Разработка урока по алгебре "Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии"

Тема: "Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии".

Класс: 9.

Цели и задачи:

образовательные - познакомить учащихся с выводом формулы сумм n первых членов арифметической прогрессии; научить учащихся применять полученные формулы при решении задач.

Развивающие:

• продолжить формирование правильной математической речи;

• развивать мышление путем анализа;

• содействовать развитию воли и настойчивости  в учении путем решения практических задач;

Воспитательные :

Воспитывать сознательное отношение к учению;

Ход урока

1.Организационный момент.

Закончился 20 век

Куда стремится человек?

Изучены космос и море,

Строенье звезд и вся земля.

Но математиков зовет

Известный лозунг:

«Прогрессио- движение вперед»

Мы живем в реальном мире, и для его познания нам необходимы знания. Но прежде чем подняться на следующую ступеньку, нужно убедиться, что мы крепко стоим на ногах, имеем хорошие знания по изучаемой теме.

2.Актуализация опорных знаний.

Устный фронтальный опрос:

1. Определение арифметической прогрессии

2. Какое число называется разностью арифметической прогрессии?

3. Составьте арифметическую прогрессию, если ее первый член равен 4

4. Какие из перечисленных последовательностей являются арифметическими прогрессиями? Охарактеризуйте их

(a_n): 0; 1; 8; 27; 64; …

(b_n): 7; 5; 3; 1; -1.

(c_n): 6; 12; 18; 24; 30; …

5)Предложите свою арифметическую прогрессию

2. Задания для индивидуальной работы у доски:

1. Запишите формулу n-ого члена арифметической прогрессии;

2. Запишите формулы 8 и 24 членов арифметической прогрессии;

3. Выразите из предыдущих формул a₁ и d;

Какие виды задач на ар. прогр мы уже умеем решать?.

Эмоциональный настрой работы.

Девизом урока будут слова: хочу, могу, умею, делаю.

ХОЧУ: я хочу пожелать вам, ребята, увеличить объём своих знаний в 1,5 раза; хочу пожелать вам «Ни пуха, ни пера!».
МОГУ: сообщаю, что на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться,учиться.
УМЕЮ: мы умеем применять с вами рациональные способы для решения задач.
ДЕЛАЮ: делаем каждый себе установку «Понять и быть тем первым, который увидит
ход решения».

Постановка цели и задачи урока обучающимися.

Для постановки цели и задач обучающимся даётся текст с рядом задач. На основании анализа текста ученики самостоятельно формулируют цели и задачи к данному уроку.

У каждого из вас есть карточка с задачами, просмотрите эти задачи, что является новым для вас

Карточка №1
1.Рабочий выложил плитку следующим образом: в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток и т.д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки. Сколько потребуется рабочему плиток, чтобы выложить 6 рядов
2 Задача очень непроста:
Как сделать, чтобы быстро
От единицы и до ста 
Сложить в уме все числа?

3.Дана арифметическая прогрессия: -6,2; -1,2; 3,8…Найдите сумму первых пяти её членов.

4. Найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии , если а₁=4, а₁₀ = 56

5. Найти сумму первых 6 членов арифметической прогрессии : 4,8,12,…..

6. Родители ко дню рождения Николая решили купить и обновить мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 руб, а в каждый последующий месяц они откладывали на 50 руб больше, чем в предыдущий. Какая сумма денег будет у родителей Николая через 10 месяцев?

7. Найти сумму четных двузначных чисел.

О:«Сумма n- первых членов арифметической прогрессии».

Цель урока вывести формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии, используя разные математические методы.

Задача: научиться применять формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии

III. Обьяснение нового материала

Создание проблемной ситуация

Задача №1
Рабочий выложил плитку следующим образом: в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток и т.д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки. Сколько потребуется рабочему плиток, чтобы выложить 6 рядов
Решение:

Составьте к задаче последовательность из 6 чисел: 3, 5, 7, 9, 11,13

Нетрудно убедиться, что данная последовательность является арифметической прогрессией.

Чтобы узнать количество всех плиток, надо узнать сумму этих чисел, т.е найти сумму первых 6 членов ар.прог.

Подумайте как найти количество всех плиток

(Ответы учеников)

Д а, можно решить эту задачу непосредственным сложением чисел. Но этот способ не рационален. А если бы перед вами стояла задача: найти S₁₀₀, как вы думаете сколько времени вам потребовалось?

Задача №2 (Ученик №1)

Простейший вариант решения этой задачи принадлежит знаменитому немецкому математику Карлу Гауссу.

Гаусс Карл Фридрих – знаменитый немецкий математик родился 30 апреля 1777 г. Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг.

Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. Около трех лет от роду он уже умел считать и выполнять элементарные вычисления. Однажды, при расчетах своего отца, который был водопроводным мастером, его трехлетний сын заметил ошибку в вычислениях. Расчет был проверен, и число, указанное мальчиком было верно.

Рассказывают, что, когда, Карл Гаусс учился в начальной школе, преподаватель предложил ученикам самостоятельно найти сумму ряда от 1 до 100. Он предполагал, что ученики будут складывать эти числа по порядку, на что потребуется не менее 10 минут. Какого же было его удивление, когда маленький Карл через 1-2 минуты заявил, что он задание выполнил и дал правильный ответ.

У .Как же так быстро удалось маленькому мальчику найти ответ?

Сам Гаусс объяснял это так:

"Я заметил, что 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и т. д. Пара ровно отстоящих от краёв ряда чисел даёт 101 и последняя пара средних чисел даёт 101 = 50 + 51. Числа, взятые по паре с начала и с конца ряда встречаются в середине после 50 сложений этих пар. Поэтому надо 101 x 50 = 5050. Это число и будет суммой всех 100 чисел".

Воспользуйтесь идеей Гаусса для решения задачи про плитки.(устно)

3,5,7,9,11,13

Вывод формулы (Ученик №2)

Давным-давно один мудрец сказал,

Что прежде надо

Связать начало и конец

У численного ряда

Пять первых связок изучи, 

Найдёшь к решению ключи.

Запишем сумму данных чисел, а под ней – те же слагаемые в обратном порядке:

S₁₀₀ = 1+2+3+4+5+........+99+100

S₁₀₀ = 100+99+…….+5+4+3+2+1

Сложим  почленно  эти два равенства. Каждая пара слагаемых даст один и тот же результат 101.

2 S₁₀₀ = 101+101+101+101+……….+101   из числа 100 слагаемых

2 S₁₀₀ = 101*100

S₁₀₀ = (101*100)

2

Таким образом :Сумма п первых членов ар прогрессии =полусумме первого и последнего членов, умноженной на их количество

Чаще всего арифметическая прогрессия задана первым её членом и разностью. 

В этом случае нам удобнее пользоваться формулой, представленной в другом виде.                                                         

IV. Первичное закрепление4.

Учитель: математику учить надо за то, что она ум в порядок приводит. Математика миру подарила формулы, которые позволяют делать различные расчеты. Перед нами стоит задача научиться применять формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

Каточка №2

1.Рабочий выложил плитку следующим образом: в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток и т.д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки. Сколько потребуется рабочему плиток, чтобы выложить 6 рядов
2. Задача очень непроста:
Как сделать, чтобы быстро
От единицы и до ста 
Сложить в уме все числа?

3Дана арифметическая прогрессия: -6,2; -1,2; 3,8…Найдите сумму первых пяти её членов.

4) Найти сумму первых 60 членов арифметической прогрессии , если а₁=4, а₆₀ = 92

5) Найти сумму ста первых четных натуральных чисел.

6) Найти сумму 40 первых членов арифметической прогрессии, если a₂ = 7, а₄ =11.

(Свойство ар.прогрессии для нахождения а₃)

7) Найдите сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен 10 и разность равна 3.

 5. Устные упражнение на закрепление.   

Вопросы: 1) Чему равна сумма 10 первых натуральных чисел  (20, 40)?

                 2) Какие типы задач позволяет решать эта формула?

                 3) Я задумала арифметическую прогрессию. Задайте мне только

два вопроса, чтобы вы смогли найти сумму ста первых членов этой

                    прогрессии?

«Занимательное свойство арифметической прогрессии». *

Ученик №3

Дана “стайка девяти чисел”:

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19.

Она представляет собой арифметическую прогрессию. Кроме того, данная стайка чисел привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата 3х3 так, что образуется магический квадрат с константой, равной 33.

Знаете ли вы, что такое магический квадрат? Квадрат, состоящий из 9 клеток, в него вписывают числа, так чтобы сумма чисел по вертикали, горизонтали диагонали была одним и тем же числом- constanta.

Замечание об арифметической прогрессии само по себе очень интересно. Дело в том, что из каждых девяти последовательных членов любой арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический квадрат.

1. Рефлексия. Я вам сейчас расскажу притчу, а  вы, прослушав, подумайте, как бы вы ответили на вопрос  мудреца  о своей работе на уроке.

Притча

Шел мудрец, а навстречу ему 3 человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого он спросил: «Что ты делал целый день?» И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?», и тот ответил: «Я добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием:

«А я принимал участие в строительстве храма!»

Кто ответил бы также как первый человек?   (поднимают   круг)

Кто ответил бы также как второй человек?   (поднимают  треугольник)

Кто ответил бы также как третий  человек?   (поднимают  квадрат)

V. Итог урока, дом. зад. П.26 ,№603, 604, сообщение «Жизнь и деятельность К.Гаусса»

№ 610,612.

Сдать тетради на проверку

Урок сегодня завершен,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут!