Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.

А.Н.Крылов

Словарь урока

• производная, линейная функция, угловой коэффициент, непрерывность, тангенсы углов (острый, тупой).

Составь пару

1

х

6

2

2х

11

3

7

a

1

Sinх

-3

4

8

16

12

2

cosx

-sinx

17

13

5

9

14

10

18

0

ax

15

19

20

Ответ.

Составь пару

1 -9

5 -19

2 -4

6 -10

3 -5

10 -20

4 -19

7 -18

11 -14

16 -19

17 -13

8 -17

12 -19

15 -16

Определение

Функция заданная с помощью формулы у=кх+b называется линейной.

Число k=tg  называется угловым коэффициентом прямой.

y

y=кх+b

- 1 0 1 2

x

y

y=кх+b

- 1 0 1 2

x

y

y=yₒ+к(х-xₒ)

M(x;y)

y-yₒ



Mₒ(xₒ;yₒ)

A(x;yₒ)

x-xₒ



x

x

x ₒ

0

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку (х 0 ;у 0 )

у=у 0 +k(x-x 0 ) (1)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку (х 0 ;у 0 )

у=у 0 +k(x-x 0 )

Угловой коэффициент прямой проходящий через точки (х 1 ;у 1 ) и (х 0 ;у 0 )

(2)

y

y=кх+b

- 1 0 1 2

x

Найдите угловой коэффициент прямой

Определение

• Касательной к графику функции у=f(x) называется предельное положение секущей.
• рисунок

касательная

секущая

Практическая исследовательская работа Геометрический смысл производной

Цель:

Используя данные практической работы определить, в чем состоит геометрический смысл производной

Оборудование:

Линейки, транспортиры, микрокалькуляторы, миллиметровая бумага с построенным графиком

Задание

1. Постройте касательную к графику функции … в точке с абсциссой хₒ=2

2. Измерьте угол, образованный касательной и положительным направлением оси оХ.

3. Записать  =… .

4. Вычислите с помощью микрокалькулятора

tg  =… .

5. Вычислите f´(xₒ ), для этого найдите f´(x)

6. Запишите: f´(x )=…. ; f´(xₒ )=….

7. Выберите две точки на графике касательной, запишите их координаты.

8. Вычислите угловой коэффициент прямой k по формуле

9. Результаты вычисления внесите в таблицу

Геометрический смысл производной

Значение производной функции y=f(х) в точке х 0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(х) в точке (х 0 ;f(x 0 ))

(-3;1)

(3;-2)

(5;4)

(-7;1)

(0;6)

(-6;3)

Уравнение касательной к графику функции

1. Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящую через точку

2. Замените k на , а

у=у 0 +k(x-x 0 )

Алгоритм составления уравнения касательной

• Запишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой в общем виде.
• Найдите производную функции .
• Вычислите значение производной

4. Вычислите значение функции в точке

5. Подставьте найденные значения в уравнение касательной

Задача 1

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой .