Презентация на тему: "Функция. Свойства функции"

Урок алгебры в 9 классе

Функция.

Свойства функции.

Cодержание

1. Определение функции.

2. Способы задания функции.

3. График функции.

4. Алгоритм описания свойств функции.

5. Свойства функции.

Функция

Функция это зависимость переменной у от

переменной х , при которой каждому значению

переменной х соответствует единственное значение переменной у .

Краткая запись: у = f(х), у = φ(х)…

Читаем: «игрек равно эф от х»

Переменная х ( аргумент ) – независимая переменная.

Переменная у (функция) – зависимая переменная

Задание 1.

Определите, какая из данных зависимостей является функциональной

1) x y 2) a q 3) x d 4) n f

1. Функция , т.к. каждому значению переменной х ставится в соответствие единственное значение переменной у

2. Не функция , т.к. не каждому значению переменной а ставится в соответствие единственное значение переменной q

3. Не функция , т.к. одному из значений переменной х ставится в соответствие не единственное значение переменной d

4. Функция , т.к. каждому значению переменной n ставится в соответствие единственное значение переменной f

1) x y 2) a q 3) x d 4) n f

Способы задания функций

- Аналитический (с помощью формулы)

- Графический

- Табличный

- Описательный (словесное описание)

Сила равна скорости изменения импульса

х

у

-39

8

3

-2

0

-7

График функции

Графиком функции f называют множество всех точек

(х; у) координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Задание 2 .

Определите, какой из данных графиков является графиком функции

Рис.1 Рис.2 Рис.3 Рис.4

у

у

у

у

х

х

х

х

НЕ ЯВЛЯЮТСЯ графиками функций рис.1, рис. 3,рис. 4

Свойства функции

Алгоритм описания свойств функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Нули функции

4. Четность

5. Промежутки знакопостоянства

6. Непрерывность

7. Монотонность

8. Наибольшее и наименьшее значения

9. Ограниченность

10. Выпуклость

1.Область определения

Область определения функции – все значения, которые принимает независимая переменная.

Обозначается : D (f).

Пример . Функция задана формулой у =

Данная формула имеет смысл при всех значениях

х ≠ -3 , х ≠ 3,

поэтому D( y )=(- ∞;-3) U (-3;3) U (3; +∞)

2. Область значений

Область (множество) значений функции – все значения, которые принимает зависимая переменная.

Обозначается : E (f)

Пример . Функция задана формулой у =

Данная функция является квадратичной , график – парабола, вершина (0; 9)

поэтому E( y )= [ 9 ; + ∞)

Нахождение области определения, области значений

.

у

4

у = f (х), где -3 ≤ х ≤ 3

Найти:

3

.

2

1) область определения;

1

2) область значений.

0

х

1

3

2

-2

-3

-1

-1

1) D(у): [-3; 3]

-2

-3

2) Е(у): [-4;4]

-4

3. Нули функции

Нули функции – значения аргумента (х), при которых функция (у) равна нулю .

На графике нули функции – значения на оси Х , в которых график пересекает ось Х .

Найти нули

функции

у = f(х)

1) х₁ = -4; х₂ = 2.

Выполняется учащимися самостоятельно.

Найти нули

функции

у = f(х)

1) х₁ = 0; х₂ = 6.

Выполняется учащимися самостоятельно.

4. Четность

Нечетная функция

Четная функция

Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого х из области определения выполняется равенство

f (-x) = - f (x) . График нечетной функции симметричен относительно начала координат .

Функция y = f(x) называется четной, если для любого х из области определения выполняется равенство f (-x) = f (x). График четной функция симметричен относительно оси ординат .

0 (график расположен выше оси ОХ) при х  (- ∞; 1) U (3; +∞) , y(1;3) " width="640"

5. Промежутки знакопостоянства

Промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой знак и не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства.

y 0 (график расположен выше оси ОХ) при х  (- ∞; 1) U

(3; +∞) ,

y(1;3)

0 на х ϵ (a;b), где ϵ - «принадлежит» " width="640"

Промежутки знакопостоянства функции

Функция принимает положительные значения на промежутке , если точки графика этого промежутка лежат выше оси Х

Запись: у 0 на х ϵ (a;b),

где ϵ - «принадлежит»

Промежутки знакопостоянства функции

Функция принимает отрицательные значения на промежутке , если точки графика этого промежутка лежат ниже оси Х

Запись: у ˂ 0 на х ϵ (a;b)

На рис.1 изображён

график у = f (х),

х ϵ (-∞; ∞).

Укажите промежутки,

знако-постоянства

у = f(х)

Выполняется учащимися самостоятельно.

6. Непрерывность

Функция называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график функции на всей области определения сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.

Задание . Определите, на каком из рисунков изображен график непрерывной функции .

подумай

правильно

1

2

f(х 2 ) . f(x 1 ) f(x 1 ) f(x 2 ) x 2 x 1 x 1 x 2 f(x 2 ) " width="640"

7. Монотонность

Функцию у = f(х) называют убывающей на множестве Х , если для любых двух точек

Функцию у = f(х) называют возрастающей на множестве Х , если для любых двух точек х 1 и х 2 из области определения, таких, что х 1 2 , выполняется неравенство

х 1 и х 2 из области определения, таких, что х 1 2 , выполняется неравенство

f(х 1 ) 2 ) .

f(х 1 ) f(х 2 ) .

f(x 1 )

f(x 1 )

f(x 2 )

x 2

x 1

x 1

x 2

f(x 2 )

у = f(х)

На рис. изображён

график у = f (х),

-1 ≤ х ≤ 7.

Укажите промежутки,

в которых функция

возрастает, убывает.

Выполняется учащимися самостоятельно.

Найти:

у = f (х), где -3 ≤ х ≤ 3

1) нули функции;

у

4

3

2) промежутки

знакопостоянства;

2

1

0

х

1

3

2

-2

-3

-1

-1

Выполняется учащимися самостоятельно.

3 ) промежутки возрастания, убывания.

-2

-3

-4

8.Наибольшее и наименьшее значения

Число m называют наименьшим значением функции

у = f(х) на множестве Х , если:

1) в области определения существует такая точка х 0 , что f(х 0 ) = m .

2) всех х из области определения выполняется неравенство

f(х) ≥ f(х 0 ).

Число M называют наибольшим значением функции

у = f(х) на множестве Х , если:

1) в области определения существует такая точка х 0 , что f(х 0 ) = M .

2) для всех х из области определения выполняется неравенство

f(х) ≤ f(х 0 ).

9. Ограниченность

Функцию у = f(х) называют ограниченной снизу на множестве Х , если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа .

Функцию у = f(х) называют ограниченной сверху на множестве Х , если все значения функции на множестве Х меньше некоторого числа .

у

у

х

х

10. Выпуклость

Функция выпукла вниз на промежутке Х если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх на промежутке Х , если соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка .