Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: «производная степенной функции», «Правила дифференцирования», «Производные некоторых элементарных функций», «Геометрический смысл производной», уметь составлять уравнения касательной.

Цели урока:

1) образовательная: повторение определения углового коэффициента прямой, угла прямой и осью Ох; геометрического смысла производной, проверка знаний об уравнении касательной к графику функции;

2) воспитательная: воспитание познавательного интереса;

3) развивающая: развитие внимания и умения применять теоретические знания на практике.

Оборудование: записи на доске, проектор, тест.

Тип урока: урок-смотр знаний.

Ход урока

I. Организационный момент.

(Сообщение темы и целей урока).

II. Повторение.

Задание 1. Тест.

Задания этого типа предусматривают индивидуальную работу с последующей взаимопроверкой.

На слайдах отображаются задания с перечнем ответов для выбора, но на них не отмечаются правильные ответы, так как они будут представлены позже общим списком на отдельном слайде, чтобы ученики смогли самостоятельно осуществить взаимопроверку.

Слайд 1. - 1. Если k – угловой коэффициент касательной к графику функции y = 𝑓(x) в точке (х₀; 𝑓(х₀)) и α – угол между касательной и осью Ох, то геометрический смысл производной состоит в том, что:

а) k = 𝑓'(x);

б) k = 𝑓'(x₀);

в) k = α;

г) tg α = 𝑓(x).

Слайд 2. - 2. Уравнение касательной к графику функции y = 𝑓(x) в точке (х₀; 𝑓(х₀)) имеет вид:

а) y = 𝑓'(x) + 𝑓'(x₀)(x – x₀);

б) y = 𝑓(x₀) - 𝑓'(x)(x – x₀);

в) y = 𝑓(x₀) + 𝑓'(x₀)(x – x₀);

г) y = 𝑓'(x₀)(x – x₀) - 𝑓(x₀).

Слайд 3. - 3. Угол между касательной к графику функции y = cos x в точке (0;1) и осью Ох равен:

а) ;

б) ;

в) ;

г) 0.

Слайд 4. - 4. Если y = kx + b и k = tg α, то α – это угол:

а) между прямой y = kx + b и осью Ох;

б) между прямой y = kx + b и осью Оу;

в) между осями Ох и Оу;

г) между прямой y = kx + b и прямой y = kx.

Слайд 5. - 5. Угловой коэффициент касательной к графику функции 𝑓(х) = lnх в точке с абсциссой х₀ = 2 равен:

а) 1;

б) 2;

в) ;

г) .

Слайд 6. - 6. Угол между прямой и осью Ох отсчитывается от положительного направления оси против часовой стрелки к прямой. Если угловой коэффициент касательной k х:

а) прямой;

б) развернутый;

в) острый;

г) тупой.

Слайд 7. - 7. Если графики функций у = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ параллельны, то:

а) k₁ = k₂;

б) k₁ k₂;

в) b₁ = b₂;

г) k₁ k₂.

Слайд 8.

1. Б

2. В

3. Г

4. А

5. В

6. Г

7. А.

Задание 2. Запишите алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y = 𝑓(x) в точке с абсциссой х₀.

Алгоритм:

Текст указывается на слайде.

1) общий вид уравнения касательной: y = 𝑓(x₀) + 𝑓'(x₀)(x – x₀);

2) найти 𝑓(x);

3) найти 𝑓'(x);

4) найти 𝑓'(x₀);

5) подставить в уравнение касательной числовые значения 𝑓(x₀), 𝑓'(x₀), х₀;

6) упростить полученное выражение.

- Проведем взаимопроверку. Проверяем тест.

- Оцените тест.

III. Практическая работа.

Задание 3. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с данной абсциссой х₀.

(Выполняется самостоятельно по вариантам).

Вариант I

y = x – 5x², x₀ = 2.

Вариант II

y = e^x, x₀ =1.

Вариант III

𝑓(x) = cos x, x₀ = .

Все решения с ответами находятся на слайдах.

- Проверяем решение I варианта. Один ученик читает ответ;

Аналогичным способом проверяются ответы I и II вариантов.

Задание 4. Найдите абсциссы точек графика функции y = 2x³ + x + , в которой касательные, проведенные к нему, параллельны прямой у = 2х.

Данное задание выполняется у доски.

Решение этой задачи отображается на слайде.

Пусть k₁ - угловой коэффициент касательных, k₂ – угловой коэффициент прямой у = 2х. Так как касательные параллельны прямой, то k₁ = k₂.

k₁ = 𝑓'(х) == 6х² +; k₂ = 2;

6х² + = 2 6х² х² х² х_1,2

Ответ: , - .

Задание 5. Найдите абсциссы точек графика функции у = 𝑓(х), в которых касательная к этому графику параллельна прямой у = рх.

а) 𝑓(х) = р = 2.

На слайде – Решение: Находим производную: 𝑓'(х) = ()' = 2. Так как касательная параллельна прямой у = рх, то 2 = р = 2. Отсюда = 1, или 2х = 2πn, n ϵ Z.

Ответ: х = πn, n ϵ Z.

б) 𝑓(х) = 3х+1; р = .

На слайде – Решение: Находим производную: 𝑓'(х) = (3х+1)' = . Так касательная параллельна прямой у = рх, то = р = .

Отсюда 3х+1 = 2, или х = 1.

Ответ: х =1.

в) 𝑓(х) = х + ; р = 0.

На слайде – Решение: Находим производную: 𝑓'(х) = (х + )' = 1 + . Так как касательная параллельной прямой у = 0, то 1 + = 0, или = -1.

Ответ: х = π + 2πn, n ϵ Z.

Задание 6. Выясните, при каких значениях а касательная, проведенная к графику функции у = х³ – ах в точке с абсциссой х₀ = 1, проходит через точку М(2;3).

Задание выполняется у доски. См. слайд.

Задание 7. Прямая касается гиперболы у = в точке (1;4). Найдите площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат.

Дополнительное задание. См. слайд.

IV. Подведение итогов урока.

Учащиеся оценивают свои знания, умения по данной теме и работу на уроке.

Творческое домашнее задание.

Составь кроссворд по теме «Производная».

Приложение для работы на уроке

Все приложения отображаются на слайдах презентации и непосредственно используются по ходу работы учителя с заданиями.

Решения

Задание 3.

Вариант I.

Решение.

у = 𝑓(х₀) + 𝑓'(х)(х – х₀),

𝑓'(х) = (х – 5х²)' = 1 – 10х,

𝑓(х₀) = 𝑓(2) = 2 – 5 2² = 2 – 20 = - 18,

𝑓'(х₀) = 𝑓'(2) = 1 – 10 2 = - 19.

Итак, уравнение касательной у = - 18 – 19(х -2), у = 20 – 19х.

Ответ: у = 20 – 19х.

Вариант II.

Решение.

у = 𝑓(х₀) + 𝑓'(х)(х – х₀),

𝑓'(х) = (е^х)' = е^х,

𝑓(х₀) = 𝑓(1) = е,

𝑓'(х₀) = 𝑓'(1) = е.

Итак, уравнение касательной у = е + е(х – 1), или у = ех.

Ответ: у = ех.

Вариант III.

Решение.

у = 𝑓(х₀) + 𝑓'(х)(х – х₀),

𝑓'(х) = (сosx)' = - sin x,

𝑓(х₀) = 𝑓( = 0,

𝑓'(х₀) = 𝑓'( = -1.

Итак, уравнение касательной у = 0 – 1(х - ), или у = - х + .

Ответ: у = - х + .

Задание 6.

Решение. Напишем уравнение касательной к графику функции 𝑓(х) = х³ – ах в точке с абсциссой х₀ = 1. Общий вид касательной у = 𝑓(х₀) + 𝑓'(х)(х – х₀). Находим

𝑓(х₀) + 𝑓(1) = 1 – а. Вычисляем производную 𝑓'(х) = (х³ – ах)' = 3х³ – а, а в точке х₀ = 1 получим 𝑓'(1) = 3·1² – а = 3 – а. Итак, уравнение касательной имеет вид

у = 1 – а + (3 – а)(х – 1), или у = - 2 + (3 – а)х.

Так как касательная проходит через точку М(2;3), то верно равенство:

3 = - 2 + (3 – а) · 2, откуда 5 = 6 – 2а, т.е. а = .

Ответ: а = .

Задание 7.

Решение. Составим уравнение касательной. Для функции 𝑓(х) = уравнение касательной в точке с абсциссой х₀ = 1 имеет вид 𝑓(1) + 𝑓'(1)(х – 1).

Вычисляем производную: 𝑓'(х) = (- .

Имеем 𝑓(1) = 4 и 𝑓'(1) = -4.

Значит, уравнение касательной имеет вид у = 4 – 4(х – 1), т.е. у = 8 – 4х.

Чтобы найти пересечение прямой с осями координат, надо в уравнение касательной подставить сначала х = 0, а потом у = 0. Получим, что касательная пересекается с осями координат в точках А(0;8) и В(2;0). Поэтому искомая площадь равна:

S_AOB = OB · OA = · 8 · 2 = 8 (кв. ед.).

Ответ: S = 8 (кв. ед.).