Формы и приёмы использования устных упражнений на уроках математики.

Формы и приёмы использования устных упражнений на уроках математики.

Устные упражнения - неотъемлемая часть урока математики. Они могут проводиться как в начале урока, так и на любом его этапе. Одним из методов обучения математике является систематическое проведение устных упражнений. Эти упражнения требуют знания теории, применения теоретических знаний к решению задач, применения рациональных приемов вычислений и преобразований, логического мышления и, наконец, дают возможность прочно закрепить изученный материал.

Одной из главных задач, которые ставятся при обучении математике, является совершенствование вычислительной культуры учащихся.

К основным компонентам вычислительной культуры можно отнести:

1) прочные и осознанные знания свойств и алгоритмов операций над числами;

2) умение по условию поставленной задачи определить, являются ли исходные данные для вычислений точными или приближенными числами, прочные знания правил приближенных вычислений и навыки их выполнения;

3) умение правильно сочетать устные, письменные вычисления и вычисления с применением вспомогательных средств;

4) устойчивое применение рациональных приемов вычислений;

5) автоматизм навыков безошибочного выполнения вычислительных операций;

6) аккуратная и экономная запись расчетов;

7) применение рациональных приемов контроля вычислений;

8) умение на определенном теоретическом уровне обосновать правила и приемы, применяемые в процессе вычислений.

Культура выполнения тождественных преобразований развивается так же, как и культура вычислений, на основе прочных знаний свойств операций над объектами (числами, векторами, многочленами и др.) и алгоритмов их выполнения. Она проявляется не только в умении правильно обосновать преобразования, но и в умении найти кратчайший путь перехода от исходного аналитического выражения к выражению, наиболее соответствующему цели преобразования, в умении проследить за изменением области определения аналитических выражений в цепочке тождественных преобразований, в быстроте и безошибочности выполнения преобразований.

Выполняемые учащимися вычисления и тождественные преобразования всегда в какой-то мере служат достижению образовательной, воспитательной практической целям преподавания математики. Однако посредством целесообразного подбора задач они могут подчиняться одной из этих целей более, чем другим. Положительный познавательный эффект от применения вычислений и тождественных преобразований может быть получен при изучении любой темы программы. Например, законы арифметических действий над натуральными числами устанавливаются исключительно с помощью вычислительных упражнений. Вычисления и тождественные преобразования помогают выявлять свойства геометрических фигур.

Задачи познавательного характера подбираются (составляются) так, чтобы вычисления и преобразования не слишком отвлекали внимание учащихся от тех понятий, свойств, законов, которые изучаются с помощью таких задач.

Воспитательное воздействие вычислений и тождественных преобразований может быть направлено на развитие логического мышления, если только от учащихся будут систематически требоваться обоснования вычислений и тождественных преобразований, на развитие функционального мышления, что достигается различными путями, в частности вычислением значений выражений с переменными при различных наборах значений переменных или выполнением вычислений с помощью графиков функций. Совершенно очевидно значение вычислений и тождественных преобразований в развитии воли, памяти, сообразительность, самоконтроля, творческой инициативы.

Основы культуры вычислений и тождественных преобразований закладываются в начальной школе. В четвертом классе повторяются и систематизируются сведения о четырех арифметических действиях над целыми неотрицательными числами. В процессе этой работы надо добиться, чтобы учащиеся усвоили и всегда придерживались следующей системы требований:

а) Если в задачнике нет указаний, каким способом производить вычисления, то там, где это посильно, их следует выполнять устно. Если устное выполнение действий затруднительно, надо подумать, каким способом оно может быть выполнено быстрее - письменно или с помощью имеющихся под руками вспомогательных средств (счетов, таблиц и т.д.) и выполнять его этим способом.

б) Перед вычислением значения числового выражения или выражения с переменными подумать, нельзя ли применить свойства действий для более удобных вычислений. Записывать промежуточные результаты, получаемые от применения свойств действий, следует только тогда, когда становится затруднительным их запоминание.

в) Запись цифр и букв должна быть правильной, аккуратной. При письменном выполнении действий запись компонентов делается строго по известным правилам.

г) Результат вычислений считать правильным только после проверки. После введения понятия о тождественных выражениях, тождестве и тождественном преобразовании, а затем правил приближенных вычислений требования расширяются.

д) Если нужно выполнить тождественные преобразования заданного выражения, то не следует сразу же руководствоваться возникшей догадкой - надо мысленно поискать возможные варианты начала преобразований и выбрать тот из них, который покажется наиболее выгодным.

е) Не приступать к выполнению вычислительной работе до выяснения характера данных - точных или приближенных. Если хотя бы один из компонентов выполняемого действия есть приближенное число, действие выполняется по соответствующему правилу приближенных вычислений.

Вопросы развития культуры вычислений и тождественных преобразований тщательно планируются. При тематическом планировании определяется целевая установка вычислительной работы и тождественных преобразований, намечается дидактический материал и методы работы с ним. Здесь важно учитывать особенности организации и проведения различных видов вычислительных и тождественных преобразований.

Устные вычисления (преобразования) - это вычисления в уме. Основное их преимущество перед другими видами вычислений состоит в большой экономии времени, затрачиваемого на вычисления. Устные вычисления обладают особенностью вызывать высокое напряжение мышления, большую сосредоточенность внимания. Эта напряженная мыслительная деятельность может быть использована с большим эффектом для формирования у учащихся прочных и глубоких математических знаний. С этой целью при изучении того или иного программного вопроса разрабатывается система устных вычислительных упражнений-задач, каждая из которых имеет определенное назначение: или подготовить учащихся к восприятию вновь вводимого понятия, или способствовать выявлению свойств понятий и их доказательству, или побудить учащихся к творческому решению возникшей проблемы.

Устные упражнения могут проводиться [25]:

1. по таблицам, заранее заготовленным на бумаге, переносной или классной доске и скрытым от учащихся до начала упражнений; включаемые в таблицу упражнения целесообразно нумеровать, это позволит учителю выбирать наиболее удобную позицию для управления классом и наблюдения за работой учащихся;

2. с записью учащимися исходных данных, сообщаемых учителем; в этом случае каждый ученик оказывается, как бы изолированным от остальных и вынужден проявлять более высокую степень самостоятельности;

3. с восприятием учениками исходных данных на слух; это наиболее трудный, но и наиболее развивающий внимание учащихся вид упражнений: упражнения располагаются по возрастающей степени трудности, и сразу же надо переходить к записи исходных данных, как только от учащихся начинают поступать ошибочные ответы, иначе активность класса значительно спадет;

4. по задачникам: учащиеся находят задачу по названному номеру. Совсем не обязательно устное решение всего примера или текстовой задачи.

5. устные вычисления имеют большое практическое применение. В курсе алгебры имеется немало возможностей развивать и совершенствовать навыки устного счета, приобретенные учащимися в предшествующих классах.

6. следует четко определить уровень трудности заданий для устного счета в соответствии с возрастными возможностями учащихся. Хотя навыки устных вычислений из года в год совершенствуются, и повышается уровень сложности таких заданий, однако было бы ошибкой считать, что всюду, где это возможно, следует предпочитать устные вычисления письменным. Очевидно, что выполнение вычислений в уме, как правило, требует большего умственного напряжения, чем письменные вычисления, и быстрее приводит к утомлению, а в итоге и к ошибкам. Поэтому учитель не должен перегружать учащихся работой, связанной с устными вычислениями достаточно громоздких значений выражений, если такие вычисления легче и быстрее выполнить письменно.

7. готовясь к уроку, полезно наметить, какие задания полностью или частично предложить учащимся выполнить устно, а какие - только письменно. Кроме того, полезно время от времени проводить математические диктанты и другие виды самостоятельных работ, в которых учащиеся, выполняя вычисления в уме, записывают только полученный ответ.

8. устная работа имеет немаловажное значение, как для учителя, так и для

9. учащихся. И это понятно: во-первых, во время устной работы можно выяснить, хорошо ли усвоен теоретический материал; во-вторых, соответствующий подбор вопросов позволяет подготовить к восприятию нового; в-третьих, это одна из удобных форм организации повторения. Кроме того, во время устной работы можно задействовать большое количество учеников, что позволяет значительно оживить урок, сделать его более динамичным и эмоциональным. В зависимости от формы организации устной работы мы можем отследить, как хорошо учащиеся владеют определенными навыками, насколько грамотно они строят предложения.

Форма устных упражнений разнообразна:

• традиционные: вычислить, сравнить, упростить, решить;

• нетрадиционные: математическая лестница, задача-загадка, задача в стихах, работа по блок-схеме, вычисление цепочкой, задачи экономического содержания, задачи экологического содержания, задачи со сказочными героями, задачи логического характера, задачи-шутки, задачи, требующие нестандартного решения.

Рассмотрим традиционную форму на примере темы «Сложение целых чисел»:

1. Сложение путем последовательного прибавления к одному числу отдельных разрядов другого числа, начиная с высших.

a) 62+54=? К 62 прибавим 50, к сумме 112 прибавим 4, получим 116.

b) 3745+637=? К 3745 прибавим 600, к сумме 4345 прибавим 30 и к 4375 прибавим 7, получим 4382. Но как этот пример можно посчитать еще быстрее? 3745+637=? К 37 сотням прибавим 6 стен, получим 43 сотни, т.е. 4300, затем сложим 45 и 37, получим 82 единицы. 4300+82=4382.

2. Сложение путем округления чисел.

а) 96+47=? Заменим эту сумму другой 100+47=147. Затем вычтем излишне прибавленные 4 и получим 143, т.е. 96+47=(96+4) + (47-4)=100+43=143

b) 2984+996+1998+4002=? Заменим 3000,1000,2000,4000. Получим 10000. Отнимем от суммы 10000 число 20(так как 22 должно быть отнято и 2 прибавлено), получим 9980.

3. Сложение с перестановкой слагаемых.

a) 72+63+28=? Заметим, что третье слагаемое является дополнением первого до 100. Мысленно переставим слагаемые. Сложим 72+28+63=163

b) 3013+74+2187+126=? Расположим слагаемые попарно

(3013+2187)+(74+126)=5200+200=5400.

Приведём несколько примеров нестандартных устных упражнений, например по теме «Умножение обыкновенных дробей».

1. «Правда, дети, я хорош?

На большой мешок похож.

На морях в былые годы

Обгонял я пароходы...» (С. Маршак)

Кто же я? Лишь ответы вы узнаете - загадку сразу отгадаете.

Вычислите 2,5 4; 6,3+0,1; 2:0,4; 1,2+1,8 ; 1- 1,5-

Используя обозначения: 10 - и; 5 - в; 0 - и; 3 - н; 6,4 - н; - г; - п ,

назовите, о ком идет речь в стихотворении С. Маршака, (пингвин).

1. Найдите две обыкновенные дроби, каждая из которых больше 1/4 и меньше 1/3. Сколько таких дробей?

2. Найдите сократимую дробь, у которой числитель меньше знаменателя и которая не изменится, если ее перевернуть «вверх ногами».

4. Сколько потребуется краски для того, чтобы покрасить доску прямоугольной формы, размеры которой, а=2,5 м, в=1,2 м, если на 1м² расходуется 200г краски? Ответ выразите в килограммах.

Так же можно предложить форму организации работы с учащимися в виде «задачи-цепочки». Сначала учитель называет учащимся число, далее диктует действие, которое учащиеся должны устно произвести с данным числом.

Следующую операцию, продиктованную учителем, учащиеся проводят с тем числом, которое у них получилось и т.д. Получаем «цепочку» результатов.

Предложенная форма устной работы не всегда приемлема, так как она, во- первых, фиксирует только одно слабое место в навыках и умениях, а во-вторых, вскрывает ошибку, присущую большинству учащихся класса. Но, тем не менее, цель, поставленная преподавателем, будет достигнута.

Большое применение имеют различные дидактические материалы: карточки, таблицы и т.д. Рассмотрим, например, карточку с материалом для устных вычислений:

С помощью такой карточки можно предлагать учащимся различные задания в одно действие. Вычисления, выполняются учащимися в уме, записывая только ответ.

При составлении задания, в целях более быстрого отыскания данных учащимися, можно выбрать данные из одной какой-либо строки или одного столбца, например:

1. Найти сумму чисел: А1 и В1;В1иС1; D1 и Е1; А1и А2; В1 и ВЗ; В4 и В5; D4 и Е4 и т.д.

2. Найти разность чисел: А2 И В2; D2 И Е2; А4 И Е4; С5 И D5; В2 И В5; D1 и D3 и т.д.

3. Найдите произведение чисел: АЗ и СЗ; D1 и El; А5 и С5; D4 и Е4; ВЗ и D3; А5 и Е5 и т.д.

4. Найдите частное чисел: А1 и В1; АЗ и ВЗ; С5 и D5; D3 и ЕЗ; Е2 и D2; D3 и СЗ и т.д.

5. Возведите в квадрат каждое из чисел первого столбца, каждое из чисел второго столбца, каждое из чисел третьей строки, каждое из чисел четвертой строки и т.д.

Очевидно, что подобных упражнений может быть составлено довольно много. Однако, предлагая учащимся самостоятельную работу на устный счет, достаточно задать по два примера каждого вида. Карточки, подобные рассмотренной, могут быть использованы и для проведения письменных самостоятельных работ, однако в этом случае задания должны быть усложнены и содержать несколько операций.

На уроках математики часто используются игры. Еще известный французский ученый Луи де Броль утверждал, что все игры (даже самые простые) имеют много общих элементов с работой ученого. В игре привлекает поставленная задача и трудности, которые надо преодолеть, а затем радость открытия и ощущение преодоленного препятствия. Еще Л. С. Выготский отмечал, что игра сама по себе - «источник развития и создает зону ближайшего развития».

Применение игр в первую очередь предназначено для того, чтобы заинтересовать наиболее пассивную часть класса, редко принимающую участие в работе на уроке при традиционном его проведении. Поэтому на начальном этапе, при введении в практику урока дидактических игр, представляется целесообразным применять игры, не требующие глубокого знания и даже понимания текущего материала. В этом случае назначение дидактических игр - в развитии познавательного интереса, способствующего накоплению знаний, умений, навыков, в придании уроку более неформального характера, в привлечении внимания учащихся к проводящейся работе.

Постепенно назначение дидактических игр изменяется. Они начинают применяться для проверки полученных знаний посредством решения нестандартных задач в привлекательной, интересной для детей форме. При этом во время игры в группе главным действующим лицом на уроке становятся сами дети, а не учитель.

В качестве иллюстрации приведем несколько видов игр, направленных на развитие тех или иных способностей учащихся.

Игра «Запомни числа». Цель игры, развитие внимания, памяти учащихся и коммунальных способностей.

Условия игры. Учитель называет какое-либо число. Первый ученик повторяет это число и называет свое. Каждый следующий повторяет ранее названные числа и называет свое. Интерес игры в ее соревновательном характере: кто сможет запомнить больше чисел. Игра продолжается до первой ошибки.

Эту игру можно использовать в самом начале урока, так как она помогает ученикам настроиться на рабочий лад, создать хорошее настроение.

Игра «Пропусти число». Цель игры, развитие внимания учащихся и оценка знаний, полученных на предыдущих уроках.

Условия игры. Учитель предлагает учащимся по очереди называть вслух в порядке возрастания числа, начиная с 0,1, причем числа, содержащие 3 или кратные 3, следует пропускать. Ученик, назвавший запрещенное число, выбывает. Побеждает тот, кто остается последним.

В данной игре условия можно менять, в зависимости от изучаемой темы, например, при счете пропускать простые числа или числа, кратные 5,10 и т. д. Эту игру хорошо использовать в начале урока вместо опроса.

Рассмотрим применение устных упражнений на разных этапах урока:

1. Мотивация:

❖ устные упражнения используются перед введением формулы сокращенного умножения (а — b)². В начале урока учащимся предлагают вычислить (1,99)². Они либо перемножают столбиком 1,991,99=3,9601, либо считают на калькуляторе. А после введения этой формулы, учитель просит заново решить пример, но с использованием формулы.

(1,99)²=(2 - 0,01)²=4 - 2-2-0,01 + (0,01)² = 4 - 0,04 + 0,0001 = 3,9601

И делают вывод, что этот вариант намного проще и логичней.

Так же можно рассмотреть пример с обыкновенными дробями:

+()²=

❖ перед введением действий над дробями пользуются следующей интересной задачей: Сколько весит весь воздух? При её решении необходимо определить, во сколько раз масса земного шара больше массы всего окружающего воздуха. Проводят не сложные размышления: на каждый см земной поверхности воздух давит с силой около килограмма, поверхность земного шара равна 510 млн. кв. км, т.е. 51 • 10⁷ кв. км. Рассчитаем, сколько квадратных сантиметров в квадратном километре. 1км = 1000м, 1м = 100 см, таким образом 1 км=10⁵см, а 1км²=(10⁵)² см². Значит, мы получили, что вся поверхность земного шара равна 5110⁷10¹⁰=5110¹⁷ см². Столько же килограммов весит и атмосфера Земли. Переведем в тонны: 5110¹⁷: 10³=5110¹⁴. Масса земного шара выражается числом 610²¹ тонн. Таким образом, чтобы определить, во сколько раз наша планета тяжелее своей воздушной оболочки, произведем деление: (610²¹): (5110¹⁴)10⁶.

1. Первичное закрепление, рассмотрим на примере формул приведения:

❖ нужно вычислить sin. Представим =6 . Запишем sin=sin(6)= sin= sin(), воспользуемся формулой sin(-t)=sin t, и получим, sin()= sin()=.

❖ необходимо вычислить sin120°. Это можно сделать двумя способами, применив формулы приведения. Можно разложить как sin(180° — 60°) , и применить формулу sin( — t) = sint , либо разложить как sin(90°+ 30°) и воспользоваться sin(+ t) = cos t.

Так же можно рассмотреть на примере темы «Умножение многочлена на многочлен» для 7 класса:

❖ Умножение двузначных чисел, близких к 100. Такое умножение можно выполнить устно, если применить правило умножения двучлена на двучлен.

Докажем тождество: (100 - а)(100 - b) = 100[(100 - а) - b] +ab. Доказательство:

(100 - a)(100 -b)= 100² - 100а - 100b +ab = (100² - 100a - 100b) +ab = 100(100 - a - b) + ab = 100[(100 - a) - b] + ab. Выполним умножение, используя доказанное тождество:

1. 86 • 97; т.е. a = 100 - 86 = 14, b = 100 - 97 = 3; 86 • 97 =100((100 - 14) - 3) + 14 •3 = 8300+42 = 8342;

2. 98 • 89 = 100(89 - 2) +2 • 11 = 8722.

❖Умножение двузначных чисел, у которых число десятков одинаковое, а сумма единиц равна 10. Докажем тождество: (10а + b)(10а + с) = 100а(а +1) + bс. Доказательство: ab = 10а + b, ас = 10а + с, b + с = 10; (10а + b)(10а + с) = 100а² + 10аb + 10ас + bс = (100а² + 10аb + 10ас) + bc = 10а(10а + b + с) + bс = 10а(10а + 10) + bc= 100а(а + 1) + bс.

97•93= (9•10) 100+21=9021.

1. Изучение нового материала, разберём на примерах приближенных формул из темы «Производная и её применение»

Одним из важнейших приложений производной является возможность приближенно вычислять значения функций. Основная, наиболее простая формула для приближенных вычислений значения функции может быть записана так: ydy, или, раскрывая более подробно: f(x) - у_оf `(х_о)х.

❖ Например, дана степенная функция у=хⁿ. Применим полученную формулу: (х₀ + х)ⁿ + nх.

Учащимся предлагают вычислить 1,0003⁵. Если воспользоваться полученной формулой, то это будет не сложно:

1,0003⁵=(1+0,0003)⁵1+5•0,0003=1,0015

2,0001⁷=(2+0,0001 )⁷2⁷+7-2⁶-0,0001=128+0,0448= 128,0448=128,04+0,01. Эту же формулу можно применить и для приближенного вычисления корней, учитывая, что. Например, =1- •0,001=0,9995.

1. Проверка знаний и умений учащихся. Проверку можно провести в виде математических диктантов или мини - тестов.

Математический диктант - одна из форм контроля знаний. Первая цель при использовании данного вида работы - проверка уровня готовности учащихся к дальнейшей работе. Каждый учитель знает, как трудно дети воспринимают язык математики на слух. У учащихся 5-6 классов основным является наглядно-образное мышление. Слышать и слушать учащихся нужно учить. Следовательно, вторая цель: научить детей слышать и понимать язык математики. Надо отметить, что такую работу нужно проводить систематически.

Составление математического диктанта:

1. составляется текст диктанта (с ответами на все задания), дается обоснование содержания;

2. указывается, на какое время рассчитан диктант;

3. описывается методика проведения (слуховой, зрительно-слуховой, зрительный, использование карточек, запись на магнитофон, использование переносных досок, индивидуальных досок и т. д.);

4. дается пример выполнения работы учеником.

Для иллюстрации приведем пример математического диктанта на тему «Сложение и вычитание чисел с разными знаками» для 6 класса:

1. -2,3+4,1

2. -5,6+(-1,8)

3. -4,3+(-7,9)

4. -5,3+4,2

5. 4,75 +(-2,73)

6. -8,2+3,8

7. 7,43+(-5,03)

8. -8,51+2,57

9. 5,7-9,4

10. -15,2+8,7

Или, математический диктант на тему «Упрощение выражений» для 5 класса:

1. 5х + 4х

2. 12b + 3b

3. 13k – 8k

4. 25m-10m

5. 15х + 3х + 5х

6. 18х + 2х-10х

7. 6а+4а-а

8. 2m + m +13 + 3

9. 8x+ 7x+12-10

10. 3у + 10 + 2у – 3

При такой форме работы можно использовать метод «закрытой доски»: доска закрыта; сидящие за партами должны выполнить задание самостоятельно; по окончании работы доска открывается, ученики проверяют свою работу и сами оценивают ее.

Еще одна форма работы, которая очень нравится ученикам, - это тесты «Проверь себя сам». Цель использования данных тестов: развитие критичности мышления, самоконтроля, внимания. При составлении тестов используется картотека типичных ошибок. Приведем пример теста по теме «Действия с десятичными дробями» для 5 класса (сложение и вычитание).

1. Выполните сложение: 0,17+1

а. 1,17 б. 0,18 в. 0,27

2. Выполните вычитание: 2-0,63

а. 0,61 б.1,37 в. 1,63

3. Найдите неизвестное число, для которого верно равенство х+3,75=6,9

а. 3,15 б. 10,65 в. 3,25

4. Найдите неизвестное число, для которого верно равенство 17,96-у=5,34

а. 12,62 б.35,44 в. 23,30

5. Найдите неизвестное число, для которого верно равенство 0,1+0,01+х+0,001=1

а. 0,999 б. 0,899 в. 0,889

6. Вычислите: 11,08+0,62-10,09+0,71

а. 2,32 б. 0,9 в. 1,32

7. Собственная скорость лодки равна 3,65 км/ч. Найдите скорость лодки против течения, если скорость течения реки равна 0,8 км/ч.

а. 4,45 км/ч б. 2,85 км/ч в. 3,57 км/ч

8. Скорость катера против течения равна 36,75 км/ч. Найдите скорость лодки по течению, если скорость течения реки равна 5,6 км/ч.

а. 42,35 км/ч б. 47,95 км/ч в. 31,15 км/ч

9. В первый день бригада собрала 4,5 тонн картофеля, во второй день на 0,8 тонн меньше, а в третий день на 2,25 тонн больше, чем во второй. Сколько тонн картофеля собрала бригада за три дня?

а. 14,15 т. б. 9,65 т. в. 10,45 т.

Ответы: 1-а. 2-6. 3-а. 4-а. 5-в. 6-а. 7-6. 8-6. 9-а.

Или, например, мини-тест: среди возможных ответов а)-б)-в)-г) выберите правильный.

1. х и у - положительные числа и ху. Какое из следующих чисел является наименьшим?

а) - (х - у);

б) - х ;

в) - (у - х);

г) - (х + у).

1. При каком значении х число 2х + 3 вдвое больше числа Зх - 1?

а)1 б) в) г.

1. Вершина параболы, задаваемой уравнением у=х2+4х-5, находится в:

а) 1 четверти; в) 3 четверти;

б) 2 четверти; г) 4 четверти.

1. Определите знаки выражений cos и sin 70°.

а)+,+; б) -, -; в) +, -; г) -, +.

1. Если длины сторон треугольника равны 1; 3 и 5 см, то этот треугольник:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный;

г) не существует.

1. Сколько диагоналей можно провести в выпуклом 12 - угольнике?

а) 48; б)30; в) 54; г) 60.

7. Решите неравенство

а) 0

б) х1; г) х 1.

Кроме повседневных устных упражнений, полезно проводить устные контрольные работы.

Устная контрольная работа по алгебре для 7 класса на тему «Действия над одночленами и многочленами. Формулы сокращенного умножения. Решение уравнений».

Карточка 1.

1. Что называется одночленом? Привести примеры.

2. Сформулировать правило вычитания многочленов. Привести пример.

3. Вычислить: ².

4. Выполнить действие: (5а² + 0,1)².

5. Решить уравнение: (х-5)-(5-3х) = 2.

Карточка 2.

1. Что называется многочленом? Привести пример.

2. Дополнить выражение 25с⁴-? +9а² до полного квадрата двучлена.

3. Выполнить действие: (-2а³b²) • (—3а²b).

4. Выполнить умножение: (За-2b) • (2b + 3а).

5. Решить уравнение: (2х + 1) + 3х = 16.

Карточка 3.

1. Что называется коэффициентом? Привести пример.

2. Сформулировать правило умножения одночленов. Привести пример.

3. Выполнить деление: (10а³b²-5ab):5ab.

4. В многочлене а²+4ab+х вместо х поставить такой одночлен, чтобы в результате получился квадрат суммы.

5. Чему равно а, если = 5?

Карточка 4.

1. Какие одночлены называются подобными? Привести пример.

2. Сформулировать правило возведения одночлена в степень. Привести пример.

3. Упростить: (5а-2b)-(3b-5а).

4. Вычислить: 55² — 54².

5. Вычислить: 4 • -3, если х = -2.

Карточка 5.

1. Что называется приведением подобных членов многочлена? Привести пример.

2. Сформулировать правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Привести пример.

3. Выполнить деление: а²ⁿ:2aⁿ.

4. В многочлене m²-10mn+х заменить х таким одночленом, чтобы в результате получился квадрат разности.

5. Решить уравнение: (х-4)+(х + 6) = 4.

Карточка 6.

1. Сформулировать правило сложения одночленов. Привести пример.

2. Как умножить многочлен на одночлен? Привести пример.

3. Разделить (-12b³с) на (-2b²с).

4. Выполнить действие: ².

5. Решить уравнение: 23-(х+5)=13.

Карточка 7.

1. Сформулировать правило сложения многочленов. Привести пример.

2. Как разделить одночлен на одночлен. Привести пример.

3. Выполнить действие: (5а³b²с)².

4. Вычислить: 47 • 53, применяя формулу умножения.

5. Показать на числовой оси место расположения точек m, если .

Вопросы к классу:

1. Чему равен куб суммы чисел m и n?

2. Чему равен куб разности чисел c и d?

3. Вычислить: 49 51 с помощью формулы умножения.

4. Выполнить действие:².

5. При каком условии сумма двух слагаемых равна нулю? Одному из этих слагаемых?

6. Что больше и на сколько: (2n-3)•(2n+3) или (2n+5)•(2n-5)?

7. Как изменится произведение abc, если каждый сомножитель умножить на n?

Устная контрольная работа по алгебре для 8 класса на тему «Квадратные уравнения. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на множители».

Карточка 1.

1. Дайте определение квадратного уравнения. Приведите пример.

2. Составьте квадратное уравнение по его корням: 2 и 3.

3. Решить уравнение: 4х² — 1 = 0.

4. Какие числа называются натуральными? Привести примеры.

5. Чему равно значение у/9 — 6х + х², если х 3?

Карточка 2.

1. Дайте определение неполного квадратного уравнения. Приведите примеры.

2. Решить уравнение: х² + 3х = 0.

3. Разложить на множители: а²-2а-3.

4. Какие числа называются рациональными? Привести примеры.

5. При каком условии: = b — а?

Карточка 3.

1. Какое квадратное уравнение называется приведенным? Привести пример.

2. Разложить на множители: х²-3х+2.

3. Решить уравнение: х² + 6х + 9 = 0.

4. Упростить:

5. Пользуясь формулой умножения, представить разность а²-b в виде произведения двучленов.

Карточка 4.

1. Сформулировать теорему Виета.

2. Не решая уравнения, определить знаки его корней: х²-6х+3 = 0.

3. Равносильны ли два уравнения: х²-4 = 0 и x-2 = 0?

4. Найти сумму и произведение корней уравнения 2х²— 5х + 1 = 0.

5. Задача. Произведение некоторого числа на утроенное то же число равно 12. Найти это число.

Карточка 5.

1. Что называется дискриминантом квадратного уравнения? Привести пример.

2. При каком значении р уравнение х² — рх + 10 = 0 будем иметь корень, равный 2?

3. Составить квадратное уравнение по его корням: 0 и 3.

4. Упростить выражение и вычислить результат с точностью до 0,01: .

5. При каком условии получается четное число от возведения целого числа в квадрат?

Карточка 6.

1. Выразить словами формулу корней приведенного квадратного уравнения и записать ее.

2. Определить число корней в уравнении: 2х² -9х+7 = 0.

3. Не решая уравнения х² -4х+1 = 0, составить новое, корни которого были бы в 2 раза больше корней данного.

4. При каких значениях х выражение не имеет смысла?

5. Чему равен , если а 0?

Карточка 7.

1. Выразить словами формулу корней квадратного уравнения общего вида и записать ее.

2. При каком значении q уравнение х² — 4х + q = 0 будет иметь равные корни?

3. Какие корни получаются при решении уравнения вида ах²+b=0?

4. Определить допустимые значения п в выражении.

5. Почему при возведении в квадрат несократимой дроби не может получиться целое число?

Карточка 8.

1. В каком случае и как раскладывается квадратный трехчлен на множители? Написать формулу.

2. Один из корней уравнения х² — kх + 10 = 0 равен 2. Найти коэффициент k.

3. Написать в общем виде квадратное уравнение, один из корней которого равен нулю.

4. Сложить и .

5. Определить допустимые значения х в выражении .

Вопросы к классу:

1. Как квадратное уравнение общего вида преобразовать в квадратное уравнение приведенного вида?

2. Составить квадратное уравнение, каждый из корней которого равен нулю.

3. Написать в общем виде квадратное уравнение, сумма корней которого равна нулю. Привести частные примеры.

4. Написать в общем виде квадратное уравнение, произведение корней которого равно нулю. Привести частные примеры.

5. Что называется корнями квадратного трехчлена?

6. Как вычисляются корни квадратного трехчлена?

7. Предложенные устные контрольные работы проводятся на уроке после прохождения соответствующей темы. Они являются дополнением к письменным контрольным работам.

Учащиеся должны быть подготовлены к проведению устных контрольных работ повседневными разнообразными устными упражнениями.

Карточки составлены таким образом, что каждая работа охватывает теоретический материал всей темы. Они содержат упражнения вычислительного характера и на применение правил, законов математических действий, на сообразительность, решение задач на доказательство.

1. Актуализация знаний, основной задачей этого этапа является подготовка мышления учеников и осознание ими потребности в построении нового способа действий. Рассмотрим устные упражнения по теме «Умножение и деление алгебраических дробей» для 8 класса.

❖ Возведение алгебраической дроби в степень:

1. Сформулируйте правила умножения и деления обыкновенных дробей с разными знаменателями.

2. Выполните действия и продолжите последовательность:

a) …;

б) ;…;

3. Сформулируйте свойства степени с натуральным показателем.

4. Выполните действия:

а) ³;

б) ⁴;

в) ⁴;

г) ⁵.

• Основные понятия:

1. Найдите лишнее выражение:

.

1. Установите соответствие между выражениями левого и правого столбцов. Какое выражение осталось без пары? Почему?

   a2+2ab+b2	a2-b2
   (a-b)(a+b)	a2+b2
   a2-2ab+b2	a3+b3
   (a-b)(a2+ab+b2)	(a-b)3
   (a+b)(a2-ab+b2)	(a+b)3
   	a3+b3

2. Найдите верные равенства:

а);

б) =2a;

в);

г);

д)

4. Найдите значение выражения при x=4; -8; 0; -5; 5.

❖ Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями:

1. Сформулируйте правило сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.

2. Вспомните способы нахождения наименьшего общего знаменателя и выполните действия:

а);

б) +;

в);

г);

3. Выберите для каждой пары наименьший общий знаменатель из предложенных:

а): 24, 10, 6, 4, 12

б) : 3y, 6y, 18y, 6y², 36y;

в): 10y², 10y³, 10y⁵, 10y⁶, 5y;

г); a-b, a²-b², a+b, a(a-b)(a+b).

Итак, мы убедились, что устные упражнения необходимо использовать на уроках, причем на различных его этапах. С их помощью можно быстро активизировать деятельность учащихся, повысить интерес к изучаемой теме, а учитель за короткий промежуток времени может оценить степень усвоения материала и выявить ошибки учащихся.