Двойной интеграл и его свойства. Вычисление двойного интеграла

Занятие 27. Тема «Двойной интеграл и его свойства. Приложение двойного интеграла»

План лекции:

1. Понятие двойного интеграла

2. Свойства двойного интеграла

3. Правила вычисления двойного интеграла

Понятие двойного интеграла

Определение: Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. В этом случае вместо отрезка интегрирования будет присутствовать какая-то плоская фигура.

Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом:

, где  – знак двойного интеграла;
D – область интегрирования (плоская фигура);

f(x;y) – подынтегральная функция двух переменных;
dx, dy  – элементы площади интегрирования.

Пусть D – некоторая замкнутая ограниченная область, а f(x,y) – произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области. Будем предполагать, что границы области D состоят из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y=f(x) или x=g(y), где f(x) и g(y) – непрерывные функции.

Свойства двойного интеграла

1. Если С – числовая константа, то ,

2. 

3. Если область D  “разбита” на области D1 и D2, то

4. .

Правила вычисления двойного интеграла

1. Чтобы вычислить двойной интеграл, нужно для начала построить область D в системе координат и определить границы этой области по оси Ох и по оси Оу. Затем выбрать один из видов области интегрирования по правилу 2, подставить в функцию и вычислить двойной интеграл по 3 правилу.

2. Различают два основных вида области интегрирования.

1. Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми х=а и х=b (ab), а снизу и сверху – непрерывными кривыми y= и y= ( ).

Для такой области интеграл вычисляется следующим образом

1. Область интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми у=с и y=d (cd), а слева и справа – непрерывными кривыми x= и y= ( )

Для такой области интеграл вычисляется следующим образом

1. При вычислении двойного интеграла сначала вычисляется внутренний интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница, считая одну из переменных постоянным числом:

1. здесь х считается постоянным числом.

2. здесь у считается постоянным числом.

Затем, вычисляется внешний интеграл также по формуле Ньютона-Лейбница.

Пример1. Вычислить двойной интеграл , где

Решение. 1. Строим область интегрирования D

2 . Находим границы области, то есть пределы интегрирования 1xy

3. Выбираем вид области интегрирования .

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая у - числом, которое можно вынести за знак интеграла. Получаем .

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл ,

где .

Решение. 1. Строим область интегрирования D

2. Находим границы области, то есть пределы интегрирования 1xy

3. Выбираем вид области интегрирования

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая х - число. Получаем.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Ответить на контрольные вопросы:

1. Что называется двойным интегралом?

2. Перечислите основные свойства двойного интеграла.

3. На какие виды делится область интегрирования?

4. Каким образом вычисляется двойной интеграл?

5. Что делать с переменной, если она в интеграле не является интегрируемой?

6. Пользуясь учебником П.Е. Данко «Высшая математика в упражнениях и задачах» часть 2, разобрать №4 стр.8 рис.3, выписать в тетрадь.

Выполненное задание отправить на адрес электронной почты преподавателя. Имя файла – фамилия студента и номер занятия. (например Петров-27)