Идеи и методы решения нестандартных задач: поиск родственных задач

Поиск родственных задач

Если задача трудна, то попытайтесь найти и решить более простую «родственную» задачу. Это часто даёт ключ к решению исходной. Помогают следующие соображения:

• рассмотреть частный (более простой) случай, а затем обобщить идею решения;

• разбить задачу на подзадачи (например, необходимость и достаточность);

• обобщить задачу (например, заменить конкретное число переменной);

• свести задачу к более простой.

Пример 1. В угловой клетке таблицы 5×5 стоит плюс, а в остальных клетках стоят минусы. Разрешается в любой строке или любом столбце поменять все знаки на противоположные. Можно ли за несколько таких операций сделать все знаки плюсами?

Решение. Возьмём квадрат поменьше, размера 2 × 2, в котором стоят один плюс и три минуса. Можно ли сделать все знаки плюсами? Несложный перебор показывает, что нельзя. Воспользуемся этим результатом: выделим в квадрате 5×5 квадратик 2×2, содержащий один плюс. Про него уже известно, что сделать все знаки плюсами нельзя. Значит, в квадрате 5 × 5 и подавно.

Пример 2. Постройте общую внешнюю касательную к двум окружностям.

Решение. Если одна из окружностей будет точкой, то задача станет легче (вспомните, как из точки провести касательную). Пусть O₁ и r₁ − центр и радиус меньшей окружности, O₂ и r₂ − центр и радиус большей окружности. Рассмотрим прямую, проходящую через O₁ и параллельную общей касательной. (рис. ниже). Эта прямая удалена от O₂ на расстояние r₂ − r₁, значит, является касательной к окружности с центром O₂ и радиусом r₂ − r₁. Построим эту окружность. Из точки O₁ проведём касательную к ней. Пусть C − точка касания. На прямой O₂C лежит искомая точка касания.

Задачи для самостоятельного решения

1. Легко распилить кубик 3 × 3 × 3 на 27 кубиков шестью распилами. Можно ли уменьшить число распилов, если разрешается перекладывать части перед тем как их пилить?

2. Докажите, что в выпуклом n-угольнике сумма внутренних углов равна
180 (n − 2).

3. Докажите, что n(n + 1)(n + 2) делится на 6 при любом целом n.

4. Решите уравнение (x² + x − 3)² + 2x² + 2x − 5 = 0.

5 (для тех, кто знаком с понятием инверсии). Постройте окружность, касательную к трём данным.

6. Постройте общую внутреннюю касательную к двум окружностям.