Функция и ее свойства

Раздел IV Функции. Урок 88. Класс 7.

Тема: Функция и её свойства.

Тип урока: комбинированный с элементами закрепления материала и систематизации знаний.

Метапредметны связи: физика, биология, литература.

Методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности: словесные; наглядные; практические; аналитические; самостоятельная работа учащихся.

Технологии: системно-деятельностная, здоровьесберегающая.

Форма урока: урок-практикум.

Формы работы учащихся: индивидуальная, работа в парах, самостоятельная работа.

Цели урока: научить определять свойства функции и читать график функции, научить использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности.

Основное содержание темы, термины и понятия: определение функции, область определения, область значения, график функции. Основные свойства функции.

Планируемые образовательные результаты:

личностные УУД: проявлять интерес к изучению темы; развивать образное и логическое мышление; формировать предметные умения и навыки, необходимые для успешного решения учебных и практических задач;

метапредметные УУД:

познавательные: моделирование ситуации из жизни, постановка и формулирование

проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера, выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий, рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

регулятивные: осознание возникшей проблемы, определение последовательности действий и составление плана для решения возникшей проблемы, внесение необходимых дополнений и коррективов в план и способ действий в случае расхождения с эталоном. Реального действия и его результата с учётом оценки этого результата самими обучающимся, учителем, товарищами.

коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации; владение монологической и диалогической формами речи, умение работать индивидуально и в парах.

предметные УДД: обучающиеся научатся находить значение функции по заданному аргументу, находить значение аргумента по значению функции. Развивать умение находить область определения функции. Уметь применять свойства функции для чтения графиков.

Оборудование урока: мультимедийный проектор (для показа презентации), компьютер; презентация, выполненная в программе Microsoft PowerPoint, раздаточный материал.

Ресурсы: Алгебра 7 класс: базовый уровень: учебник / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – 17-е изд., стер. Москва: Просвещение, 2025. – 255.

Наглядный и раздаточный материал. Презентация.

Ход урока.

1. Самоопределение к деятельности. Организационный этап.

а) Вступительное слово учителя:

Здравствуйте ребята. А знаете ли вы, сколько людей живет на планете Земля? По состоянию на январь 2026 года, население Земли составляет 8,27 миллиарда человек! Неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на земле. Каждый человек как функция многих переменных, одна из которых – время.

 Посмотрите друг на друга. Мы все разные. Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть сердце, руки и голова, уши и рот. Точно так же облик каждой функции можно представить объектом, сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций. Хотите это знать? Какова сегодня цель урока?

Научиться определять основные свойства функции.

б) Инструктаж по работе с маршрутным листом: На столах у вас лежат маршрутные листы. Подпишите их. В течение урока вы будете оценивать себя (приложение 1).

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

Учитель: Давайте повторим, что мы уже знаем, и в ходе повторения найдем, чему нам надо научиться, поставим перед собой задачу и сформулируем тему и задачи урока.

1.Итак, функция – это не только математическое понятие, но и:

Высказывания учащихся:

функция — работа, производимая органом, организмом. Например, функция печени – нейтрализация ядовитых веществ, синтез белка;

функция — возможность, опция, умение программы или прибора;

функция — обязанность, круг деятельности – исполнение поручений в классе;

функция персонажа в литературном произведении, то есть, как именно он будет помогать сюжетной линии выстраиваться в логичную схему;

функция — вид подпрограммы в информатике социальная функция;

- функция в математике — закон зависимости одной величины от другой, т.е. зависимость, при которой каждому значению переменной х ставится в соответствие единственное значение переменной у.

Учитель: х- аргумент, у – функция. Как можно задать функцию?

Учащиеся: Функцию можно задать аналитически, графически, таблицей, словесно.

Учитель: Отлично! Чтобы повторить основные понятия по теме «Функция» выполните задание № 1 на установление соответствия понятий. После выполнения задания вы сверитесь с ответами на экране.

Задание 1. Учащиеся устанавливают логические отношения между фрагментами определений.

Задание 1. Установить соответствие между фрагментами определений:

1	Область определения функции это все значения,	У	которые принимает зависимая переменная у
2	Область значений функции – это все значения,	Н	аргумента, при которых функция обращается в нуль.
3	Нули функции – это значения	К	сохраняет знак (принимает либо положительные значения, либо отрицательные)
4	Промежутки знакопостоянства – это промежутки, в которых функция	Ф	которые может принимать независимая переменная х
5	функция возрастает, если большему значению аргумента	Ц	соответствует большее значение функции
6	Прочитать график-это значит	Е	записать формулу, соответствующую графику
7	Способы задания функции	И	перечислить свойства функции
		Я	аналитический, графический, табличный, описательный

Каждому числу поставьте в соответствие букву:

1	2	3	4	5	6	7

Самостоятельно сверяются с ответами на экране. Заполняют оценочный лист.

Учитель: Есть ли среди предложенных определений те, ответить на которые вы затруднялись. Это все известные вам свойства?

Учащиеся выдвигают версии о том, что определение возрастающей и убывающей функции учащимся неизвестно, а также «Чтение графика» - новая формулировка задания. Фиксируется затруднение в деятельности

3. Постановка учебной задачи.

Учитель: Формулировка темы, целей и задач урока, определение области «знания-незнания» по теме, постановка проблемного вопроса.

Учащиеся: Формулируют тему и задачи урока: Функция и её свойства. Изучить свойства функции, учиться читать график.

Учитель: Опираясь на известные вам свойства, выполните задание 2 и задание 3 самостоятельно, потом в парах сравните свои решения.

Учащиеся: Пытаются выполнить задания. Обсуждают всем классом: выполняемое задание относится к области «Знания» или «Незнания».

4. Решение задач.

Задание 2. Примером функциональной зависимости служит выражение для нахождения площади квадрата: S=a², где а- длина стороны квадратa. Вычислите площадь комнаты, имеющей форму квадрата, если длина стены 5 м. Ответ: 25м²

Учащиеся: Чтобы найти значение функции при данном значении аргумента и заданной формуле функции, надо подставить значение аргумента в формулу функции и вычислить значение выражения – область «Знания». Ответ: 25м²

Учитель: Ребята, заполните бланк самооценки.

Задание 3. Функция у = позволяет рассчитать количество порций мороженного, которые можно купить по цене х рублей за порцию на 300 рублей. Сколько стоит порция мороженного, если купили 5 порций и потратили всю сумму?

Ответ: 60 рублей.

Учащиеся: В данную формулу подставили у=5, выразили х. х=60

Вычисление значения аргумента при данном значении функции и заданной формуле функции – область «Знания».

Учитель: Ребята, заполните бланк самооценки.

Учитель: Задание 4: Некоторая зависимость задана таблицей. Является ли предложенная зависимость функцией?

х	10	12	14
у	0	3	6 или 7

Учащиеся: В данной зависимости,заданной таблицей, нарушено условие единственности значения (значению независимой переменной х=14 соответствуют два значения). 

Учитель: в определении функции обозначено, что каждому значению х соответствует единственное значение функции у -– область «Знания». Заполнили бланк самооценки.

Возраст
Рост, см

Задание 5. В семейном альбоме вы нашли данные своего роста с рождения по настоящий момент времени. Это пример табличного задания функции. Для наглядности эти точки соединили, и получился график вашего роста.

Посмотрите на экран. Перед вами график роста Артема. Он любезно согласился представить нам свой первый график.

Учитель. В какой период жизни рост Артема изменялся более быстро?

А у вас? (График роста поострен накануне – домашнее задание)

Умеете ли вы строить графики?

Учащиеся: Да. Мы умеем строить прямую, параболу, кубическую параболу. Ребята изображают силуэты графиков.

5.Физкультминутка:

Учитель: Немного отдохнем. Встаньте, пожалуйста. Выполним несколько упражнений, но с математическим смыслом. На экране появится формула зависимости, которую необходимо продемонстрировать языком тела. (у=х, у=-х, у=160, у=х², у=-х², у=х³).

Учитель: Молодцы. Отлично! Ребята, какие вопросы по теме «Функция», мы еще не повторили?

Учащиеся: Нахождение области определения, области значений функции. Нахождение нулей функции и промежутков знакопостоянства.

Учитель: Верно. Более глубокие знания по этой теме вас еще ожидают в 9-11 классах, а шаг в будущее мы с вами сделаем уже сегодня.

Задание 6. Спросить несколько учащихся. Используя рисунок укажите область определения функции.

Укажите область определения функции. Ответ: 2) [-5; 7)

Учитель: Вы выбрали правильный ответ! Оказывается, вы начали читать график!

Задание 7. Спросить несколько учащихся.

У кажите область значений функции, график которой изображен на рисунке:

Ответ: 3) (-6; 6). Фиксируем результаты выполнения в листе самооценки.

Задание 8. Задание выполните по вариантам, а найденное решение проверит ваш одноклассник.

Учитель: Сверяемся. Ответ на экране (Ответ: б) -8; -3; 0; 5; 8). Молодцы! Справились. Заполняем лист самооценки.

З адание 9. 1 вариант: При каких значениях х функция принимает положительные значения? Выберите верное утверждение.

Вариант 1. 1) у0 при х_{ }(-3,5; 4)_{ } (3; 4);

2) у0 при х_{ }( - 3,5; 1)_{ } (3; 4];

3) у0 при х_{ }[3,5; 4)_{ } [3; 4];

Вариант 2. При каких значениях х функция принимает отрицательные значения? Выберите верное утверждение.

1)у [-5; -4)_{ } (1; 3);

2) у [-5; -3,5) (1; 3) 3) у [-2; 0)_{ } [3; 4];

Учащиеся: Ребята озвучивают выбранный вариант ответа.

Учитель: Мы с вами выполнили 9 заданий. Знаний было достаточно?

6. Построение проекта выхода из затруднения.

З адание 10. Даны графики функции у=кх+в (рис.1). Используется раздаточный материал. Разделите их на две группы и объясните, какими признаками вы руководствовались при выполнении задания.

Учащиеся ведут поисковую беседу.

У читель: Какие результаты?

Учащиеся: Мы заметили, что происходит с абсциссами и ординатами точек графиков функций при движении человечка по графику слева направо: они увеличиваются. Тогда можно сделать вывод о том, что если человечек будет двигаться по этим графикам слева направо, то ординаты точек графиков все время будут увеличиваться, он будет как бы «подниматься в горку».

Учитель: В таких случаях математики употребляют термин возрастание функции. Многие реальные ситуации описываются математическими моделями, представляющими собой линейные функции, которые возрастают. Например, еще из детской сказки «Три медведя» мы знаем, что с увеличением роста медведя, ему нужна большая кровать, большему медведю соответствует большая тарелка и ложка, меньшему медведю – меньшая кровать, меньшая тарелка и ложка. Песенка волка, который ловил хвостом рыбу: «Чем больше посижу, там больше наловлю, чем больше наловлю, тем больше я поем…»

Ребята, приведите из повседневной жизни еще примеры возрастания функции.

Учащиеся: Например, чем больше покупаем тетрадей, тем больше сумма оплаты; чем больше растений в помещении, тем больше кислорода.

Учитель: Аналогичные рассуждения можно провести и для другой группы графиков функций. Рассмотрим вторую группу графиков функций у= –х–3; у= –х+2; у= –3х–2.

Ученики: Если человечек будет двигаться по этим графикам слева направо, то ординаты точек графиков все время будут уменьшаться, он будет как бы «спускаться с горки».

Учитель: В таких случаях математики говорят, что функция убывает. Пример проявления свойства убывания функции предлагаю вам придумать самостоятельно.

Учащиеся: Тише едешь, дальше будешь; чем больше знаменатель, тем меньше дробь; чем больше глубина, тем меньше света и т.д.

Учитель: Спросить отдельных учащихся. При необходимости помочь.

Попробуйте, глядя на рисунок, описать свойства возрастания или убывания функции, пользуясь понятиями «подниматься в горку», «спускаться с горки».

Задание 11. Анализируя график функции, изображенный на рисунке, опишите свойства возрастания или убывания функции, пользуясь понятиями «подниматься в горку», «спускаться с горки».

Учащиеся: Ответ. На луче (–∞;0] функция у=х² убывает. При этих значениях х, двигаясь по параболе слева направо, мы «спускаемся с горки», на луче [0; +∞) функция у=х² возрастает. При этих значениях х, двигаясь по параболе слева направо, мы «поднимаемся в горку».

Ответ: На луче (–∞;0]

функция у =–х² возрастает. При этих значениях х, двигаясь по параболе слева направо, мы «поднимаемся в горку». На луче [0;+∞) функция у = –х² убывает. При этих значениях х, двигаясь по параболе слева направо, мы «спускаемся с горки».

Учитель: Математики не очень жалуют способ исследования свойств функции с помощью рассуждений «движение в горку», «движение с горки». Они считают, что определения понятий не должны опираться на рисунок, – чертеж должен лишь иллюстрировать то или иное свойство функции на ее графике.

Задание 12. Учитель: Попробуйте дать строгие определения понятий возрастания и убывания функции, заполнив пропуски в тексте и используя слова- помощники.

На экране:

Функция возрастает, если____________ значению аргумента соответствует ________ значение функции. Функция убывает, если _________ значению аргумента соответствует _________________ значение функции. Слова-помощники: большему, меньшему, меньшее, большее.

Учитель: Как вы думаете: что означает фраза «Прочитать график»?

Учащиеся: Чтение графика функции - это описание свойств функции по её графику.

7. Закрепление полученных знаний и навыков. Рефлексия.

Учитель: Ребята, выполненные задания в течение урока позволяют нам составить план описания свойств функции по её графику.

Задание 13. Ознакомьтесь с предложенным планом. Может, что-либо нужно еще добавить?

Учащиеся: Работают в парах. Изучают план описания свойств функции:

 План: 1. Область определения функции - это значения переменной х. Определяется по оси х. Обозначается D(f)

2. Область значений функции - это значения переменной у. Определяется по оси у. Обозначается Е(f).

3. Нули функции - это значение х, при котором у=0. Определяются как абсциссы точек пересечения графика с осью х.

4. Промежутки знакопостоянства функции - это множество значений х, при которых у0, либо уграфика, лежащей выше оси х либо ниже оси х.

Учащиеся: 5. Промежутки возрастания, убывания функции (дополняют дети).

Учитель: Молодцы. Правильно. В старших классах вы познакомитесь еще с другими свойствами функций: наибольшее и наименьшее значения функции, т.е. самое большое и самое маленькое значение зависимой переменной. Свойства, которые имеют не все функции: непрерывность; ограниченность; четность, нечетность; периодичность, вогнутость, выпуклость. Чтение графиков функций имеет большое практическое значение (в экономике, медицине, геодезии, и т.д.).

8. Диагностика качества учебно-познавательной деятельности.

Учитель: Организует деятельность по применению новых знаний в виде решения тестового задания 14.

Задание 14. Ученики: Выполняют тестовое задание.

П рочитайте график (укажите свойства функции по данному графику). Выберите букву ответа. При правильном выборе получите кодовое слово.

	Свойство	Вариант ответа	Вариант ответа	Вариант ответа
1	Область определения функции	А)[-2;3]	У) [-3; 3]	О) [-2; 2]
2	Область значений функции	С) [-2;3]	Т)[-3; 3]	Н) [0; 3]
3	Нули функции	П) х=-2,5; х=1	Р) Нулей нет	М) х=-2,5
4	Промежутки знакопостоянства	Ю) y 0 х [-3; -2,5) y [-2; 0)	Е) y 0 х [-3; -2,5)  (1; 3] y [-2,5; 1)	И) y 0 х [-3; -2,5)  (1; 3] y
5	Промежутки возрастания	Х) [-0,5; 2]	Ш) [-2; 2]	Ф) Только убывает

9. Контроль и оценка результатов деятельности.

Учитель: Прошу поднять руку, кто получил кодовое слово «УСПЕХ»? Молодцы!!! Учитель демонстрирует ответы на слайде. Учащиеся проверяют правильность выполнения задания. Заполняют лист самоконтроля.

10. Домашнее задание.

Прочитайте график рисунок 25 на странице 64 учебника алгебра 7 класс (укажите свойства функции по данному графику). Творческое задание по желанию: создать презентацию или сообщение о практическом применении графиков функций (в экономике, медицине, геодезии, и т.д.).

11. Рефлексия деятельности.

Учащиеся: Осуществляют самооценку собственной учебной деятельности, соотносят цели и результаты, степень их соответствия. Ставят себе итоговую оценку в лист самооценки.

Учитель: Организует рефлексию. Ставит оценки в журнал в соответствии с листами самооценки учащихся. Подводит итоги урока.

Приложение 1 Лист самооценки. ФИО учащегося _______________________________

№	Деятельность учащегося	Критерии самооценки.	Самооценка.
1.	Формулировка темы урока, цели и задач урока. Актуализация опорных знаний.	Я сам смог определить тему, цель и задачи урока-2 балла. Я смог определить только тему урока 1 балл. Я не смог определить тему, цель и задачи урока - 0 баллов. Задание 1 на установление соответствия понятий. Я правильно установил соответствие и получил кодовое слово- 3 балла 2) Задание 2: Я правильно вычислил площадь квадрата – 1 балл 3) Задание 3: Я правильно вычислил стоимость порции мороженного - 1 балл 4) Задание 4: Я определил, что предложенная зависимость функцией не является – 2 балла 5) Задание 5. Я правильно определил период жизни Артема, когда его рост изменялся более быстро – 1 балл Я выполнил упражнения ФИЗМИНУТКИ правильно - 1 балл 6) Задание 6.Я правильно нашел область определения функции. – 1 балл 7) Задание 7.Я правильно определил область значений функции. – 1 балл 8) Задание 8.Я правильно нашел нули функции. – 1 балл 9) Задание 9.Я правильно нашел промежутки знакопостоянства функции. – 1 балл
2.	Построение проекта выхода из затруднения	10) Задание 10. Я разделил на две группы данные графики - 1 балл Я объяснил, какими признаками я руководствовался при выполнении задания – 1 балл 11) Задание 11 Я, глядя на рисунок, смог описать свойства возрастания или убывания функции, пользуясь понятиями «подниматься в горку», «спускаться с горки» - на рисунке 1 – 1 балл - на рисунке 2 – 1 балл 12) Я правильно заполнил пропуски в тексте, используя слова- помощники – 1 балл Я приводил примеры зависимости величин возрастающих и убывающих – 2 балла
3.	Закрепление	Изучил план исследования свойств функции – 1 балл Дополнил план исследования функции – 2 балла
4.	Диагностика качества учебно-познавательной деятельности.	Выполнил тестовую работу без ошибок – 5 баллов. Количество правильно выполненных пунктов = количеству баллов. Не решил – 0 баллов;
5.	Контроль и оценка результатов деятельности.	Заполняют лист самоконтроля.
6.	Выбор домашнего задания	4 балла – выбрали 2 задания; 2 балла - выбрали 1 задание
	Итог урока	Всего баллов: __________ Нарисуй смайлик, характеризующий твоё настроение Поставь себе оценку: ____________________________ ( 29-34 баллов - «5», 25-28 баллов – «4», 18-24 баллов – «3»)

12