Элементы теории множеств (Презентация)

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

• Определение множества

Множество - это совокупность предметов, безразлично какой природы, собранных по какому-либо признаку.

множество целых чисел

Например,

множество студентов

коллекция картин

Георг Кантор (1845 – 1918) – основатель теории множеств – сказал:

«Множество – есть многое, мыслимое как единое».

• Множество состоит из элементов .

Например, числа 5, 14 являются элементами множества целых чисел.

• Множества обозначают:
• A , B , C , D , …, X , Y , Z
• Элементы:
• a , b , c , d , …, x , y , z
• Если объект а является элементом множества А, то пишут:
• а  А ( а принадлежит множеству А ),
• Иначе :
• а  А (а не принадлежит множеству А).
• Так, 14  Z 7.3  N . ( Z – множество целых чисел ),

• Пустое множество – это множество, не содержащее элементов, обозначают  .
• Мощность множества А – это число элементов этого множества, обозначают |A|.
• Например, если А – множество чисел: { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } , то |A|=9 .
• Множество А конечно , если содержит конечное число элементов.
• Пример конечного множества :
• множество стран мира
• Пример бесконечного множества :
• множество натуральных чисел,
• множество вещественных чисел из интервала (0, 1).

Способы задания множеств

1. Перечисление элементов .

Этот способ применим лишь для конечных элементов.

Например,

А={Европа, Азия, Америка, Африка, Австралия},

В={а, е, и, о, у, э, ю, я}.

2. С помощью характеристического свойства

Характеристическое свойство множества – это свойство, которым обладают все элементы этого множества.

Если множество А задано характеристическим свойством P , то это обозначают:

A={x | P (x)}

Например,

• A={x | x  N, x
• B={x | x – отличник }

A={x | x  N, x

3. С помощью порождающей процедуры

Порождающая процедура - это процедура, которая, будучи запущенной, порождает некоторые объекты, являющиеся элементами определяемого множества.

• Пример 1 : множество целых чисел в диапазоне от m до n обозначают так: m .. n , то есть

m .. n :={ k є Z | m ≤ k & k ≤ n }.

• Пример 2 .
• A={x k =3+2(k 2 +1)}, k=0,1,2,…

примеры

Пример 1 . Задать перечислением множество, заданное характеристическим свойством:

• A={x  Z| x 2 +4x-12  0}

Ответ: А={-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2}

Пример 2 . Описать множества точек М плоскости таких, что { M  |  OM = R  }

Решение.

Точка О( x 0 , y 0 ) – центр окружности радиуса R , заданной уравнением

• ( x - x 0 ) 2 +( y - y 0 ) 2 = R 2 ,

Искомое множество: A ={( x , y ) | ( x - x 0 ) 2 +( y - y 0 ) 2 = R 2 }

Пример 3 . Перечислить элементы множества М, заданного порождающей процедурой:

• 5  М;
• если a  М, то 1/ a  М;
• если a  М, то (1- a )  М;

Множество М конечно и состоит из 6 элементов, а именно,

Сравнение множеств

Множество А содержится в множестве В , если каждый элемент А есть элемент В:

• А  В := х  А  х  В.

В этом случае А называется подмножеством множества В, а В - надмножеством А.

Если А  В и А  В, то А называется собственным подмножеством В.

B

A

равны ,

  

    равномощными .

Булеан

Множество всех подмножеств множества М называется булеаном и обозначается :

• 2 М  А  А  М  .

• Теорема. Для конечного множества М:  2 М  =2  М  .

Операции над множествами

Будем предполагать, что все множества являются подмножествами некоторого фиксированного множества U , которое назовём универсальным .

A

B

U

Пересечением множеств А и В называется множество, обозначаемое А  В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам - А и В.

Или:

А  В=  х  х  А и х  В  .

А

В

Например,

{1, 2, 5}      {1, 5, 6}   =   {1, 5};

{ 1, 3}      {2, 4, 5}=  .

А  В

Пересечением множеств А и В называется множество, обозначаемое А  В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам - А и В. Или: А  В=  х  х  А и х  В  .

B

Множество А

Множество В

В

А

A

А  В =

• Если А – множество всех чётных чисел;
• В – множество всех простых чисел,
• то
• А  В=  2  .
• Если
• А – множество студентов мужского пола;
• В – множество мужчин старше 20 лет, то
• А  В – множество студентов мужского пола старше 20 лет.

Объединением множеств А и В называется множество, обозначаемое А  В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В.

А  В=  х  х  А или х  В 

----------------------------------------------------------

А

В

Например,

{1, 2}  {2, 3, 4, 5}={1, 2, 3, 4, 5}.

А  В

A

B

Объединением множеств А и В называется множество, обозначаемое А  В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В.

А  В=  х  х  А или х  В 

--------------------------------------------------

A

B

A

Например,

{1, 2}  {2, 3, 4, 5}={1, 2, 3, 4, 5}.

B

• Пусть А  В.
• Разностью множеств А и В называют множество, состоящее из всех тех и только тех элементов из А, которые не принадлежат В.
• А   \   В=  х  х  А  х  В  .
• ---------------------------------------------
• Например,
• А={1, 2, 3}, В={3, 4, 5}.
• A \ B={1, 2}.

А

А

В

B\A

A

B

A\B

B\A

• Симметрическая разность:
• А ∆ В=(А  В) \ (А  В)=  х  (х  А  х  В)  (х  А  х  В)  .
• Например, А={1, 2, 3}, В={3, 4, 5}. Тогда A ∆ B={1, 2, 4, 5}.
• Дополнение множества А :
•  А ={x  x  A}.
• Операция дополнения подразумевает некоторый универсум U :   А =  U  \  A .

ЛИТЕРАТУРА

• Виленкин Н.Я. Комбинаторика. М., Наука, 1969.