Язык алгебры. Искусство составлять уравнения

Язык алгебры

Язык алгебры – уравнения

• «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический»

Исаак Ньютон.

Искусство составлять уравнения

• Искусство составлять уравнения действительно сводится к умению переводить «с родного языка на алгебраический».
• Но язык алгебры весьма немногословен; поэтому перевести на него удается без труда далеко не каждый оборот родной речи. Переводы попадаются различные по трудности, в чем мы можем сейчас убедиться .

Жизнь Диофанта

На родном языке

На языке алгебры

Путник! Здесь прах погребён

Диофанта. И числа поведать

Могут, о чудо, сколь долог был век его жизни.

х

Часть шестую его представляло

прекрасное детство

х\6

Двенадцатая часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда подбородок.

Седьмую в бездетном браке провел Диофант.

х\12

х\7

Прошло пятилетие;

он был осчастливлен рожденьем прекрасного сына,

5

Кому рок половины лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом.

х\2

И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.

Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?

Искусство отгадывания чисел

Задумай число,

Х

Прибавь 4,

Х + 4

Умножь результат на 2,

2х + 8

Отними 6,

2х + 2

Отними задуманное число,

х + 2

Умножь на 2,

2х + 4

Отними 4

4х

Определить первоначальный капитал купца

На родном языке:

На языке математики:

Купец имел некоторую сумму денег.

Х фунтов

В первый год он истратил 100 фунтов.

(х – 100) фунтов

К оставшейся сумме добавил третью ее часть.

В следующем году он вновь истратил 100 фунтов

и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть.

В третьем году он опять истратил 100 фунтов.

После того, как он добавил к остатку третью его часть,

капитал его стал вдвое больше первоначального.

Чтобы определить первоначальный капитал купца нужно решить уравнение:

Задача Эйлера

• «Я нашел у учителя математики Эйлера его задачу о числе яиц, которые крестьянка несла на рынок… Это было для меня открытием. Я понял, что значит пользоваться орудием, называемым алгеброй. Но, черт возьми, никто мне об этом не говорил…»

Стендаль, «Автобиография».

Вот эта задача из «Введения в алгебру» Эйлера

• Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 целых и еще 2/3 крейцера».
• Сколько яиц было у каждой?

Пусть у первой крестьянки х яиц, тогда у второй (100 – х) яиц

Если бы первая имела (100-х) яиц, то она выручила бы

15 крейцеров

Значит первая крестьянка продала яйца по цене:

15/(100-х) крейцеров за штуку.

Вторая крестьянка продавала яйца по цене:

Действительная выручка первой крестьянки составит:

Действительная выручка второй крестьянки составит:

Так как выручки одинаковы, то:

После преобразования будем иметь:

Х 2 + 160х – 8000 = 0

Х 1 = 40; х 2 = -200 – посторонний корень

Ответ:

Первая крестьянка принесла 40 яиц,

а вторая 60 яиц.

«Историческая задача алгебры заключается в том, что она служила и служит колыбелью для вновь возникающих идей и методов, которые в последствии проникают в другие отделы математики и нередко начинают играть в них доминирующую роль»

Н.Г.ЧЕБОТАРЕВ (1894 – 1947)

Спасибо за внимание