ВХОДНАЯ ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ РАБОТА
(повторение курса геометрии 8 класса)
Вариант 1
Часть А (1 балл)
В треугольнике ABC угол A = 50°, угол B = 60°. Найдите угол C.
Найдите площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 9 см.
В параллелограмме ABCD сторона AB = 8 см, высота к ней = 5 см. Найдите площадь.
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите гипотенузу.
Часть B (3 балла)
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а основание — 10 см. Найдите высоту, проведенную к основанию, и площадь треугольника.
Часть C (4 балла)
6*. В трапеции ABCD основания AD = 12 см и BC = 8 см, высота равна 5 см. Найдите площадь трапеции и длину средней линии. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Найдите отношение площадей треугольников AOD и BOC.
Вариант 2
Часть А (1 балл)
В треугольнике ABC угол A = 70°, угол B = 40°. Найдите угол C.
Найдите площадь прямоугольника со сторонами 7 см и 8 см.
В параллелограмме ABCD сторона AB = 10 см, высота к ней = 6 см. Найдите площадь.
Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12. Найдите гипотенузу.
Часть B (3 балла)
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 17 см, а основание — 16 см. Найдите высоту, проведенную к основанию, и площадь треугольника.
Часть C (4 балла)
6*. В трапеции ABCD основания AD = 15 см и BC = 9 см, высота равна 6 см. Найдите площадь трапеции и длину средней линии. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Найдите отношение площадей треугольников AOD и BOC.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
Тема: «Решение треугольников»
Вариант 1
Часть А (1 балл)
В треугольнике ABC: AB = 5, AC = 8, угол A = 60°. Найдите сторону BC.
В треугольнике ABC: угол A = 45°, угол B = 60°, сторона BC = 6. Найдите сторону AC.
Найдите площадь треугольника со сторонами 5, 6, 7 (по формуле Герона).
В треугольнике ABC: AB = 7, BC = 10, AC = 13. Найдите угол B.
Часть B (3 балла)
В треугольнике ABC: AB = 4, AC = 6, угол A = 120°. Найдите:
Часть C (5 баллов)
6*. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Известно, что AB = 10, BC = 14, AC = 16. Найдите:
а) длину медианы BM;
б) площадь треугольника ABM;
в) расстояние от вершины B до прямой AC.
Вариант 2
Часть А (1 балл)
В треугольнике ABC: AB = 6, AC = 10, угол A = 60°. Найдите сторону BC.
В треугольнике ABC: угол A = 30°, угол B = 45°, сторона BC = 8. Найдите сторону AC.
Найдите площадь треугольника со сторонами 4, 5, 6 (по формуле Герона).
В треугольнике ABC: AB = 8, BC = 15, AC = 17. Найдите угол B.
Часть B (3 балла)
В треугольнике ABC: AB = 5, AC = 7, угол A = 120°. Найдите:
Часть C (5 баллов)
6*. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Известно, что AB = 12, BC = 16, AC = 20. Найдите:
а) длину медианы BM;
б) площадь треугольника ABM;
в) расстояние от вершины B до прямой AC.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
Тема: «Подобие треугольников»
Вариант 1
Часть А (1 балл)
Треугольники ABC и DEF подобны. AB = 4, DE = 12. Найдите коэффициент подобия.
В треугольнике ABC проведена прямая MN параллельно AC, M на AB, N на BC. AM = 3, MB = 6, BN = 4. Найдите NC.
Найдите отношение площадей двух подобных треугольников, если их стороны относятся как 2 : 5.
Средняя линия треугольника равна 7 см. Найдите основание, которому она параллельна.
Часть B (3 балла)
В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) проведена высота CH к гипотенузе. Известно, что AC = 6, BC = 8. Найдите:
а) гипотенузу AB;
б) отрезки AH и HB;
в) высоту CH.
Часть C (5 баллов)
6*. В трапеции ABCD (AD ∥ BC) диагонали пересекаются в точке O. Известно, что AD = 12, BC = 4, площадь треугольника BOC равна 3. Найдите:
а) коэффициент подобия треугольников AOD и BOC;
б) площадь треугольника AOD;
в) площадь всей трапеции.
Вариант 2
Часть А (1 балл)
Треугольники ABC и DEF подобны. AB = 6, DE = 18. Найдите коэффициент подобия.
В треугольнике ABC проведена прямая MN параллельно AC, M на AB, N на BC. AM = 4, MB = 8, BN = 5. Найдите NC.
Найдите отношение площадей двух подобных треугольников, если их стороны относятся как 3 : 7.
Средняя линия треугольника равна 9 см. Найдите основание, которому она параллельна.
Часть B (3 балла)
В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) проведена высота CH к гипотенузе. Известно, что AC = 9, BC = 12. Найдите:
а) гипотенузу AB;
б) отрезки AH и HB;
в) высоту CH.
Часть C (5 баллов)
6*. В трапеции ABCD (AD ∥ BC) диагонали пересекаются в точке O. Известно, что AD = 15, BC = 5, площадь треугольника BOC равна 4. Найдите:
а) коэффициент подобия треугольников AOD и BOC;
б) площадь треугольника AOD;
в) площадь всей трапеции.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3
Тема: «Метод координат»
Вариант 1
Часть А (1 балл)
Найдите расстояние между точками A(2; −1) и B(5; 3).
Найдите координаты середины отрезка CD, если C(−2; 4), D(6; −2).
Составьте уравнение прямой, проходящей через точки A(1; 2) и B(3; 6).
Найдите координаты точки пересечения прямых y = 2x + 1 и y = −x + 7.
Часть B (3 балла)
Даны точки A(−1; 2), B(3; 5), C(2; −3).
а) Найдите координаты вектора AB и его длину.
б) Найдите координаты середины отрезка BC.
в) Составьте уравнение окружности с центром в точке A и радиусом, равным длине AB.
Часть C (5 баллов)
6*. Даны точки A(1; 1), B(5; 4), C(8; 0). Найдите:
а) уравнение прямой AB;
б) уравнение высоты, проведенной из точки C к прямой AB;
в) площадь треугольника ABC.
Вариант 2
Часть А (1 балл)
Найдите расстояние между точками A(3; −2) и B(7; 1).
Найдите координаты середины отрезка CD, если C(−3; 5), D(5; −1).
Составьте уравнение прямой, проходящей через точки A(2; 3) и B(4; 7).
Найдите координаты точки пересечения прямых y = 3x − 2 и y = −x + 6.
Часть B (3 балла)
Даны точки A(−2; 3), B(4; 6), C(1; −4).
а) Найдите координаты вектора AB и его длину.
б) Найдите координаты середины отрезка BC.
в) Составьте уравнение окружности с центром в точке A и радиусом, равным длине AB.
Часть C (5 баллов)
6*. Даны точки A(2; 2), B(6; 5), C(9; 1). Найдите:
а) уравнение прямой AB;
б) уравнение высоты, проведенной из точки C к прямой AB;
в) площадь треугольника ABC.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4
Тема: «Векторы»
Вариант 1
Часть А (1 балл)
Найдите координаты вектора a = 3i − 2j, если известны его координаты.
Найдите скалярное произведение векторов a(2; −3) и b(4; 1).
Найдите длину вектора a(6; 8).
Найдите угол между векторами a(1; 0) и b(0; 1).
Часть B (3 балла)
Даны векторы a(3; −1) и b(1; 4).
а) Найдите координаты вектора c = 2a − 3b.
б) Найдите скалярное произведение a · b.
в) Найдите косинус угла между векторами a и b.
Часть C (5 баллов)
6*. В параллелограмме ABCD известны координаты вершин: A(1; 2), B(4; 6), C(8; 5). Найдите:
а) координаты вершины D;
б) координаты точки пересечения диагоналей;
в) площадь параллелограмма через векторное произведение (или через модуль векторного произведения на плоскости);
г) докажите, что ABCD — параллелограмм, используя векторы.
Вариант 2
Часть А (1 балл)
Найдите координаты вектора a = −2i + 5j.
Найдите скалярное произведение векторов a(3; −1) и b(2; 5).
Найдите длину вектора a(5; 12).
Найдите угол между векторами a(1; 1) и b(1; −1).
Часть B (3 балла)
Даны векторы a(4; −2) и b(2; 3).
а) Найдите координаты вектора c = 3a − 2b.
б) Найдите скалярное произведение a · b.
в) Найдите косинус угла между векторами a и b.
Часть C (5 баллов)
6*. В параллелограмме ABCD известны координаты вершин: A(2; 1), B(5; 5), C(9; 4). Найдите:
а) координаты вершины D;
б) координаты точки пересечения диагоналей;
в) площадь параллелограмма через векторное произведение;
г) докажите, что ABCD — параллелограмм, используя векторы.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №5
Тема: «Длина окружности и площадь круга»
Вариант 1
Часть А (1 балл)
Найдите длину окружности радиуса 5 см.
Найдите площадь круга радиуса 4 см.
Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, соответствующей центральному углу 60°.
Найдите площадь сектора круга радиуса 3 см с центральным углом 120°.
Часть B (3 балла)
В окружность радиуса 10 см вписан правильный шестиугольник.
а) Найдите сторону шестиугольника.
б) Найдите площадь шестиугольника.
в) Найдите длину описанной окружности.
Часть C (5 баллов)
6*. В правильный треугольник со стороной 12 см вписана окружность, а около него описана окружность. Найдите:
а) радиус вписанной окружности;
б) радиус описанной окружности;
в) площадь кольца между этими окружностями;
г) длину дуги описанной окружности, соответствующей стороне треугольника.
Вариант 2
Часть А (1 балл)
Найдите длину окружности радиуса 7 см.
Найдите площадь круга радиуса 6 см.
Найдите длину дуги окружности радиуса 8 см, соответствующей центральному углу 45°.
Найдите площадь сектора круга радиуса 5 см с центральным углом 90°.
Часть B (3 балла)
В окружность радиуса 12 см вписан правильный шестиугольник.
а) Найдите сторону шестиугольника.
б) Найдите площадь шестиугольника.
в) Найдите длину описанной окружности.
Часть C (5 баллов)
6*. В правильный треугольник со стороной 18 см вписана окружность, а около него описана окружность. Найдите:
а) радиус вписанной окружности;
б) радиус описанной окружности;
в) площадь кольца между этими окружностями;
г) длину дуги описанной окружности, соответствующей стороне треугольника.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №6 (ИТОГОВАЯ)
Тема: «Повторение, обобщение, систематизация знаний»
Вариант 1
Часть А (1 балл)
В треугольнике ABC: AB = 6, AC = 8, угол A = 60°. Найдите BC.
Треугольники подобны с коэффициентом 3. Площадь меньшего равна 5. Найдите площадь большего.
Найдите расстояние между точками A(−1; 2) и B(3; −1).
Найдите скалярное произведение векторов a(2; −5) и b(3; 1).
Найдите площадь круга радиуса 5.
Часть B (3 балла)
В треугольнике ABC: AB = 8, BC = 10, AC = 12. Найдите:
а) угол B (по теореме косинусов);
б) площадь треугольника;
в) радиус описанной окружности.
В трапеции ABCD (AD ∥ BC) диагонали пересекаются в точке O. AD = 12, BC = 4. Площадь треугольника BOC = 2. Найдите площадь трапеции.
Часть C (5 баллов)
8*. Даны точки A(1; 1), B(4; 5), C(7; 2). Найдите:
а) уравнение прямой AB;
б) уравнение высоты из C к AB;
в) площадь треугольника ABC;
г) радиус описанной окружности треугольника ABC.
9*. В окружность радиуса 6 см вписан правильный треугольник. Найдите:
а) сторону треугольника;
б) площадь треугольника;
в) площадь круга, вписанного в этот треугольник;
г) площадь кольца между описанной и вписанной окружностями.
Вариант 2
Часть А (1 балл)
В треугольнике ABC: AB = 5, AC = 7, угол A = 60°. Найдите BC.
Треугольники подобны с коэффициентом 2. Площадь меньшего равна 7. Найдите площадь большего.
Найдите расстояние между точками A(2; −1) и B(5; 3).
Найдите скалярное произведение векторов a(3; −2) и b(1; 4).
Найдите площадь круга радиуса 6.
Часть B (3 балла)
В треугольнике ABC: AB = 7, BC = 9, AC = 11. Найдите:
а) угол B (по теореме косинусов);
б) площадь треугольника;
в) радиус описанной окружности.
В трапеции ABCD (AD ∥ BC) диагонали пересекаются в точке O. AD = 15, BC = 5. Площадь треугольника BOC = 3. Найдите площадь трапеции.
Часть C (5 баллов)
8*. Даны точки A(2; 2), B(5; 6), C(8; 3). Найдите:
а) уравнение прямой AB;
б) уравнение высоты из C к AB;
в) площадь треугольника ABC;
г) радиус описанной окружности треугольника ABC.
9*. В окружность радиуса 8 см вписан правильный треугольник. Найдите:
а) сторону треугольника;
б) площадь треугольника;
в) площадь круга, вписанного в этот треугольник;
г) площадь кольца между описанной и вписанной окружностями.
9. КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ
Общая шкала
| Оценка | Входная (макс. 11) | КР №1–5 (макс. 12) | Итоговая (макс. 21) |
| «5» | 10–11 | 11–12 | 19–21 |
| «4» | 8–9 | 9–10 | 15–18 |
| «3» | 5–7 | 6–8 | 9–14 |
| «2» | 0–4 | 0–5 | 0–8 |
Критерии по типам заданий
Часть А (1 балл): 1 — верно; 0 — неверно/нет ответа.
Часть B (3 балла):
3 — полное верное решение;
2 — одна вычислительная ошибка;
1 — верная идея, но не доведено;
0 — неверно.
Часть C (5 баллов):
5 — полное верное решение;
4 — мелкие недочеты;
3 — решен частный случай;
2 — верные формулы без ответа;
1 — только начало;
0 — отсутствует/неверно.
10. ЭТАЛОНЫ ОТВЕТОВ (краткие)
Входная диагностика
| Задание | Вариант 1 | Вариант 2 |
| А1 | 70° | 70° |
| А2 | 54 см² | 56 см² |
| А3 | 40 см² | 60 см² |
| А4 | 10 | 13 |
| B5 | h = 12, S = 60 | h = 15, S = 120 |
| C6* | S = 50, ср. линия = 10, отн. = 9 : 4 | S = 72, ср. линия = 12, отн. = 25 : 9 |
КР №1 «Решение треугольников»
| Задание | Вариант 1 | Вариант 2 |
| А1 | BC = 7 | BC = 14 |
| А2 | AC = 3√6 | AC = 8√2 |
| А3 | S = 6√6 | S = (15√7)/4 |
| А4 | cos B = (49 + 100 − 169)/(2·7·10) = −0,1428 → B ≈ 98° | cos B = (64 + 225 − 289)/(2·8·15) = 0 → B = 90° |
| B5 | а) BC = √(16+36+24) = √76 = 2√19; б) S = 6√3; в) R = BC/(2·sin120°) = (2√19)/(√3) | а) BC = √(25+49+35) = √109; б) S = (35√3)/4; в) R = √109/(√3) |
| C6* | а) BM = 0,5·√(2·100+2·196−256) = 0,5·√236 = √59; б) S(ABM) = S(ABC)/2; S(ABC) = √(16·6·2·8) = 16√6 → S(ABM) = 8√6; в) h = 2S/AC = 32√6/16 = 2√6 | а) BM = 0,5·√(2·144+2·256−400) = 0,5·√400 = 10; б) S(ABM) = S(ABC)/2; S(ABC) = 96 → S(ABM) = 48; в) h = 2S/AC = 192/20 = 9,6 |
КР №2 «Подобие треугольников»
| Задание | Вариант 1 | Вариант 2 |
| А1 | k = 3 | k = 3 |
| А2 | NC = 8 | NC = 10 |
| А3 | 4 : 25 | 9 : 49 |
| А4 | 14 см | 18 см |
| B5 | а) AB = 10; б) AH = 3,6, HB = 6,4; в) CH = 4,8 | а) AB = 15; б) AH = 5,4, HB = 9,6; в) CH = 7,2 |
| C6* | а) k = 3; б) S(AOD) = 27; в) S = 48 | а) k = 3; б) S(AOD) = 36; в) S = 64 |
КР №3 «Метод координат»
| Задание | Вариант 1 | Вариант 2 |
|
|
|
|
| А1 | 5 | 5 |
|
|
|
|
| А2 | (2; 1) | (1; 2) |
|
|
|
|
| А3 | y = 2x | y = 2x − 1 |
|
|
|
|
| А4 | (2; 5) | (2; 4) |
|
|
|
|
| B5 | а) AB(4; 3), | AB | = 5; б) сер. BC = (2,5; 1); в) (x+1)² + (y−2)² = 25 | а) AB(6; 3), | AB | = 3√5; б) сер. BC = (2,5; 1); в) (x+2)² + (y−3)² = 45 |
| C6* | а) y = 0,75x + 0,25; б) y = −(4/3)x + 32/3; в) S = 6 | а) y = 0,75x + 0,5; б) y = −(4/3)x + 13; в) S = 6 |
|
|
|
|
КР №4 «Векторы»
| Задание | Вариант 1 | Вариант 2 |
| А1 | a(3; −2) | a(−2; 5) |
| А2 | 5 | 1 |
| А3 | 10 | 13 |
| А4 | 90° | 90° |
| B5 | а) c(3; −14); б) a·b = −1; в) cos = −1/(√10·√17) | а) c(8; −12); б) a·b = 2; в) cos = 2/(√20·√13) |
| C6* | а) D(5; 1); б) O(4,5; 3,5); в) S = 14; г) док-во через равенство AB = DC | а) D(6; 0); б) O(5,5; 2,5); в) S = 12; г) док-во через равенство AB = DC |
КР №5 «Длина окружности и площадь круга»
| Задание | Вариант 1 | Вариант 2 |
| А1 | 10π | 14π |
| А2 | 16π | 36π |
| А3 | 2π | 2π |
| А4 | 3π | (25π)/4 |
| B5 | а) a = 10; б) S = 150√3; в) C = 20π | а) a = 12; б) S = 216√3; в) C = 24π |
| C6* | а) r = 2√3; б) R = 4√3; в) S = 36π; г) L = (8π√3)/3 | а) r = 3√3; б) R = 6√3; в) S = 81π; г) L = 4π√3 |
Итоговая КР №6
| Задание | Вариант 1 | Вариант 2 |
| А1 | BC = 2√13 | BC = √39 |
| А2 | 45 | 28 |
| А3 | 5 | 5 |
| А4 | 1 | −5 |
| А5 | 25π | 36π |
| B6 | а) cos B = (64+100−144)/(2·8·10) = 0,125 → B ≈ 82,8°; б) S = √(15·7·5·3) = 15√7; в) R = 12/(2·sinB) ≈ 6,05 | а) cos B = (49+81−121)/(2·7·9) = 9/126 = 1/14 → B ≈ 85,9°; б) S = √(13,5·6,5·4,5·2,5) ≈ 31,4; в) R = 11/(2·sinB) ≈ 5,52 |
| B7 | S = 32 | S = 48 |
| C8* | а) y = (4/3)x − 1/3; б) y = −(3/4)x + 29/4; в) S = 6; г) R = 5/2 = 2,5 | а) y = (4/3)x − 2/3; б) y = −(3/4)x + 9; в) S = 6; г) R = 2,5 |
| C9* | а) a = 6√3; б) S = 27√3; в) S = 3π·3 = 9π; г) S = 36π − 9π = 27π | а) a = 8√3; б) S = 48√3; в) S = 3π·16 = 48π; г) S = 64π − 48π = 16π |
36 425
731 
