Элементы финансовой математики

Пояснительная записка

Сегодня почти каждый из нас определяет свои общественные позиции в той или иной мере сквозь призму экономики, своего экономического бытия. В настоящее время жизнь настоятельно требует, чтобы ученик узнал, что такое потребности и ограниченность возможности, и их удовлетворение; умел делать осознанный выбор, представлял себе назначение денег; понимал, из чего складывается бюджет семьи и школы; что такое цена товара и от чего она зависит; как создается богатство и каковы его источники.

Исторически количественный финансовый анализ сформировался на стыке финансовой науки и математики. Предметом изучения финансовой математики являются деньги, ценные бумаги, различные операции с ними на финансовом рынке, а методы расчета заимствованы из различных разделов современной математики. Кроме арифметики, в коммерческих расчетах используются алгебраические методы, методы математического анализа, теории вероятности, математической статистики и других разделов современной математики. Эти методы могут быть как элементарными, доступными школьнику, так и более сложными, изучаемыми в вузе.

Курс по выбору для предпрофильной подготовки обучающихся 9-х классов посвящен финансовой математике. К сожалению, в основной школе, на изучение этой темы часов не отводится, поэтому трудно поддержать интерес учащихся из-за ограниченности приобретенных знаний при решении текстовых задач на «проценты».

Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных программных знаний.

Его цель: создание условий для реализации математических способностей обучающихся и уточнения готовности ученика к освоению математики на повышенном уровне.

Задачи:

- создать предпосылки для последующего профессионального обучения и эффективной практической деятельности обучающихся;

- способствовать формированию основ экономического мышления;

- научить обучающихся анализировать реальные ситуации в хозяйственной деятельности с помощью математического аппарата;

- расширить прикладную направленность математики.

Свойства, входящие в курс по выбору, и их доказательства не вызовут трудности у обучающихся, так как не содержат громоздких выкладок, а каждое предыдущее из них готовит последующее. При направленности роли учителя школьники могут самостоятельно сформулировать новые для них свойства и даже доказать их. Все должно располагать их к самостоятельному поиску и повышать интерес к изучению предмета. Представляя возможность осмыслить свойства и их доказательства, учитель развивает логическую интуицию, без которой немыслимо творчество.

Организация на занятиях несколько отличаться от урочной: ученику необходимо давать время на размышление, учить его рассуждать, выдвигать гипотезы. В курсе заложена возможность дифференцированного обучения. В решении ряда задач необходимо рассмотреть несколько случаев. Одной группе учащихся полезно давать возможность самим открыть самим эти случаи. К другой группе учитель может сузить требования и рассмотреть один из случаев. Например, при решении задач на сложные проценты. Таким образом, программа применима для различных групп школьников, в том числе не имеющих хорошей подготовки. Обучающихся может заинтересовать практическая работа, так как задачи составлены с использованием реальных фактов. Такие задачи имеют большую практическую значимость, раскрывают механизм составления задач, и традиционно они вызывают неподдельный интерес обучающихся, позволяют им утвердиться в своих способностях.

Программа содержит 8 тем, связанных единой идеей, в то же время они построены по модульному принципу. Учитель, в зависимости от уровня математической подготовки класса, может использовать все темы или любую из них.

Первая, вторая и третья темы систематизируют ранее полученные знания. В них же помещены новые сведения о наращении процентов, новые экономические термины, ранее не встречающиеся в школьном курсе, которые можно использовать в дальнейшем как справочный материал. На три темы отводится 6 часов вместе с решением задач.

На четвёртую – седьмую темы отводится 8 часов, их цель – доказательство зависимостей (соотношений), эффективно используемых при решении многих задач смешанного типа. У школьников появится некоторый минимум знаний, без которого они не смогут продвинуться дальше решения самых простейших задач.

В зависимости от уровня подготовки группы, на доказательство основных соотношений может быть отведено два или три занятия, в оставшееся время школьники учатся применять полученные знания к практике решения задач.

Цель восьмой темы, посвященной практическим задачам экономического содержания – показать практическую значимость приобретенных знаний и выявить учащихся с развитым логическим мышлением.

На изучение курса отводится 17. Часов, из них – 2 часа на зачет и 2 часа – на итоговое занятие в форме экономической игры.

Учебно-тематический план

Календарно-тематический план

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ И ТРЕБОВАНИЯ

К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ОБУЧАЮЩИХСЯ

Тема 1. Простые проценты

Основная направленность: введение специальной терминологии, на конкретных примерах рассмотреть общепринятые алгоритмы начисления процентов.

Содержание. Процент как экономическое понятие. Разъяснение понятий: дебитор, кредитор, ссуда, кредитная операция, доход или абсолютное приращение начального капитала, дисконт-фактор, конверсионный период, инвестиция. Рассмотрение этих понятий на примерах экономической сущности простейшей кредитной операции.

В результате обучающиеся знакомятся с экономической терминологией, получают необходимые знания, расширяют объем посильных им задач.

Тема 2. Начисление простых процентов

Основная направленность: рассмотрение основной формулы наращения простых процентов, различных схем расчёта простых процентов. Решение задач по начислению простых процентов. Использование реинвестиций.

Школьники знакомятся с формулой наращения по простым процентам, формулой расчета коэффициента наращения простых процентов, понимают разницу между обычными и точными процентами, математическую суть схем начисления по простым процентам. При решении конкретных экономических задач применяют формулы начисления простых процентов при инвестировании и реинвестировании, применяют специальную введенную терминологию.

Тема 3. Дисконтирование по простым процентам

Основная направленность: рассмотрение сути простого математического дисконтирования, решение задач дисконтирования по простым процентам.

Обучающиеся должны знать: определения текущего значения будущих денег, определения дисконта и дисконтного множителя, годовой учетной ставки.

Уметь применять формулы при решении задач дисконтирования по простым процентам и оценки выгоды продавца, векселя в различные периоды времени.

Тема 4. Сложные годовые проценты

Основная направленность: вывод формул начисления сложных процентов в различные периоды в году, доказательство принципа стабильности рынка.

Обучающиеся должны знать: формулу и коэффициент наращения по сложным процентам как для целых значений интервала наращения п, так и для всех неотрицательных значений п.

Уметь: при решении задач рассматривать случаи, когда период начисления меньше года, то есть 1 месяц, 2 месяца и так далее, когда банк меняет процентные ставки при большой инфляции.

Тема 5. Сравнение простых и сложных процентов

Основная направленность: сравнение коэффициентов наращения, простых и сложных процентов.

Обучающиеся должны уметь решать задачи при периоде удвоения, при начислении годовых процентов при целом Т.

Тема 6. Номинальная и эффективная процентные ставки

Основная направленность: введение понятий номинальная ставка, эффективная ставка, эквивалентные годовые ставки, вывод приближенной формулы для вычисления I_эф.

Применяя эти понятия и используя приближенную формулу для вычисления I_эф обучающиеся учатся решать смешанные задачи на проценты.

Тема 7. Современное значение денег

Основная направленность: умение предсказывать, какая сумма будет через определенный срок Т-лет при фиксированных сложных процентах, сравнение разновременных сумм.

Тема 8. Обобщение и систематизация знаний

Содержание заключительной темы курса рассчитано на повышение учебной мотивации за счет нетрадиционных заданий, имеющих практическую ценность.

КОНТРОЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Зачет № 1.

Вариант 1.

1. Договор предусматривает следующие ставки простых процентов: за первый квартал – 230% годовых, за второй и третий – по 240% годовых, за четвертый квартал – 200% годовых. Определить коэффициент наращения за год.

2. На некоторую сумму S(0) ежемесячно в течение квартала начисляются простые проценты по ставке 9% в первый месяц, 10% - во второй, 11% - третий. Рассчитать коэффициент наращения суммы за квартал: А) при реинвестиции; Б) без капитализации процента.

Вариант 2.

1. Договор предусматривает следующие ставки простых процентов: за первый квартал – 10% годовых, за второй и третий – по 40% годовых, за четвертый квартал – 15% годовых. Определить коэффициент наращения за год.

2. На некоторую сумму S(0) ежемесячно в течение квартала начисляются простые проценты по ставке 9% в первый месяц, 8% - во второй, 12% - третий. Рассчитать коэффициент наращения суммы за квартал: А) при реинвестиции; Б) без капитализации процента.

Зачет № 2.

Вариант 1.

1. Сумма 8000 рублей инвестируется на 3 года под 80% годовых. Найти наращенную сумму и сложные проценты за этот срок.

2. Найти сложные проценты за полтора года, начисленные на 90 тысяч рублей по ставке 30% в квартал.

3. На срочный вклад в банке зачислено 100$ по ставке 6% годовых. Найти накопленные на счете суммы через 2, 3, 4, 5 лет при условии начисления: а) простых процентов; б) сложных процентов. Построить соответствующие графики.

Вариант 2.

1. Кредит размером 6000 рублей выдан под сложные проценты на 1 год по ставке 10% в месяц. Найти полную сумму долга к концу срока.

2. Найти сложные проценты за полтора года, начисленные на 50 тысяч рублей по ставке 45% в квартал.

3. На срочный вклад в банке зачислено 200$ по ставке 5% годовых. Найти накопленные на счете суммы через 2, 3, 4, 5 лет при условии начисления: а) простых процентов; б) сложных процентов. Построить соответствующие графики.

Литература

1. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. – М., 1998.

2. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра. – М., 1968.

3. Липсиц И.В. Экономика без тайн. – М., 1994.

4. Петров В.А. Элементы финансовой математики на уроках // Математика в школе. – 2002. – № 8. – с. 38-42.

5. Савицкая Е.В., Серегина С.Ф. Уроки экономики в школе: в 2 кн. Кн. 2: Пособие для учителя. – М.: Вита-Пресс, 1999.

6. Фирсова М.М. Урок решения задач с экономическим содержанием // Математика в школе. – 2002. – № 8. – с. 36-38.