Формирование навыков решения задач на проценты на уроках математики в основной школе.

Формирование навыков решения задач на проценты на уроках математики в основной школе.

Содержание

I.   Введение

II. Историческая справка

III.  Методический подход к изучению темы «Проценты»

3.1.    Усвоение понятия «Проценты» обучающимися 5-6 классов

3.2.   Развитие навыков обучающихся 7-9 классов при решении задач на проценты

IV.  Заключение

V. Список использованной литературы

I. Введение

Большое практическое значение имеет умение решать задачи на проценты, потому что понятие процента широко используется и в реальной жизни, и в различных областях науки. В школьном курсе эта тема изучается в 5 – 6 классе, но ей отводится очень мало времени и места, в результате обучающиеся к моменту окончания основной школы не умеют решать задачи на проценты. В связи с новыми подходами к проведению итоговой аттестации выпускников 9-х классов, а также переходам на ЕГЭ, обучающимся предлагаются в контрольно-измерительных материалах задачи на проценты, причем они могут быть достаточно сложные, чтобы решить их без специальной подготовки. Особенно необходимо иметь навыки решения задач на проценты школьникам, решившим поступать в вузы на экономические, финансовые и банковские специальности.

        П.  Историческая справка

Проценты появились в древности, когда появилось понятие долга. Слово «процент» происходит от латинского «procentum», что буквально означает «на сотню», «со ста» или «за сотню».

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Процент, по-видимому, возник в Европе вместе с ростовщичеством. Существует мнение, что понятие «процент» ввел бельгийский ученый Симон Стевин. Он опубликовал таблицы процентов в 1584 г.

В России употребление термина «процент» начинается в конце XVIII в. Долгое время под процентами понималось исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Проценты применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область применения процентов расширилась, они встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

Интересно происхождение обозначения процента. Есть версия, будто бы знак % происходит от итальянского procento (сто), которое в процентных расчетах часто сокращенно писалось cto. Отсюда, путем дальнейшего сокращения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный знак процента %.

III.  Методический подход к изучению темы «Проценты»

3.1. Усвоение понятия «проценты» обучающимися 5-6 классов

Изучение данной темы начинается в 4 четверти 5 класса.

Основная цель первого этапа - сформировать понятие процента как специального способа выражения доли величины, выработать умения обращения обыкновенной дроби в десятичную, десятичной дроби и натурального числа в проценты. В результате, еще до решения основных задач на проценты, ученик должен прочно овладеть достаточно большим набором фактов, которые помогут ему в дальнейшем.

Например: 25% величины - это четвертая часть этой величины; половина некоторой величины - это ее 50%; 75% величины - это ¾ этой величины. 

Усвоение понятия процента помогает практическое задание: 

заштриховать указанную часть геометрической фигуры:

Для успешного усвоения темы «Проценты» и дальнейшей выработке навыка решения задач ученик должен знать, как перевести десятичную дробь и натуральное число в проценты, как записать проценты в виде десятичной дроби. От ученика требуется четкая формулировка этих правил. С целью их закрепления выполняем упражнения.

После того, как ученик   достаточно свободно и осознанно овладеет понятием процента, переходим к решению задач.

Существует три основных вида задач на проценты:

1.    Нахождение b% от числа а.
3 способа решения: 1) а : 100 · b; 2) b% = дробь; а · дробь

3) х – b%

а – 100% составляем пропорцию х : а = b : 100

Примеры задач в презентации.

2.   Нахождение числа а по его b % процентам.
3 способа решения: 1) а : b · 100; 2) b% = дробь; а : дробь

3) х – 100%

а – b % составляем пропорцию х : а = 100 : b

Примеры задач в презентации.

3. Нахождение процентного отношения (сколько процентов число а составляет от числа b).

          Решение: а : b · 100.

Примеры задач в презентации.

В 5 классе мы рассматриваем задачи на проценты лишь двух типов: на нахождение процента от числа и на нахождение числа по его проценту. Задачи на процентное отношение рассматриваются только в 6 классе после изучения пропорций.

В 5 классе при изучении темы «Проценты» главное - приучить детей при анализе условия задачи определять, какая величина принята за 100% и известна ли эта величина.

В 6 классе уровень сложности задач повышается. Сначала возникают задачи с разными процентными базами. Приведу пример:

Задача 1

Мотоциклист проехал 120 км, 30% из которых - по шоссе. 60% оставшегося расстояния он ехал по грунтовой дороге, а далее - по лесной тропе.

Прочитайте первое предложение и ответьте на вопросы:

-   Что принято за 100%?

-   Известна ли эта величина?

-   Какая величина приходится на 1 %?

-   Сколько километров мотоциклист проехал по шоссе? Прочитайте второе предложение и ответьте на вопросы.

-   Что принято за 100%?

-   Известна ли эта величина?

-  Сколько километров составляет путь, пройденный мотоциклистом по
грунтовой дороге и по лесной тропе?

-   Чему равен 1 % этой величины?

-   Сколько километров мотоциклист проехал по грунтовой дороге?

-   Сколько километров мотоциклист проехал по лесной тропе?

Для учеников основная трудность при выполнении этих заданий заключается в том, чтобы понять: в первом предложении за 100% принята длина всего пути, а во втором - длина грунтовой дороги и лесной тропы вместе (оставшийся путь). Результатом выполнения таких упражнений является осознание учениками того, что в одной и той же задаче за 100% могут быть приняты разные величины.

Задача 2.

а)  Найдем, сколько процентов число 15 составляет от числа 75.

15 : 75 · 100 =20%.

б)  Найдем, сколько процентов составляет число 75 от числа 15.
75 :15 · 100= 500%.

  Задача 3.

 Футболка стоила 300р. На распродаже цену снизили на 5%. Какая теперь стала цена на футболку?

3.2. Особенности развития навыков учащихся 7-9 классов при решении задач на проценты.

В программу по алгебре 7 – 9 классов не входит тема «Проценты», однако задачи на проценты встречаются.

Поэтому  наряду  с  повторением  задач  уже  усвоенными  и  известными способами включаю решение более сложных задач.

Задача №1

Сумма двух чисел равна 120. Найти эти числа, если 40% одного равны 60%

другого.

Решение:

Основная идея решения состоит в том, чтобы на основании условия задачи

составить уравнение.

Пусть х - одно число, тогда (120-х) - другое число. По условию задачи:

0,4х=0,6(120-х)

х=72

120-72=48

Ответ: 72 и 48.

Задача №2

Человек обычно получает за работу «чистыми», т.е. после вычета налога в 13% , но ему интересно узнать, сколько же «по настоящему» стоит сделанная им работа, если он получил за нее 10 870,35 руб.?

Решение:

Для вычисления он должен заметить, что полученная им сумма составляет 100 - 13 = 87 (процентов) от «настоящей» стоимости работы. Решаем с помощью составления пропорции:

х руб.-100% 10870,35 руб. - 87%; х = 1087035 • 100/87 = 12 494,65 руб.  

Задача №3

 Мясо теряет при варке около 35% своего веса. Сколько нужно сырого мяса, чтобы получить 520 гр. вареного? Решение:

Пусть х гр. - масса сырого мяса 0.35х - теряет при варке По условию: х-0,35х=520 х=520/0,65=800 (гр.) Ответ: нужно взять 800гр. сырого мяса.

Задачи на сплавы и смеси

Задачи на «концентрацию», «сплавы» - это хорошие примеры практических задач, позволяющие продемонстрировать, как формальные алгебраические знания применяются в реальных жизненных ситуациях.

При решении задач этого типа учащиеся могут воспользоваться предложенным алгоритмом для составления системы уравнений.

Алгоритм решения задач на сплавы и смеси:

1.  Обозначьте буквами количество растворов соли разной концентрации.

2.              Запишите   уравнение,   связывающее   эти   две   величины   и   общее количество раствора.

3.              Определите количество соли в получившемся растворе.

4.              Запишите уравнение, связывающее количество соли в растворах разной концентрации и получившемся растворе.

5.              Составьте систему и решите ее.

Задача №1

 В колбу налили некоторое количество 60%-го раствора соли и некоторое количество 80%-го раствора этой же соли. Получили 35 мл. раствора, содержащего 72% соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу? Решение: Решим задачу с помощью системы уравнений, используя следующий план:

1) Обозначим буквами количество 60%-го и 80%-го растворов соли:

х мл.-60%-го

у мл. - 80%-го;

2)     Запишем   уравнение,   связывающее   эти   две   величины   и   общее
количество раствора: х+у=35;

3)   Определим количество соли в получившемся растворе:
35*0,72=23,04 мл;

4)   Запишем уравнение, связывающее количество соли в 60%-ном, 80%-
ном и получившемся растворах: 0,6х+0,8у=23,04;

5)   Составим систему и решим ее
х+у=35                                           х=24,8
0,6х+0,8у=23,04                               у=10,2
Ответ: 24,8 мл; 10,2 мл.

Задача №2

 Один раствор содержит 30% по объему азотной кислоты, а второй - 55%. Сколько нужно взять первого и второго растворов, чтобы получить 100 л. 50%^го раствора азотной кислоты? Решение:

Пусть первого раствора нужно взять х л., тогда второго - (100-х) л. По условию задачи: 0,Зх+0,55(100-х)=100*0,5 х=20 Ответ: 20 л.

IV. Заключение

Формирование умственной культуры мышления - одна из важных проблем математического образования школьников.

Одна из основных целей в работе каждого учителя математики состоит в том, чтобы научить обучающихся решать любую математическую задачу. Для этого все действия учителя должны быть направлены на развитие мышления учащихся, на обучение их эффективным приемам умственной деятельности, обучению умению выделять главное, существенное в задаче и ее решении. В школе невозможно (и не нужно) рассмотреть все виды математических задач. Важно вооружить обучающихся общим подходам к решению любых задач.

Поэтому в процессе обучения из всего разнообразия задач на проценты, стараюсь выбирать наиболее типичные, узловые, доступные на первом этапе решения и знакомить школьников с общим принципом, подходом к решению задач определенного типа, со своеобразным алгоритмом решения. В этом особенно нуждаются слабоуспевающие в математике ребята.

Особо ценным считаю этап работы с уже решенной задачей, что особенно важно для развития учеников. На мой взгляд, это формирует один из важных приемов мыслительной деятельности обучающегося - умение обобщать.

V. Список использованной литературы. 

1. Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления. 10-11 кл.: Учебно-метод. пособие.-М.: Дрофа, 2003.

2. Делидова Т.Е., Тонких А.П. Теория и практика решения текстовых задач: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений.-М.: Издательский центр «Академия»,2002.

3. Математика в школе.№1, №9, №10, 2006.

4. 1 сентября. Математика. №4,2006.

5