоже равен 90˚. Итак, треугольник 10 – 20 – 30 является равнобедренным прямоугольным.

Будет ли это утверждение верно для января любого года. Расположение чисел 10, 20 и 30 в январе зависит от того, каким днем недели будет 1 января

Анализируя рисунки, мы видим, что существует семь различных вариантов расположения дат в январском календаре. При этом существует всего три существенно различных ситуаций расположения чисел 10, 20 и 30, остальные получаются из первых двух, горизонтальными сдвигами треугольника.

Для первой ситуации мы доказали, что в задаче про «календарь и треугольники» получается равнобедренный прямоугольный треугольник.

Рассуждения для второго случая будут аналогичными.

Вывод: Табель – календари обладают следующей особенностью:

1. Если соединить числа 10, 20 и 30 в январе месяце любого года, то будет получаться равнобедренный прямоугольный треугольник (за исключением тех мест, где центры клеток 10, 20 и 30 лежат на одной прямой).

2. Заметили, что первая ситуация получается, если 1 число месяца приходится на воскресенье, понедельник и вторник.

3. Вторая ситуация получается, если 1 число месяца приходится на среду, четверг и пятницу. Если 1 число приходится на субботу, то получаем, что числа 10, 20 и 30 лежат на одной прямой.

ТАИНСТВЕННЫЕ КВАДРАТЫ В КАЛЕНДАРЕ

Исследуя календари, заметили, что в любом месяце можно выделить квадраты, состоящие из четырех чисел (2×2), из девяти чисел (3×3), из шестнадцати чисел(4×4). Какими свойствами обладают такие квадраты?

Квадрат 2×2

Сумма чисел на одной диагонали выделенного квадрата, равна сумме чисел на другой диагонали. Чтобы найти сумму всех четырех чисел достаточно сумму чисел одной диагонали умножить на 2. (8+16) ×2=48

Квадрат 3*3

Вычисление вслепую. На этот раз вообще не смотрим на календарь. Попросим зрителя выбрать на настенном календаре любой месяц и обвести на нем какой-нибудь квадрат, содержащий 9 чисел. Попрошу назвать наименьшее из чисел, попавших в этот квадрат. Через пару мгновений называю сумму этих 9 чисел. Прошу зрителя проверить с помощью калькулятора.

Чтобы это сделать, вам нужно прибавить к названному числу 8 и результат умножить на 9.

Квадрат 4*4

Фокус с нахождением суммы. В этом фокусе фокусник очень быстро может отгадать сумму чисел, входящих в обведенный квадрат на календаре. Для этого попрошу зрителя обвести на настенном календаре в любом месяце квадрат, содержащий 16 чисел. Бегло взглянув на него и производя в уме необходимые вычисления, называю сумму всех чисел, попавших в этот квадрат. Прошу зрителя проверить с помощью калькулятора.

Чтобы это сделать, вам нужно было умножить сумму двух чисел, стоящих на противоположных концах любой диагонали, обведенного квадрата, на 8.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В КАЛЕНДАРЕ

Изучив материал интернета, я нашла больше тридцати математических задач, для решения которых используются данные календаря. Вот некоторые из них:

1. Может ли быть в одном месяце 5 понедельников и 5 четвергов? Обоснуйте ответ.

Если в месяце 31 день, и он начинается с понедельника, то в нём может быть 5 понедельников, 5 вторников и 5 сред, но остальных дней недели по четыре, так как 5+5+5+4+4+4+4=31. Ответ: не может.

2. Может ли в феврале високосного года быть 5 понедельников и 5 вторников? Ответ обоснуйте.

Только в феврале високосного года может быть 5 понедельников и по 4 остальных дней недели, т.е. в сумме – 29 дней. Ответ: не может.

3. В феврале 2004 года 5 воскресений, а всего – 29 дней. На какой день недели приходится 23 февраля 2004 года?

Если в феврале 29 дней и 5 воскресений, то первое воскресение будет 1 февраля. Отсюда 23 февраля – понедельник.

4. В некотором месяце три пятницы пришлись на чётные числа. Какой день недели был 15 числа этого месяца?

Три пятницы, выпадающие на чётные числа месяца, могут быть только 2, 16 и 30 числа. 15 числа был четверг.

5. Известно. Что 1 декабря приходится на среду. На какой день недели приходится 1 января следующего года?

Среда 1, 8, 15, 22, и 29 декабря, четверг 30, пятница 31. Ответ: суббота 1 января следующего года.

ВЫВОДЫ

В ходе работы над проектом я пришла к следующим результатам:

1·  Доказала, что если соединить в табель – календаре в январе месяце любого года числа 10, 20 и 30, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник (кроме месяца, когда 1 число приходится на субботу);

2·  Показала, что в календаре можно выделять квадраты чисел 2×2; 3×3; 4×4, и применить правила быстрого подсчета суммы чисел в этих квадратах.

3·  Решила и исследовала задачи, которые можно предлагать на уроках математики и во внеклассной работе.

Таким образом, считаю, что значимость моей работы велика. Материалы исследования можно применять как нестандартные задачи на уроках геометрии в теме «Прямоугольные треугольники»; алгебры; математики в теме «Сложение натуральных чисел», и во время проведения устных вычислений. А также во внеклассной работе: показывая фокусы с настенным календарем. Для себя я открыла много нового, интересного. Научились ставить перед собой цель, планировать свои действия, находить информацию в сети Интернет, систематизировать её, выбирать из большого количества информации нужную, выполнять результаты исследования (рисунки) на компьютере в виде презентации.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1. Ресурсы Интернет.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Ушаковская средняя общеобразовательная школа»

МАТЕМАТИКА В КАЛЕНДАРЕ

Выполнила: ученица 8 класса

Верхотурова В.А.

Руководитель: Гегельская Е.В.

2018 г.