Функция и ее свойства.

Алгебра 9 кл

Тема : Функция и ее свойства.

Цель урока:  ввести определение степенной функции с целым отрицательным показателем; изучить графики и свойства функций вида у = х^–2n, научить строить графики и с их помощью графически решать уравнения.

Ход урока

1.Работа на повторение :

2. Учебник : А)Изучить § 4 п.8 . Решить № 140,142,№146(доп)

Теоретический материал

Функции у = x-n (n є N), их свойства и графики

Продолжаем расширять класс функций, с которыми нам нужно, образно говоря, познакомиться накоротке. В предыдущем параграфе таковыми были степенные функции с натуральным показателем у=xⁿ, а в этом параграфе мы рассмотрим функции вида у = x^-n где n — натуральное число. Их называют степенными функциями с отрицательным целым показателем.
По определению степени с отрицательным показателем, 
Поэтому вместо записи у = х^-n можно использовать запись

Одну функцию такого вида мы с вами изучили в курсе алгебры 8-го класса — это была функция   Вам известны и свойства этой функции, и ее график — гипербола (рис. 81). Сделаем следующий шаг: рассмотрим функцию   Начнем с исследования функции   на четность, что, видимо, вас не удивит. Вспомните, ведь и в предыдущем параграфе мы начинали с использования четности функции у = х⁴ и нечетности функции у = х³.
Итак, докажем, что   — четная функция.
Заметим прежде всего, что область определения функции — множество всех действительных чисел, за исключением значения х = 0; это — симметричное множество. Далее имеем: 

таким образом, для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х) = f(х). Это значит, что   — четная функция.
Свойство четности функции   нам сейчас очень пригодится. Мы ведь знаем, что график четной функции симметричен относительно оси ординат. Значит, можно поступить так: рассмотреть эту функцию на открытом луче (0, ) и построить ее график на указанном луче. Затем, используя симметрию, построить график функции на всей числовой прямой и с его помощью перечислить свойства функции по той схеме, которая была использована в предыдущем параграфе.
1. Функция  , x О
Составим таблицу значений для этой функции:

Построим точки   на координатной плоскости (рис. 82а), они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 826).

2. Функция у = x^-2

Рассмотрим график, изображенный на рис. 826. Добавив к нему ветвь, симметричную построенной относительно оси ординат, получим график функции

Свойства функции у = х ^-2:
1 ) 
2)    четная функция;
3)    убывает на открытом луче (0, +оо), возрастает на открытом луче (-оо, 0);
4)    ограничена снизу, не ограничена сверху;
5)    нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6)    непрерывна при х 0 (т.е. на открытом луче (0, +оо));
7) Е(f)    = (0,+оо);
8)    выпукла вниз и при х 0.

Как и в предыдущем параграфе, свойства 1) - 5) мы в состоянии доказать строго. Докажем для примера убывание функции при х 0. Пусть х₁ х₂ 0. По свойствам числовых неравенств, имеем:

 Итак, для функции у = f(х), где f(х) = х^-2, мы доказали, что из х₁  х₂  0 следует f(х₂) ₂), а это и означает убывание функции на открытом луче (0, +оо).

3. Функция у = х^-2n
Речь идет о функциях   График любой такой функции похож на график функции    (рис. 83). Отметим, что кривая   асимптотически приближается к осям координат. Говорят также, что ось х (т.е. прямая у = 0) является горизонтальной асимптотой графика функции   , а ось у (т.е. прямая х = 0) является вертикальной асимптотой этого графика.

4. Функция  у = x^-(2n+1)

Речь идет о функциях   График любой такой функции похож на график функции   (рис. 81).
Отметим, что ось х является горизонтальной асимптотой графика функции   а ось у является вертикальной асимптотой этого графика.

Свойства функции
2)    нечетная функция;
3)    убывает на открытом луче (0, +оо) и на открытом луче (+оо,0);
4)    не ограничена ни снизу, ни сверху;
5)    нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6)    непрерывна при х 0;
7)    Е(f) = (+оо,0) U (0, +оо);
8)    выпукла вверх при х 0.

Пример 2.

Построить график функции у = (х- I)^-3 + 2.

Решение.

1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (1; 2) (пунктирные прямые x= 1 и у = 2 на рис. 84а).

2) Привяжем функцию у = х^-3 к новой системе координат — это и будет требуемый график (рис. 846).

3.Домашне задание: Изучить § 34п.8 . Решить № 150, № 145.