Просмотр содержимого документа
«Идеи и методы решения нестандартных задач: поиск родственных задач»
Поиск родственных задач
Если задача трудна, то попытайтесь найти и решить более простую «родственную» задачу. Это часто даёт ключ к решению исходной. Помогают следующие соображения:
• рассмотреть частный (более простой) случай, а затем обобщить идею решения;
• разбить задачу на подзадачи (например, необходимость и достаточность);
• обобщить задачу (например, заменить конкретное число переменной);
• свести задачу к более простой.
Пример 1. В угловой клетке таблицы 5×5 стоит плюс, а в остальных клетках стоят минусы. Разрешается в любой строке или любом столбце поменять все знаки на противоположные. Можно ли за несколько таких операций сделать все знаки плюсами?
Решение. Возьмём квадрат поменьше, размера 2 × 2, в котором стоят один плюс и три минуса. Можно ли сделать все знаки плюсами? Несложный перебор показывает, что нельзя. Воспользуемся этим результатом: выделим в квадрате 5×5 квадратик 2×2, содержащий один плюс. Про него уже известно, что сделать все знаки плюсами нельзя. Значит, в квадрате 5 × 5 и подавно.
Пример 2. Постройте общую внешнюю касательную к двум окружностям.
Решение. Если одна из окружностей будет точкой, то задача станет легче (вспомните, как из точки провести касательную). Пусть O1 и r1 − центр и радиус меньшей окружности, O2 и r2 − центр и радиус большей окружности. Рассмотрим прямую, проходящую через O1 и параллельную общей касательной. (рис. ниже). Эта прямая удалена от O2 на расстояние r2 − r1, значит, является касательной к окружности с центром O2 и радиусом r2 − r1. Построим эту окружность. Из точки O1 проведём касательную к ней. Пусть C − точка касания. На прямой O2C лежит искомая точка касания.
Задачи для самостоятельного решения
1. Легко распилить кубик 3 × 3 × 3 на 27 кубиков шестью распилами. Можно ли уменьшить число распилов, если разрешается перекладывать части перед тем как их пилить?
2. Докажите, что в выпуклом n-угольнике сумма внутренних углов равна
180 (n − 2).
3. Докажите, что n(n + 1)(n + 2) делится на 6 при любом целом n.
4. Решите уравнение (x2 + x − 3)2 + 2x2 + 2x − 5 = 0.
5 (для тех, кто знаком с понятием инверсии). Постройте окружность, касательную к трём данным.
6. Постройте общую внутреннюю касательную к двум окружностям.