Геометрия в кристаллах

Проект ученицы 10А класса

МОУ «Туношенская СШ имени Героя России Селезнева А.А.»ЯМР

Малаевой Дианы

Руководитель проекта учитель математики Шабуцкая И.В.

Геометрия кристаллов

Цель проекта:

Расширение основных геометрических понятий и понятий о

симметрии на примере кристаллов.

Исследование простых и сложных геометрических фигур и их

составляющих.

Проведение исследования общих признаков многогранников, используя

известные геометрические формулы.

Задачи проекта:

• Расширить кругозор, получить новые знания.
• Изучить внепрограммные разделы геометрии,

используя современные пути ознакомления с материалом.

• Ознакомиться с понятием «форма кристалла» и наукой, её

изучающей.

• Научиться различать основные составляющие геометрических

фигур.

• Ознакомиться с основными категориями симметрии кристаллов.

2

Кристаллография

Кристаллография – наука, занимающаяся изучением

многообразия кристаллов. Выявляет признаки

единства в этом многообразии, исследует свойства и

строение как одиночных кристаллов, так и

кристаллических агрегатов.

3

Симметрия кристаллов

В кристаллическом многограннике

можно найти разные сочетания элементов

симметрии. По осям симметрии, они

делятся на три категории:

высшая, средняя и низшая.

4

Симметрия кристаллов

К высшей категории относятся самые

симметричные кристаллы. Это тетраэдр,

куб, октаэдр и др.

Золото

Алмаз

Кварц

5

5

Симметрия кристаллов

К средней категории относятся средне симметричные

кристаллы.

Формы кристаллов: призмы, пирамиды и др.

Горный

хрусталь

Кварц

6

Симметрия кристаллов

К низшей категории относятся кристаллы менее

симметричные или вовсе не имеющие оси симметрии.

К низшей категории относятся такие кристаллы как

гипс, слюда, медный купорос, сегнетова соль и др.

7

Геометрия кристаллов

Класс симметрии - полный набор всех

элементов симметрии, присущих данному

кристаллу. Математическим путем было

доказано, что в кристаллах существует

32 вида симметрии.

Только после вывода 32 видов симметрии появилась надежная

основа для создания геометрического учения о внешней форме

кристаллов.

8

Геометрия кристаллов

Тетраэдр -правильный многогранник, составленный из

четырех равносторонних треугольников.

Имеет 3 оси симметрии,

проходящие через середины

скрещивающихся ребер.

Имеет 6 плоскостей симметрии, каждая

из которых проходит через ребро

тетраэдра перпендикулярно

скрещивающемуся с ним ребру.

9

Геометрия кристаллов

Молекула белого фосфора, образованная

молекулами Р 4 , имеет форму тетраэдра.

Молекулы метана, сурьмы, меди, железа,

имеют форму тетраэдра.

Сурьма

Железо

Медь

10

Строение решетки алмаза

Ячейка кристалла алмаза представляет

собой тетраэдр, в центре и четырех вершинах

которого расположены атомы углерода. Атомы,

расположенные в вершинах тетраэдра, образуют

центр нового тетраэдра и, таким образом, также

окружены еще четырьмя атомами и т.д.

Все атомы углерода в кристаллической

решетке расположены на одинаковом расстоянии

(154 пм) друг от друга.

11

Геометрия кристаллов

Октаэдр - правильный многогранник, составленный из

восьми равносторонних треугольников.

Три из 9 осей симметрии октаэдра проходят

через противоположные вершины, шесть - через

середины ребер.

Центр симметрии октаэдра –

точка пересечения его осей симметрии.

Три из 9 плоскостей симметрии тетраэдра

проходят через каждые 4 вершины октаэдра,  

лежащие в одной плоскости . Шесть 

плоскостей симметрии проходят через

две вершины, не принадлежащие одной

грани, и середины противоположных ребер.

12

Геометрия кристаллов

Шестой элемент периодической системы С ( углерод ) - кристалл с сильным

блеском в виде октаэдра. Кристаллы алмаза представляют собой гигантские

полимерные молекулы и обычно имеют форму октаэдров, ромбододекаэдров,

реже — кубов или тетраэдров.

Алмаз

Кристаллическая

модификация углерода

13

Геометрия кристаллов

Куб -правильный многогранник, составленный из

шести равных квадратов.

Имеет 9 осей симметрии,

проходящие через центр

симметрии.

Имеет 9 плоскостей симметрии. 6 из них

проходят через противоположные ребра

и 3 через середины противоположных

ребер.

14

Геометрия кристаллов

Форму куба имеют кристаллические решетки

поваренной соли и некоторые металлы (литий,

натрий, алюминий и другие).

Поваренная

соль

Натрий

Алюминий

15

Геометрия кристаллов

Икосаэдр - правильный многогранник, составленный

из 20 равносторонних треугольников.

Правильный икосаэдр имеет 15 осей

симметрии , каждая ось проходит через  

середины противоположных параллельных  

ребер.

Икосаэдр имеет 15 плоскостей симметрии.

16

Геометрия кристаллов

Икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В).  

17

Геометрия кристаллов

Додекаэдр - правильный многогранник, составленный

из 12 равносторонних пятиугольников.

Имеет центр симметрии и 15 осей

симметрии.

Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии.

Любая из плоскостей симметрии проходит в

каждой грани через вершину и середину

противоположного ребра.

Геометрия кристаллов

Кристалл пирита

(сернистого колчедана, FeS2)

имеет форму додекаэдра

19

Платоновы тела

Четыре многогранника олицетворяли четыре сущности или "стихии".

Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх;

Октаэдр - воздух, как самый "воздушный".

Куб - землю, как самый "устойчивый";

Икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"

Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

20

Вывод:

В природе существует огромное количество разнообразных форм

кристаллов и все они обладают симметрией.

Различные кристаллы имеют форму и кристаллическую решетку в

виде правильных многогранников.

Существует пять видов правильных многогранников. Гранями трех

из них являются правильные треугольники, у одного грани

являются квадратами и ещё у одного гранями являются правильные

пятиугольники.

21

Геометрия кристаллов

Список литературы:

• Костов И., Кристаллография, пер с болг., М., 1965
• Бокий Г.Б., Кристаллохимия, 3 изд. М., 1971
• Сиротин Ю. И., Шакольская М.П., Основы

кристаллофизики, 2-е изд., М., 1979

• Современная кристаллография, т. 1-4, М., 1979-81
• Шафрановский И.И., Симметрия в природе, Л.,1985.
• К.А. Лачугин Земля – большой кристалл? – М.: Захаров, 2005;

• Интернет ресурсы:
• www.pereplet.ru
• www . bibliofond . ru
• www.geometry2006.narod.ru

• www . ru . wikipedia . org
• http://polyhedron2008.narod.ru/pages/tetra.htm
• Поисковая система Яндекс «Картинки»

22