ЕГЭ по математике. Задание № 19

Овечкинская

СОШ филиал МКОУ «Гоноховская СОШ Завьяловского района »

ЕГЭ по математике.

Задание № 19

Выполнила: Богданова Ольга Николаевна, учитель математики

№ 19

Найдите наименьшее трёхзначное число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 даёт остаток 2, при делении на 5 даёт остаток 3, и которое записано тремя различными нечётными цифрами.

Решение:

Так как число наименьшее, то первая цифра 1.

Так как при делении на 5 даёт остаток 3, то на конце может быть 3 или 8. Но 8 не подходит, так как цифры должны быть нечетные.

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Чтобы получился остаток 2, нужно чтобы сумма цифр результирующего числа была больше той, что делится на 3 ровно на 2.

Ответ: 143

№ 19

Найдите четырёхзначное натуральное число, меньшее 1360, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

По признакам делимости : на 1, на 2, на 3, на 4 и т.д.

Так как число меньшее 1360, то 1 будет первая цифра.

Чтобы число делилось на 2, на конце будет четная цифра.

Чтобы число делилось на 4, на конце будет число, образованное двумя цифрами, которое делится на 4, например, 36.

Чтобы делилось на 3 добавим вторую цифру так, чтобы сумма цифр делилась на 3, например, 2

Проверим, число делится на 6.

Ответ: 1236

№ 19

Найдите наименьшее четырёхзначное число, кратное 11, у которого произведение его цифр равно 12.

Решение:

Разложим число 12 на множители таким образом, чтобы их было ровно 4 (так как четырехзначное) и все они были цифрами:

12 = 6 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 4 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 1 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1

Чтобы число делилось на 11, нужно чтобы сумма цифр, стоящих на четных местах, была равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, или отличалась на 11 . Попробуем разбить каждый из наборов на 2 группы цифр (по 2 цифры в каждом), чтобы они соответствовали условию кратности: первые два набора нельзя так разбить, остается только третий 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1. Составляем по признаку число 1232.

Ответ: 1232

№ 19

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 19, сумма цифр которого на 1 больше их произведения.

Решение:

Например, если сумма цифр равна 7, то произведение должно быть равно 6 (или сумма 5, произведение 4)

Это выполнено для чисел, записываемых тройкой, двойкой и двумя единицами, т.е. 3211, 2311, 1123, 1132, 1213, 1312.

Проверяем делмость на 19

Поскольку число 3211 кратно 19, оно и является искомым.

Ответ: 3211

№ 19

Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого больше 40, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение:

Так как произведение цифр больше 40, но меньше 45, то оно может быть 41, 42, 43, 44.

Нам подходит только 42 = 6 · 7, те. 1,1 ,6,7

Число кратное 12, то последняя цифра четна, т.е. 6, получим 1,1,7,6

Составляем из этих цифр числа и проверяем их делимость на 12

Ответ: 1176

1716, 7116, 1176

Найдите наименьшее пятизначное число, кратное 55, произведение цифр которого больше 50, но меньше 75. В ответе укажите ровно одно такое число.

№ 19

Решение:

Так как произведение цифр больше 50, но меньше 75, то оно может быть 51, 52, 53, 54....74

Так как число делится на 55, то нам подходит только 55, 60, 65,70

Разложим на простые множители: 55 = 5 · 11, 60 = 15 · 4= 5 · 3 · 2· 2 , 65 = 13 · 5, 70 = 14 · 5 = 2 · 7 ·5

Так как число наименьшее, то нам подходит 70 и оно пятизначное, добавим две 1.

Число кратное 55, то последняя цифра 5, получим 1,1,2,7,5. Составляем из этих цифр числа и проверяем их делимость на 55

Ответ: 11275

Решение:

Так как произведение цифр больше 40, но меньше 45, то оно может быть 41, 42, 43, 44.

Нам подходит только 42 = 6 · 7, те. 1,1 ,6,7

Число кратное 12, то последняя цифра четна, т.е. 6, получим 1,1,7,6

Составляем из этих цифр числа и проверяем его делимость на 12

Ответ: 1176

1716, 7116, 1176

№ 19

Решение:

Так как число больше 300, но меньше 350, то первая цифра числа 3. Так как прибавляем 2, то на конце должен быть в сумме ноль, значит, последняя цифра 8, т.е число 3 . 8

Находим сумму цифр, чтобы делилась на 7, это цифра 3 (3+3+8=14), т.е. 338

Проверяем все условия: 3+3+8 = 14 делится на 7

338 + 2 = 340 (3+4+0=7), 7 делится на 7

Число 338 больше 300 и меньше 350

Ответ: 338

Решение:

Так как число меньше 3000, то первая цифра числа 2 или 1. Пусть будет сначала 2. Так как прибавляем 2, то на конце должен быть в сумме ноль, значит, последняя цифра 8, т.е число 2 . . 8

Находим сумму цифр, чтобы делилась на 8, это цифра 2 и 4, т.е. 2248 или 2428

Проверяем все условия: 2+2+4+8 = 16 делится на 8

2248+2=2250 или 2428 + 2 = 2430, сумма цифр 8, не делится на 7, значит первая цифра будет не 2, а 1, получим 1248 или 1428. Проверим: 1248+2=1250 и 1428+2=1430

Число меньше 3000

Ответ: 1250 или 1430

Найдите трёхзначное число  A , обладающее всеми следующими свойствами:

  · сумма цифр числа  A  делится на 8;

  · сумма цифр числа  A  + 1 делится на 8;

  · в числе  A  сумма крайних цифр кратна средней цифре.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

№ 19

Решение:

Так как прибавляем 1, то на конце должен быть в сумме ноль, значит, последняя цифра 9, т.е число . . 9

Находим сумму цифр, чтобы делилась на 8, это цифра 5 и 2, т.е. 529 или 259

Проверяем все условия:

529+1=530 или 259 + 1 = 260, сумма цифр 8, делится на 8, значит первая цифра

В числе  сумма крайних цифр кратна средней цифре: 529 (5+9=14, 14 кратно2)

259 (2+9=11, 11 не кратно 5), значит это число 529

Ответ: 529

№ 19

Сумма цифр трёхзначного числа  A  делится на 13. Сумма цифр числа A +5 также делится на 13. Найдите такое число  A .

Решение:

Так как сумма цифр числа делится на 13, то цифры могут быть: 1,5,7 (сумма цифр 13) или 8,9,9 (сумма цифр 26) и т.д.

Составляем числа и проверяем условия: 1,5,7 не подходят.

А вот 8,9,9. подходят: 899 + 5 = 904 (сумма цифр равнв 13, 13 делится на 13)

Ответ: 899

№ 19

Найдите четырёхзначное число, кратное 88, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Четные цифры: 0,2,4,6,8

Число кратное 88, значит оно делится на 2,4,8,11

Используем признаки делимости на 4 и 11. Составим такие числа: 2 6 8 4, 2 0 6 8

2 8 6 0, 2640,6248, 8624

Ответ: 2640

Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

№ 19

Решение:

Так как число делится на 12, то оно делится на 4, на 3.

Так как число делится на 4, то оно четно, т.е на конце число ,образованное двумя цифрами делится на 4, т.е. последнюю 1 вычеркиваем, на конце 12

181615 12

Еще надо вычеркнуть две цифры. Число делится на 3, то сумма цифр делится на 3. Найдем сумму цифр 181615 (22). Надо убрать 1, или 4, или 7, или 10

Надо вычеркнуть две цифры. 1 мало, 4 не получается. Можно убрать 7

(6 и 1), получим 1811512, и др

Ответ: 1811512

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.

№ 19

Решение:

Так как число делится на 24, то оно делится на 4, на 2 и 3

Так как число делится на 2, то оно четно, на 4 - на конце число, образованное двумя цифрами делится на 4, т.е, на конце . . . . 12

Число делится на 3, то сумма цифр делится на 3. Составляем такие числа:

1221 12 , 2121 12 , 2211 12

Ответ: 122112