Графический метод: алгоритм метода

Линейное программирование – метод решения задач оптимизации.

В первых оптимизационных задачах требовалось выяснить, сколько различных изделий нужно произвести, чтобы получить максимальный доход, если известно количество ресурсов (сырья, рабочего времени, оборудования) и цены, по которым можно реализовать готовые изделия. Другой вид задач – выяснить, при каких условиях свести расходы к минимуму (это, например, задача о питании). Таким образом, общая задача линейного программирования – это задача, в которой требуется найти максимум или минимум (оптимум) функции, называемой функцией цели, при ограничениях, заданных системой линейных неравенств или уравнений.

При этом переменные чаще всего по условиям задачи должны принимать неотрицательные значения (то есть положительные либо нулевые), но бывают и исключения, о которых чуть ниже.

Функция цели в задаче линейного программирования обычно записывается так:

.

Или в сокращённом виде с сигмой:

.

Можно встретить обозначение целевой функции и через C, и через F.

Система ограничений в задаче линейного программирования в канонической форме записывается так:

.

Или в сокращённом виде:

И система ограничений, и целевая функция имеют линейный характер, то есть содержат переменные только в первой степени.

Канонической задачей линейного программирования называется задача, в которой, как было показано выше, требуется найти максимум целевой функции при ограничениях, заданных системой линейных уравнений.

Задачей линейного программирования в стандартной, или, как говорят иначе, нормальной форме, называется задача, в которой требуется найти максимум целевой функции при ограничениях, заданных системой неравенств одного смысла, то есть с одинаковым знаком, и этот знак - "меньше или равно", причём действует также условие неотрицательности переменных. Если в задаче линейного программирования, заданной в стандартной форме, требуется найти минимум целевой функции, то система ограничений состоит из системы неравенств со знаком "больше или равно".