Элективный курс "Модули"

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №129

Советского района города Волгограда

Элективный курс по теме:

«Уравнения и неравенства с модулями».

Составитель спецкурса

учитель математики

высшей категории

Иванас Ирина Анатольевна

Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс соответствует:

• современным целям общего образования;

• основным положениям концепции профильной школы;

• перспективным целям математического образования в школе.

Программа данного курса рассчитана на всех учащихся 11 класса, желающих иметь успехи в математике, повысить математическую культуру, развить сообразительность и навыки устных и письменных вычислений, рассматривает основные понятия, связанные с выполнением заданий, содержащих модули. Курс рассчитан на 17 часов.

Учитывая склонности, интересы и уровень подготовленности учащихся

возможно использование лекционно-семинарских занятий, практикумов по решению разноуровневых заданий, позволяющих на конкретных примерах увидеть, как на практике применяется метод интервалов при решении уравнений и неравенств, а так же систем уравнений и неравенств,

содержащих модули, что будет способствовать развитию положительной мотивации учащихся во время математической подготовки к ЕГЭ и вступительным экзаменам в ВУЗ.

В процессе изучения данного курса учащиеся расширяют знания о модуле, о приложении метода интервалов к решению уравнений и неравенств, содержащих модули, получают возможность практического

применения данного метода при решении заданий во время фронтальной, групповой и индивидуальной подготовки, овладевают умением работать

с научной и справочной литературой.

Содержание курса направлено на выработку общих учебных умений и навыков по решению уравнений и неравенств, а также их систем, на

формирование обобщённых способов познавательной, коммуникативной, творческой деятельности.

В процессе изучения курса учащиеся могут включиться в такие виды деятельности, как:

• поиск и анализ необходимой информации, в том числе с помощью Интернета;

• работа в группах при составлении заданий;

• устные выступления по способам решения с последующей дискуссией;

• оформление результатов деятельности в форме набора уравнений и неравенств, а также их систем или компьютерной презентации и т.д.

Поскольку курс предполагает личностно-ориентированный подход, то школьники могут выбирать или не выбирать участие в презентациях.

Цель курса - познакомить учащихся с методами решения уравнений и неравенств, основанными на материале программы общеобразовательной средней школы, проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо освоенных школьных знаний и привить учащимся навыки применения различных методов рассуждений.

Задачи:

• повысить интерес к математике за счет дифференцированного подхода к решению математических заданий;

• способствовать развитию практического опыта решения уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств, содержащих модули;

• формировать умение работать со справочной литературой, находить и использовать информацию в рекомендованных изданиях.

Оценка работы учащихся в процессе изучения курса дихотомическая: зачет и незачет.

Целью аттестации по данному элективному курсу является констатация

личных достижений учащихся по освоению содержания, а также качественная оценка самостоятельно выполненных индивидуальных работ.

Основными результатами освоения учащимися содержания элективного курса является определенный набор умений: как общеучебных, так и связанных с практическими умениями и навыками, а также приобретение опыта исследовательской деятельности при решении заданий повышенного уровня.

Если учащийся прослушал весь теоретический материал курса, принял

активное участие в практикумах, успешно выполнил индивидуальные домашние задания, продемонстрировал умение использовать справочную

литературу, научился работать в группах, находить и использовать

информацию в рекомендованных изданиях, он набирает от 51 до 100 баллов

и получает зачет.

Формой итоговой отчетности может быть защита самостоятельно составленных заданий или групповая работа с презентацией решенных заданий в форме круглого стола.

Учебно-тематический план.

№ п/п	Тема занятия	Кол- во ча- сов	Форма занятия	Форма контроля
1	Модуль действительного числа и его свойства.	1	Лекция
2	Модуль действительного числа и его свойства.	1	Практикум	Участие в практикуме.
3	Модуль функции.	1	Лекция	Фронтальная работа.
4-5	Модуль функции.	2	Практикум	Участие в практикуме.
6	Уравнения с модулями.	1	Лекция	Фронтальная работа.
7-8	Уравнения с модулями.	2	Практикум	Индивид. домашнее задание.
9	Неравенства с модулями.	1	Лекция	Фронтальная работа.
10- 11	Неравенства с модулями.	2	Практикум	Индивид. домашнее задание.
12	Системы уравнений и неравенств.	1	Лекция	Фронтальная работа.
13-14	Системы уравнений и неравенств.	2	Практикум	Индивид. домашнее задание.
15-16	Защита проектов и творческих заданий.	2	Круглый стол	Презентации. Отчеты.
17	Резерв.	1

Содержание курса.

1. Модуль действительного числа.(3ч.)

(лекция 1ч.; практика 2ч.)

Определение модуля действительного числа. Свойства модуля действительного числа. Применение определения модуля и его свойств при решении практических заданий.

2.Модуль функции. (3ч.)

(лекция 1ч.; практика 2ч.)

Определение модуля функции. Свойства модуля функции.

Применение определения модуля и его свойств для решения практических заданий.

3.Уравнения с модулями. (3 ч.)

(лекция 1ч.; практика 2ч.)

Равносильность. Метод промежутков. Алгоритм решения уравнений, содержащих модули, методом промежутков.

4. Неравенства с модулями.(3 ч.)

(лекция 1ч.; практика 2ч.)

Равносильность. Метод промежутков. Алгоритм решения неравенств, содержащих модули, методом промежутков.

5.Системы уравнений неравенств. (3 ч.)

(лекция 1ч.; практика 2ч.)

Алгоритм решения систем уравнений и неравенств. Равносильность.

6. Защита проектов (задач).( 2 ч.)

7. Резерв (1 ч.)

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

Тема 1. Модуль действительного числа и его свойства.

Занятие № 1

Модуль действительного числа и его свойства (лекция).

ЦЕЛИ: повторить и уточнить знания учащихся; рассмотреть свойства модуля, его геометрический смысл; способствовать выработке навыков в упрощении выражений, содержащих модуль.

Методические рекомендации.

Вначале решение упражнений должно сопровождаться объяснением, опирающимся на определение модуля и его геометрический смысл. В дальнейшем необходимо добиться автоматизма в решении упражнений типа |7|=7; |-3|=3; |1- √2|= √2-1. Записать в тетрадях определение модуля, обсудить геометрический смысл модуля (сделав необходимые записи и чертежи).

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Лекция.

План:

1. Дать определение модуля (привести примеры).

2. Рассмотреть некоторые свойства модуля.

3. Дать геометрическое толкование модулю.

II. Решение упражнений, содержащих модуль по выбору учителя с учетом уровня подготовки учащихся: например, №№ 1, 2.

III. Самостоятельное решение упражнений с комментариями: например, № 3, №18 (а), №19 (г).

IV. Домашнее задание: №№ 6, 8, 9, 19 ( а - в )*.

* Здесь и далее: смотри дидактический материал для учащихся

( приложение).

Занятие № 2

Модуль действительного числа и его свойства (практикум).

ЦЕЛИ: закрепить изученный материал; познакомить учащихся с преобразованием некоторых типов выражений, содержащих модуль; упражнять в упрощении выражений, содержащих модуль.

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. ФРОНТАЛЬНЫЙ ОПРОС.

1. Дайте определение модуля числа.

2. Дайте геометрическое истолкование модуля.

3. Может ли быть отрицательным значение суммы 2+|x|?

4. Может ли равняться нулю значение разности 2|x|-|x|?

5. Как сравниваются два отрицательных числа?

1. Устная работа (полезные упражнения).

Раскрыть модуль:

1) |∏-3|; 6) | (x-1)(x+1)+1|;

2) |√3-√5|; 7) | (x+4)(x-1)|;

3) |1-√2|; 8) |√(a-3)(a-3)| при a≥3;

4) |√5-2|; 9) | √(b-4)(b-4) при b

5) |x+1| при x≤-1; 10) | x-8| при x

III. Проверка домашнего задания: №№ 6, 8, 9, 19 ( а - в )*.

IV. Решение практических заданий, содержащих модуль: №№ 4, 11, 13, 19 (г-ж).

1. Самостоятельное решение со взаимопроверкой по вариантам.

I Вариант- №№ 5, 15.

II Вариант- №№ 10, 16.

Домашнее задание. №№ 12, 17, 18 (а).

Тема 2. Модуль функции. Графики функций, содержащих модуль.

Занятие № 3

Модуль функции. Графики функций, содержащих модуль (лекция).

ЦЕЛИ: повторить и уточнить знания учащихся; рассмотреть определение модуля функции; способствовать выработке навыков в применении определения модуля и его свойств при описании свойств функций, содержащих модуль и построении графиков элементарных функций.

Методические рекомендации.

Ввести определение модуля функции:

f (x)=f(x), если f(x)≥0

f (x)=-f(x), если f(x)

Далее можно рассмотреть следующие сведения:

если |f(x)|=a; то f(x)=± а ;

если |f(x)|=g(x); то f(x)=±g(x);

если |f(x)|=|g(x)|; то f(x)=±g(x);

затем можно рассмотреть общепринятые обозначения, которые могут применяться в дальнейшем при решении уравнений и неравенств, содержащих модуль.

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Лекция.

План:

1. дать определение модуля функции.(привести примеры)

2. рассмотреть некоторые свойства модуля функции:

если |f(x)|=a; то f(x)=± а ;

если |f(x)|=g(x); то f(x)=±g(x);

если |f(x)|=|g(x)|; то f(x)=±g(x);

II. Решение упражнений, связанных с рассмотрением свойств элементарных функций, содержащих модуль и построением их графиков по выбору учителя с учетом уровня подготовки учащихся: например, 49 (2, 3, 7), 51 (а - в).

III. Самостоятельное решение упражнений с комментариями: №№ 49 (1, 4, 5, 8), 50, 53.

Домашнее задание: №№ 49 (12, 14, 16), 58 (а, в, д).

Занятие № 4

Модуль функции. Графики функций, содержащих модуль (практикум).

ЦЕЛИ: закрепить изученный материал; рассмотреть с учащимися свойства элементарных функций, содержащих модуль, способы построения их графиков; упражнять в описании свойств элементарных функций, содержащих модуль и построении их графиков.

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. ФРОНТАЛЬНЫЙ ОПРОС.

1.Дайте определение модуля функции.

2. Объяснить свойства модуля функции.

если |f(x)|=a; то f(x)=а или f(x)=-а;

если |f(x)|=g(x); то f(x)=g(x) или f(x)=-g(x);

если |f(x)|=|g(x)|; то f(x)=g(x) или f(x)=-g(x);

II. Устная работа (полезные упражнения).

Найти область существования функции:

1) y=√|x|-3; 3) y=|x| +x;

2) |y|=|x| ; 4) y=|x-2|-|x+2|.

III. Проверка домашнего задания: №№ 49 (12, 14, 16), 58 (а, в, д ).

IV. Решение практических заданий, связанных с функциями, содержащими модуль: №№ 55 (а, в, д, ж, и), 56 (а, в, д, ж, и, л), 59.

V. Самостоятельное решение со взаимопроверкой по вариантам.

I Вариант- № 57 (а, в)

II Вариант- № 57 (б, г)

Домашнее задание: № 60.

Занятие № 5

Модуль функции. Графики функций, содержащих модуль (практикум).

ЦЕЛИ: закрепить изученный материал; расширить представления учащихся о взаимосвязи между алгебраическими соотношениями и их геометрическими образами на координатной плоскости; упражнять в описании свойств элементарных функций, содержащих модуль и построении их графиков.

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. ФРОНТАЛЬНЫЙ ОПРОС.

1.Какие особенности построения графиков функций, содержащих модуль, вы знаете?

2.Как построить графики функций : y=|f(x)|, y=f|(x)|, y=|f|(x)||, зная как выглядит график функции y=f(x).

II. Проверка домашнего задания: № 60.

III. Решение практических заданий, связанных с функциями, содержащими модуль: №№ 59 (а, в), 61 (1-4)

Домашнее задание: №№ 59 (б), 61 (5-8).

Тема 3. Уравнения с модулями.

Занятие № 6

Уравнения с модулями (лекция).

ЦЕЛИ: познакомить учащихся с решением некоторых типов уравнений, содержащих модуль; упражнять в решении уравнений.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

I. Лекция.

План:

1. рассмотреть примеры решения уравнений, содержащих абсолютные величины на основе определения;

2. рассмотреть примеры решения уравнений с помощью геометрических соображений (на основе геометрической интерпритации).

II. Решение уравнений, содержащих модуль по выбору учителя с учетом уровня подготовки учащихся: №№ 20 (в, г), 21 (д), 22 (а, б), 25.

III. Самостоятельное решение уравнений с комментариями: №№ 26 (а, в, г), 29 (а, в), 32 (а, в, д, ж).

1. Домашнее задание: №№ 20 (а, б), 21 (а, б), 23 (1, 2), 24 (4), 26 (б).

Занятие № 7

Уравнения с модулями (практикум).

ЦЕЛИ: закрепить изученный материал; отработать с учащимися методы решения некоторых типов уравнений, содержащих модуль; упражнять в решении уравнений.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

I. ФРОНТАЛЬНЫЙ ОПРОС.

1.Как решаются уравнения, содержащие абсолютные величины на основе определения?

2. Как решаются уравнения на основе геометрической интерпритации?

II. Проверка домашнего задания: №№ 20 (а, б), 21 (а, б), 23 (а, б), 24 (г), 26 (б).

III. Решение уравнений, содержащих модуль: №№ 30, 31 (1-3), 34(а-д).

Домашнее задание: № 33.

Занятие № 8

Уравнения с модулями (практикум).

ЦЕЛИ: закрепить изученный материал; отработать с учащимися методы решения некоторых типов уравнений, содержащих модуль; упражнять в решении уравнений; определить индивидуальные задания с учетом уровня подготовки учащихся.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

I. Самостоятельная работа по вариантам:

I Вариант- № 26 (а), 27 (б).

II Вариант- № 26 (в), 27 (а).

II. Проверка домашнего задания: № 33.

III. Решение уравнений, содержащих модуль: №№ 28 (а, в, д), 29 (б, г, ж).

Домашнее задание: №№ 24 (10-17), 28 (б, г,е).

Тема 4. Неравенства с модулями.

Занятие № 9

Неравенства с модулями (лекция).

ЦЕЛИ: познакомить учащихся с решением некоторых типов неравенств, содержащих модуль; упражнять в решении уравнений.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

I. Лекция.

План:

1. рассмотреть примеры решения неравенств, содержащих абсолютные величины на основе определения;

2. рассмотреть примеры решения неравенств с помощью геометрических соображений (на основе геометрической интерпритации).

II. Решение неравенств, содержащих модуль по выбору учителя с учетом уровня подготовки учащихся: №№35 (а, в), 37 (а, в, д), 39 (1), 41.

III. Самостоятельное решение неравенств с комментариями: №№35 (б, г), 40.

IV. Домашнее задание: № 42.

Занятие № 10

Неравенства с модулями (практикум).

ЦЕЛИ: закрепить изученный материал; отработать с учащимися методы решения некоторых типов неравенств, содержащих модуль; упражнять в решении неравенств.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

I. ФРОНТАЛЬНЫЙ ОПРОС.

1.Как решаются неравенства, содержащие абсолютные величины на основе определения?

2. Как решаются неравенства на основе геометрической интерпритации?

II. Проверка домашнего задания: № 42.

III. Решение неравенств, содержащих модуль: №№ 36, 37 (б, г).

Домашнее задание: №39 (2-5).

Занятие № 11

Неравенства с модулями (практикум).

ЦЕЛИ: закрепить изученный материал; отработать с учащимися методы решения некоторых типов неравенств, содержащих модуль; упражнять в решении неравенств; определить индивидуальные задания с учетом уровня подготовки учащихся.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

I. Самостоятельная работа по вариантам:

I Вариант- № 38 (а, в).

II Вариант- № 38 (б, г).

II. Проверка домашнего задания: №39 (2-5).

III. Решение неравенств, содержащих модуль: №38 (д), 35 (б, г).

Домашнее задание: № 34 (е-л).

Тема 5. Системы уравнений и неравенств.

Занятие № 12

Системы уравнений и неравенств (лекция).

ЦЕЛИ: познакомить учащихся с алгоритмом решения некоторых типов систем уравнений и неравенств, содержащих модуль; упражнять в решении систем данного типа.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

I. Лекция.

План:

1. рассмотреть примеры решения систем уравнений и неравенств, содержащих абсолютные величины на основе определения;

2. рассмотреть примеры решения систем уравнений и неравенств с помощью геометрических соображений (на основе геометрической интерпритации).

II. Решение систем уравнений и неравенств, содержащих модуль по выбору учителя с учетом уровня подготовки учащихся: №№44, 48 (1).

III. Самостоятельное решение систем уравнений и неравенств с комментариями: №№ 45, 48 (2).

IV. Домашнее задание: № 46.

Занятие № 13

Системы уравнений и неравенств (практикум).

ЦЕЛИ: закрепить изученный материал; отработать с учащимися методы решения некоторых типов систем уравнений и неравенств, содержащих модуль; упражнять в решении систем данного типа.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

I. ФРОНТАЛЬНЫЙ ОПРОС.

1.Как решаются системы уравнений и неравенств, содержащие абсолютные величины на основе определения?

2. Как решаются системы и неравенства на основе геометрической интерпритации?

II. Проверка домашнего задания: № 46.

III. Решение систем уравнений и неравенств, содержащих модуль: №№ 47, 48 (3).

Занятие № 14

Системы уравнений и неравенств (практикум).

ЦЕЛИ: закрепить изученный материал; отработать с учащимися методы решения некоторых типов систем уравнений и неравенств, содержащих модуль; упражнять в решении систем уравнений и неравенств; определить индивидуальные задания с учетом уровня подготовки учащихся.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

I. Самостоятельная работа по вариантам:

I Вариант- № 49 (16, 18).

II Вариант- № 49 (17, 19).

II. Решение систем уравнений и неравенств, содержащих модуль.

Домашнее задание: №58 (ж-м).

Занятие № 15

Модуль в заданиях единого государственного экзамена (практикум).

ЦЕЛИ: рассмотреть с учащимися типы заданий, содержащих модуль, встречающихся в заданиях ЕГЭ; отработать умения и навыки выполнения заданий данного вида; закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

1. Проверка домашнего задания: № 58 (ж-м).

2. Решение заданий, содержащих модуль, с использованием КИМ прошлых лет (подборка осуществляется учителем с учетом имеющегося материала).

3. Индивидуальная работа с организацией дополнительной консультации по необходимости.

Домашнее задание: (индивидуальные варианты ).

Занятие № 16

Модуль в заданиях единого государственного экзамена (практикум).

ЦЕЛИ: рассмотреть с учащимися типы заданий, содержащих модуль, встречающихся в заданиях ЕГЭ; отработать умения и навыки выполнения заданий данного вида; закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

1. Проверка домашнего задания (выборочно ), ответы на вопросы с разбором заданий, вызвавших затруднения.

1. Решение заданий, содержащих модуль, с использованием КИМ прошлых лет (подборка осуществляется учителем с учетом имеющегося материала).

1. Индивидуальная работа с организацией дополнительной консультации по необходимости.

Домашнее задание: (индивидуальные варианты ).

Занятие № 17.

Резервное занятие учитель может использовать по своему усмотрению в любой части программы курса (как обобщающее занятие, как резерв времени при отработке любой темы курса, как зачетное занятие).

ЛИТЕРАТУРА

Литература для учителя.

1. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И., Лекции и задачи по элементарной математике. – М.: Наука, 1971.

2. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства: справочное пособие.- М.: Наука, 1987.

3. Егерман Е. Задачи с модулем. 10-11 классы // Математика.-№ 25-26.- 2004.-с. 27-33.

4. Егерман Е. Задачи с модулем. 10-11 классы // Математика.-№ 27-28.- 2004.-с. 37-41.

5. СканавиМ.И. Сборник задач по математике для поступающих во втузы.- Тбилиси, 1992.

6. Кондолова А.Т. Готовимся к экзамену по математике, пособие (решение уравнений и неравенств с модулями, систам уравнений и неравенств ).- Волгоград, 2003.

7. Фенько Л.М., Метод интервалов в решении неравенств и исследовании функций, 8-11 классы: учебное пособие - М.: Дрофа, 2005.

Литература для учащихся.

1. Аверьянов Д.И., Алтынов П.И., Баврин Н.Н. Математика: большой справочник для школьников и поступающих в вузы.-2-е изд.- М.: Дрофа, 1999.

2. Шарыгин Н.Ф. Учебное пособие для 10 классов общеобразовательных учреждений.- М.: Просвещение, 1994.

3. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2001.

4. Фенько Л.М., Метод интервалов в решении неравенств и исследовании функций, 8-11 классы: учебное пособие - М.: Дрофа, 2005.