Экскурс в современную теорию множеств

Автор презентации: Акулькина А.Р.

Как появилась современная теория множеств?

Краткая историческая справка и интересные факты

Все началось с бесконечности

Что породило теорию множеств?

• Первое формальное появление понятия „множества“ связано с трудами Георга Кантора во второй половине XIX века - это крайне молодая область математики
• Однако, концепция множеств уходит корнями глубоко в Древнюю Грецию
• И перед математиками древности, и перед математиками современности стояла проблема бесконечности

0 будет всё больше и больше - т.е. оно стремится к бесконечности Бесконечность эта потенциальная, никто никогда ее не видел и не увидит, это просто синоним к „очень-очень-очень… много“ " width="640"

Бесконечность: актуальная и потенциальная

• Можно ли делить на ноль?
• Конечно же, выражение 1/0 как минимум не имеет смысла, а как максимум криминально :)
• Подумайте сами: существует ли число, которое можно умножить на ноль и получить 1?
• Но если мы знакомы с теорией пределов, можно, конечно же сказать, что 1/x при x-0 будет всё больше и больше - т.е. оно стремится к бесконечности
• Бесконечность эта потенциальная, никто никогда ее не видел и не увидит, это просто синоним к „очень-очень-очень… много“

Потенциальная бесконечность

• Другой пример потенциальной бесконечности:
• Постулат Эвклида о параллельных прямых стал „головной болью“ для многих поколений математиков
• По сути, прямые рассматривались как „потенциально бесконечные“ отрезки, которые можно „в теории“ продолжать все дальше и дальше
• Если две параллельные прямые нельзя воспринять как истинные бесконечные сущности, есть ли вероятность, что где-то далеко они все-таки пересекутся?

Актуальная бесконечность

• Актуальная же бесконечность должна представляться как единый целостный объект, а не процесс
• Актуальной бесконечностью может представляться иррациональное число π или е
• Для древнегреческих мыслителей ря натуральных чисел был потенциальной бесконечностью - это был процесс бесконечного счёта, а для Кантора множество натуральный чисел - уже актуальная бесконечность, поскольку является самостоятельным объектом

Пока Аристотель пытался сосчитать все натуральные числа, Кантор просто сделал из них множество

Отрицание актуальной бесконечности

• Фома Аквинский: только Бог может быть бесконечным безусловно, все остальное же бесконечным условно
• Карл Фридрих Гаусс: я прежде всего протестую против применения бесконечной величины как завершённой, в математике это никак не допустимо. Понятие бесконечности есть лишь способ выражения понятия предела
• Аристотель: если бы она была возможна, то нечто достигло бы бесконечной величины и было бы «больше небес»

Фридрих Ницше: „по ту сторону добра и зла“

• Мера чужда нам, сознаемся в этом; нас щекочет именно бесконечное, безмерное . Подобно всаднику, мчащемуся на фыркающем коне, мы бросаем поводья перед бесконечным , мы, современные люди, мы, полуварвары, - и там лишь находим наше блаженство, где нам грозит и наибольшая опасность

Миру нужен был бунтарь от математики

• Если с потенциальной бесконечностью всё было достаточно просто и для математиков, и для философов с богословами, то бесконечность актуальная не давала покоя никому из них
• Математический объект, который нельзя ни сосчитать, ни измерить, ни уместить целиком в голове, лучшим умам предстояло не только найти, но и попытаться описать

Зенон Элейский (490-430 до н.э.)

• Рассуждение о множественности мира:
• Е сли существующих в мире вещей много, то их должно быть столько, сколько их есть - не больше и не меньше (то есть, их можно сосчитать), но ведь между двумя любыми вещами найдутся еще вещи, а между ними - еще, а значит, существующих в мире вещей неограниченно много.

• Другие, более знаменитые апории Зенона (Ахиллес и черепаха, „недвижимая“ стрела и „бесконечная комната“) также затрагивали проблему бесконечности и разрешились уже благодаря появлению анализа бесконечно малых.

Древнеиндийская философия

• Иша-упанишада (IV-III век до н.э.): Добавление или удаление части из бесконечного объекта оставляет его бесконечным
• Сурья-праджнапти-сутра (400 гг. До н.э.): все величины относятся к перечислимым, неперечислимым и бесконечным (почти бесконечным, истинно бесконечным и бесконечным бесконечным)
• Эти тезисы очень и очень близки к мыслям Георга Кантора (а значит, к современной теории множеств)

Галилео Галилей (1564-1642)

• Натуральных чисел столько же, сколько их квадратов, поэтому точных квадратов чисел и всех натуральных чисел одинаковое количество

• Так, известный ученый предвосхитил появление понятия равномощных бесконечных множеств, хоть данное открытие и было для него парадоксом
• Подумайте сами: квадраты чисел - часть от всех натуральных чисел, а часть всегда меньше целого, но все же, для каждого квадрата найдется свое натуральное число и наоборот - разве это не парадокс?

Огюстен луи коши (1789-1857)

• Парадокс Галилея привлек и знаменитого математика О. Коши, он подошел к его решению следующим образом:
• Если выписать весь ряд натуральных чисел, а под ним - ряд их квадратов, то можно заметить:
• На первые 10 натуральных чисел приходится 3 квадрата (1, 4, 9)
• На 100 - 10 квадратов, на 1000 - 31 квадрат и т.д.
• Если посчитать процентное соотношение натуральных чисел к квадратам, оно постепенно будет приближаться к нулю (0.3, 0.1, 0.031…)
• Отсюда Коши делает вывод, что множества не равны

Бернард Больцано (1781-1848)

• Б. Больцано можно считать идейным вдохновителем Г. Кантора, он фактически заложил фундамент будущей теории множеств
• В его работе „Парадоксы бесконечного“ (1851) впервые можно встретить понятие „множество“ и „взаимно-однозначное соответствие“, „верхняя граница множества“ и т.д.
• Целью „Парадоксов“ было переосмыслить бесконечность с точки зрения математики и отойти от чисто философского восприятия.

Георг Кантор (1845-1918)

• Однажды друг Кантора Э. Гейне предложил ему задачу о сходимости тригонометрических рядов (рядов Фурье), и это стало толчком к зарождению нового раздела математики - теории множеств
• Революционные мысли Кантора многие восприняли враждебно - он посягнул на „божественность“ бесконечности и сломал многовековые представления о ней
• Честь своей теории Кантору пришлось отстаивать как среди математиков, так и среди философов
• Множество - это многое, мыслимое как единое
• Кантор также показал, что множества бывают счетными и континуальными (несчетными)

Георг кантор

• Кантор разрешил парадокс Галилея одним простым положением: количество вторично по отношению к равенству количеств
• Для того, чтобы сравнить два бесконечных множества, нужно не пересчитывать в них элементы, а установить взаимно-однозначное соответствие (попытаться разбить элементы на пары)
• Так, Коши неправильно подошел к сравнению множеств натуральных чисел и их квадратов - он попытался „сосчитать“ в них элементы, что бессмысленно для бесконечных множеств

Бесконечности счётные

• Вернёмся к родному каждому множеству натуральных чисел ℕ
• Хоть оно и бесконечное, но каждый элемент имеет строго определённый номер
• Мы можем точно сказать, что число 7 находится на седьмом месте, а 8 - на восьмом, гарантируя, что между ними не втиснется какой-либо ещё элемент
• Мы можем взять любое конечное подмножество (например, все двузначные натуральные числа), полностью его перечислив и не упустив ни одного элемента
• Именно поэтому множество натуральных чисел - бесконечное, но при этом счётное

Сопоставлять, а не считать!

• Помните парадоксы, связанные с различными бесконечными множествами?
• Как сравнивать натуральные числа с множеством чётных или с множеством их квадратов?
• Кантор понял, что сравнивать такие множества по количеству элементов - глупо, ведь их бесконечно много. Их нужно сопоставлять друг с другом - вот и всё
• Если для каждого элемента из первого множества найдётся парный элемент из второго (возможно взаимно-однозначное соответствие), то такие множества будут равномощными
• Так, множество натуральных чисел, четных и нечетных чисел, квадратов натуральных чисел являются равномощными - попробуйте это доказать (определите способ нахождения пар для элементов).

БЕСКОНЕЧНОСТИ НЕСЧётные

• Теперь рассмотрим множество всех вещественных чисел на отрезке [0; 1] (кстати, отрезок можно расширить, сузить или сместить как душе угодно)
• Можно ли по порядку „прочесать“ весь этот отрезок, ничего не упустив?
• Можно ли сопоставить элементы этого отрезка с натуральными или целыми числами?
• Подумайте над возможными способами или доказательством невозможности счетности этого множества

Диагональный аргумент Кантора

• Предположим, мы смогли пересчитать все элементы и даже расположить их в некотором порядке (s1, s2, …, s11, …)
• Для удобства запишем только дробную часть в двоичной системе (хотя мы можем использовать и все 10 цифр)
• Теперь составляем число, которое не вошло в наш список (а значит, мы его не посчитали)
• Последовательно спускаемся по диагонали, меняя цифры на противоположные (s=10111010011…)
• Оно не совпадет с s1 по первой цифре, с s2 - по второй, … с s11 по 11 и т.д.
• Множество [0,1] - несчетное

Так Что такое бесконечное множество?

• Множество бесконечно, если его мощность больше любого натурального числа
• Но такая формулировка нестрогая и упирается в вопрос бесконечности множества натуральных чисел
• Р. Дедекинд предложил следующее определение:
• Множество бесконечно, если у него существует подмножество, которое можно взаимно-однозначно сопоставить с целым множеством

Рихард дедекинд (1831-1916)

Мощности бесконечных множеств

• Мощность счетного бесконечного множества невозможно было выразить натуральным числом, поэтому Кантор предложил обозначение - алеф-нуль для всех счетных
• И для континуальных (несчетных) множеств - например, для множества всех вещественных чисел
• В дальнейшем в сообществе математиков встала проблема континуум-гипотезы - есть ли такие множества, которые по своей мощности будут находиться между этими двумя значениями? Есть ли множества, мощностью больше, чем множество вещественных чисел?

Теория множеств Кантора стала называться „наивной“

Тем не менее, она породила большой переполох в математике, да и не только в ней

Теория Кантора подарила математике множество, но не объяснила, что это такое

• Понятие множества в теории Кантора оказалось достаточно расплывчатым и недостаточно математическим
• Эта „дыра“ в теории позволила проворачивать самые разные „трюки“ и порождать парадоксы
• Множества можно было строить как угодно и из чего угодно, формируя самые противоречивые, взаимоисключающие или зацикленные сами на себе условия
• Такие условия стали основой интересных парадоксов

Парадокс Рассела (брадобрея)

• Назовем множество „хорошим“, если оно не содержит само себя и „плохим“, если содержит
• Пусть у нас есть множество всех „хороших“ множеств - будет ли оно содержать само себя?
• Брадобрей бреет всех горожан, которые не могут побриться сами - кто будет брить брадобрея?
• Патологический лжец сказал: „я сейчас соврал“ - верить ему или нет?
• Придумайте свою версию такого парадокса

Парадокс кантора

• Сам Кантор наткнулся на несовершенство своей теории в следующем парадоксе:
• Невозможно построить множество всех множеств - универсум
• Такое множество должно включать и само себя, и, логично, быть самым большим по мощности
• Но на основе любого множества можно построить множество большей мощности - построив множество всех подмножеств
• Таким образом, „универсум“ также можно было бы „расширить“ - парадокс

Аксиоматика теории множеств - ввод строгих „правил игры“

• Аксиомы Цермело-Френкеля (ZFC-аксиоматика): озвучивают как совсем очевидные вещи (например, множества с одинаковыми элементами равны, существуют пустые множества, из пары множеств можно построить третье, либо их объединение и т.д.), так и более сложные положения, которые были призваны решить парадоксы
• Аксиома выделения - всегда можно построить подмножество из элементов множества, удовлетворяющих определенному условию
• Аксиома регулярности - каждое непустое множество содержит хотя бы один элемент, не имеющий общих элементов с исходным - это позволит избежать парадокса Рассела, предполагавших зацикленные определения множеств
• Аксиома булеана - для каждого множества существует множество всех его подмножеств - отсюда невозможен „универсум“ как самое мощное множество всех множеств
• Аксиома выбора - существует способ выбрать по одном элементу из каждого множества в некотором семействе множеств

NBG-аксиоматика

• Аксиоматика Неймана-Бернайса-Гёделя (NBG) является расширением ZFC-аксиоматики и еще одним вариантом разрешения известных парадоксов
• Отличительная особенность этого подхода - введение понятия собственного класса - это объект, похожий на классическое множество, но он сам не может являться элементом другого объекта.
• Классы - это строгое ограничение, которое не разрешает составлять нечто подобное множествам из парадокса Рассела: множество всех „хороших множеств“ не включает само себя, если оно станет собственным классом, а не канторовым множеством

Влияние теории множеств на современную математику

• Наивная теория Кантора навела переполох в мире математики, что заставило лучшие умы активно реформировать математический язык
• Аксиоматика Цермело-Френкеля повлияла не только на саму теорию множеств, но и на математическую логику, принципы доказательств теорем
• Теорема К. Гёделя о неполноте (о существовании теорем, которые невозможно будет ни доказать, ни опровергнуть) построена так же на языке теории множеств
• Теория множеств и ее язык стали базой для топологии, общей алгебры, функционального анализа, теории групп, да и в принципе, для всех разделов современной математики