Геометрия на олимпиадах

Геометрия на олимпиадах

Полезные ГМТ

Foxford.ru 2017

1. Теорема Ньютона. Дан описанный четырёхугольник. Докажите, что центр его вписанной окружности и середины диагоналей лежат на одной прямой.

• Даны точки A и B. Докажите, что ГМТ X , таких что AX ² − BX ² = const, – прямая.

• Критерий Карно. Пусть даны три неколлинеарные точки A, B, C и три произвольные точки A^′, B^′, C ^′. Перпендикуляр из A^′ на BC обозначим ℓ_a, аналогично определим ℓ_b и ℓ_c . Докажите, что

ℓ_a ∩ ℓ_b ∩ ℓ_c ̸= ∅

⇕

A^′B² + B^′C ² + C ^′A² = A^′C ² + B^′A² + C ^′B².

1. Три окружности попарно пересекаются. Докажите, что прямые, содержащие их общие хорды, пересекаются в одной точке.

1. Дан треугольник ABC и прямая ℓ, не

проходящая через вершины ABC . Пусть

A^′, B^′, C ^′ — основания перпендикуляров на ℓ из A, B, C , соответственно. Пусть a^′, b^′, c^′ — перпендикуляры из A^′ на BC , из B^′ на AC , из C ^′ на AB. Докажите, что прямые a^′, b^′, c^′ пересекаются в одной точке.

1. Докажите, что продолжения радиусов вневписанных окружностей, проведенных в точки касания с соответствующими сторонами треугольника, пересекаются в одной точке.

ГМТ – окружность

• Даны точки A и B. Докажите, что ГМТ X , таких

что AX ² + BX ² = const, – окружность, точка либо пустое множество.

• Даны точки A и B. Докажите, что ГМТ X , таких

что AX : BX = const 0, – окружность.

1. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по его биссектрисе и отрезкам, на которые она делит сторону треугольника.

1. Точки M, N таковы, что

AM : BM : CM = AN : BN : CN. Докажите, что прямая MN проходит через центр описанной окружности треугольника ABC .

1. Докажите, что внутри остроугольного треугольника существует такая точка, что основания перпендикуляров, опущенных из неё на стороны, являются вершинами равностороннего треугольника.