Использование на уроках математики компьютерной программы «GeoGebra»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Габишевская средняя общеобразовательная школа имени Махмута Ахметовича Гареева" Лаишевского муниципального района Республики Татарстан

Использование на уроках математики компьютерной программы «GeoGebra»

Работу выполнила

Учитель математики

Хайруллина Регина Михайловна

2022 год

Составитель:

Р. М. Хайруллина, учитель математики МБОУ «Габишевская СОШ им. М.А. Гареева» Лаишевского района

Наставник –

Свидетелева С.М., учитель математики МБОУ «Габишевская СОШ им. М.А. Гареева» Лаишевского района

Использование на уроках математики компьютерной программы «GeoGebra»: учебно-методическое пособие / сост.: Р.М. Хайруллина. – Казань. - 2022. – 14 с.

Оглавление

1.Введение 4

2. Теоретическая часть 9

2.1. О программе GeoGebra 9

2.2. Интерфейс 10

3. Практическая часть 11

3.1. Использование программы на уроках алгебры и геометрии 11

3.2. Геометрические построения 28

4. Заключение 31

Литература 32

1.Введение

Эффективным методом и средством повышения качества современной системы образования является применение ИКТ.

Одно из перспективных направлений информатизации школьного математического образования это – использование в учебном процессе программных средств обучения, в частности, систем динамической математики (СДМ) и программ для работы с функциями и их графиками, которые должны охватывать все основные школьные дисциплины (физику, химию, географию, математику, биологию и др.), поскольку так можно хотя бы частично компенсировать недостаток учебной техники, дидактического материала.

Приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от «17» декабря 2010 г. № 1897 был утверждѐн Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (ФГОС).

Он включает в себя требования к структуре основных образовательных программ, условиям реализации основных образовательных программ и результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования.

Стандартом предусмотрены три вида результатов освоения обучающимися основной образовательной программы основного общего образования:

• личностные, включающие готовность и способность обучающихся к саморазвитию и личностному самоопределению, сформированность их мотивации к обучению и целенаправленной познавательной деятельности, системы значимых социальных и межличностных отношений, ценностно-смысловых установок, отражающих личностные и гражданские позиции в деятельности, социальные компетенции, правосознание, способность ставить цели и строить жизненные планы, способность к осознанию российской идентичности в поликультурном социуме;

• метапредметные, включающие освоенные обучающимися межпредметные понятия и универсальные учебные действия (регулятивные, познавательные, коммуникативные), способность их использования в учебной, познавательной и социальной практике, самостоятельность планирования и осуществления учебной деятельности и организации учебного сотрудничества с педагогами и сверстниками, построение индивидуальной образовательной траектории;

• предметные, включающие освоенные обучающимися в ходе изучения учебного предмета умения, специфические для данной предметной области, виды деятельности по получению нового знания в рамках учебного предмета, его преобразованию и применению в учебных, учебно-проектных и социально-проектных ситуациях, формирование научного типа мышления, научных представлений о ключевых теориях, типах и видах отношений, владение научной терминологией, ключевыми понятиями, методами и приемами [11].

В результате изучения предметной области «Математика» обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, получают представление о математических моделях; овладевают математической логикой; учатся применять математические знания при решении различных задач и оценивать полученные результаты; овладевают умениями решения учебных задач; развивают математическую интуицию.

Таким образом, возникает необходимость внедрения инноваций в учебный процесс школы с целью повышения качества образования. Учитывая выявленные трудности, их устранение было решено провести с применением информационно-коммуникативных технологий. Свой выбор мы остановили на компьютерной программе Geogebra. Для этого были разработаны методические рекомендации «Использование на уроках математики компьютерной программы Geogebra».

Компьютерные технологии завоевывают все больше доверия и симпатии школьников и учителей математики. Программа по математике «GeoGebra», заменяет все математические программы, является самой популярной в мире программой. Удивительна простота и доступность этой программы - в этой программе не надо мучиться при наборе формул функций, при построении геометрических фигур и.т.д.

Эта программа создана в 2012 году и очень бурно развивается. Программа написана Маркусом Хохенвартером на языке Java, работает на большом числе операционных систем. Переведена на 45 языков и в настоящее время активно разрабатывается. Переведена на русский язык в 2013 году. GeoGebra – свободно – распространяемая (GPL) динамическая геометрическая среда, которая даёт возможность создавать «живые чертежи» в планиметрии, в частности, для построений с помощью циркуля и линейки.

При работе с этой программой в результате компьютерного моделирования многие математические понятия и теоремы становятся для учащихся «видимыми» и «осязаемыми».

Цель данной работы:

- облегчить обучение школьников решению математических задач, а также ускорить процесс алгебраических вычислений и преобразований на персональном компьютере при помощи среды GeoGebra.

Задачи:

1. Повысить интерес учащихся к изучению математики.

2. Развить навыки исследовательской деятельности.

3. Овладеть искусством доказательства.

4. Развить у учащихся умения моделировать учебные ситуации на языке геометрии и исследовать построенные модели с применением понятий и теорем геометрии.

5. Повысить мотивацию к обучению, сделать его более ярким, творческим, развивающим не только интеллектуальную, но и эмоциональную сферу.

6. Сформировать навыки работы в программе GeoGebra, умение составлять алгоритмы решения задач на построение.

Актуальность работы:

Практическое использование информационных технологий – компьютерных программ в школе способствует более глубокому усвоению теоретических положений, формированию умений применять математические знания на практике, а также развитию учебно-познавательного интереса учащихся.

Ожидаемый результат:

• повышение интереса к изучаемому предмету у слабоуспевающих учащихся;

• повышение уровня самооценки;

• развитие навыка самоконтроля;

• побуждение к открытию и изучению нового в сфере информационных технологий, желанию поделиться с товарищами своими знаниями.

• представление об основных изучаемых понятиях как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные процессы и явления;

• овладение геометрическим языком, умение использовать его для описания предметов окружающего мира, развитие пространственных представлений и изобразительных умений, приобретение навыков геометрических построений;

• усвоение систематических знаний о плоских фигурах и их свойствах, а также на наглядном уровне − о простейших пространственных телах;

• умение применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием компьютера.

• формирование информационной и алгоритмической культуры;

• развитие алгоритмического мышления, необходимого для профессиональной деятельности в современном обществе;

• развитие умений составить и записать алгоритм для конкретного исполнителя;

• формирование навыков и умений безопасного и целесообразного поведения при работе с компьютерными программами, умения соблюдать нормы информационной этики и права.

2. Теоретическая часть 2.1. О программе GeoGebra

GeoGebra позволяет визуализировать математику, проводить эксперименты и исследования при решении математических задач не только геометрического характера. GeoGebra позволяет создавать на экране компьютера чертежи, которые можно использовать на разных стадиях изучения учебного материала, от живых плакатов до исследовательских чертежей. Особенно поучителен сам процесс создания соответствующего рисунка.

Главной целью работы является показать возможности программы GeoGebra в школьном курсе математики.

Интерфейс программы GeoGebra напоминает классную доску, на которой можно рисовать графики, создавать геометрические фигуры и т.п. В окне программы будет наглядно отображены производимые изменения: если вы измените уравнение, кривая перестроится, изменится масштаб или ее положение в пространстве, уравнение, написанное рядом с кривой, автоматически будет скорректировано, согласно новым значениям.

Программу GeoGebra широко используют в мире миллионы пользователей для обучения алгебре и геометрии. Процесс обучения нагляден благодаря визуальной форме использования приложения.

Возможности программы по математике не ограничиваются только построением графиков. Программу GeoGebra можно будет использовать для интерактивных чертежей при решении геометрических задач. Программа GeoGebra обладает мощными и функциональными возможностями, которые позволяет наглядно и просто обучаться математике.

Приложение включает в себя геометрию, алгебру, есть возможность совершать арифметические операции, создавать таблицы, графики, возможна работа со статистикой, работа с функциями, поддерживается создание анимации и т.д.

В программе GeoGebra можно будет создавать различные 2D и 3D фигуры, интерактивные ролики, которые затем можно будет размещать в интернете. У программы богатые возможности работы с функциями за счёт команд встроенного языка (который, кстати, позволяет управлять и геометрическими построениями)

2.2. Интерфейс

Интерфейс программы довольно прост и напоминает графический редактор.

1. Полоса меню. Из меню вы можете изменить настройки программы.

2. Панель инструментов. Здесь находятся инструменты для создания объектов. После щелчка по треугольнику в правом нижнем углу кнопки, будут открыты дополнительные инструменты. Операции, доступные в панели инструментов, можно производить с помощью строки ввода.

3. Панель объектов. В Панели объектов отображаются введенные переменные и функции. Вместо имен переменных здесь отображаются их значения. Для того, чтобы увидеть формулу в символьном виде, нужно будет кликнуть по ней правой кнопкой мыши.

4. Кнопки «Отменить» и «Повторить».

5. Строка ввода. Это основной инструмент при работе в программе GeoGebra. Здесь вводятся команды и формулы, задаются значения переменных. Справа от строки ввода расположена кнопка «Список команд». С помощью дополнительных команд можно будет вводить команды и отсутствующие на клавиатуре символы.

6. Рабочая область. Все построения в программе производятся в рабочей области. Вы можете изменить масштаб с помощью колесика мыши, перемещать по рабочей области ось координат.

3. Практическая часть 3.1. Использование программы на уроках алгебры и геометрии

Geogebra обладает богатыми возможностями. Интерфейс программы отличается простотой и понятностью. Она предназначена, прежде всего, для решения задач школьного курса геометрии: в ней можно создавать всевозможные конструкции из точек, векторов, отрезков, прямых, строить графики элементарных функций, которые также возможно динамически изменять варьированием некоторого параметра, входящего в уравнение, а также строить перпендикулярные и параллельные заданной прямой линии, серединные перпендикуляры, биссектрисы углов, касательные, определять длины отрезков, площади многоугольников и т. д. 

В отличие от других программ для динамического манипулирования геометрическими объектами, идея Geogebra заключается в интерактивном сочетании геометрического, алгебраического и числового моделирования содержания задачи, которое позволяет организовать целенаправленное наблюдение за изменением и взаимосвязью величин данной задачи, предоставляет возможности для проверки экспериментальной проверки гипотез, возникающих при этом наблюдении. Например, при исследовании функций в курсе 8-го класса общей образовательной школы, и к началу ее изучения, согласно учебнику А.Г. Мордковича, учащиеся знакомы уже с тремя функциями: линейной квадратичной и обратной пропорциональностью

Для изучения параграфа «Как построить график функции если известен график функции » упомянутого выше учебного комплекта нами были взяты за основу функции

Восьмиклассникам предлагается преобразовать графики функции, зависящие от трех параметров

У учащихся есть возможность, поставив галочку напротив интересующей их функции, рассмотреть каждую из них в отдельности и, меняя значения параметров с помощью ползунков справа, пронаблюдать, какие преобразования происходят при этом с графиком, который представлен на рисунке 2.17.

Рис. 2.17. Преобразование графика квадратичной функции

Первое задание заключается в выяснении, на что влияет каждый из параметров, в нашем случае меняющийся в пределах от -5 до 5. Вначале предлагается менять параметры по одному и поочередно для каждой функции.

После этого учащиеся должны заполнить таблицу на основе своих наблюдений (табл. 3):

Таблица 3.

№№	Функция	График функции (схематически)	Влияние коэффициента	Влияние коэффициента	Влияние коэффициента
11.
22.
33.

Переход к следующему этапу происходит, когда учащиеся самостоятельно провели анализ функции и их графики стали представлять для них некоторые объекты со своим набором свойств, возможностями и способами преобразований.

Для закрепления полученных навыков учащиеся письменно отвечают на следующие вопросы:

Рассмотреть любую из трех функций и выяснить, как влияет на график параметр , когда:

А.

Б.

В.

Г.

Рассмотреть любую из трех функций и выяснить, как влияет на график параметр , когда:

А.

Б.

В.

Рассмотреть любую из трех функций и выяснить, как влияет на график параметр , когда:

А.

Б.

В.

4. Для данных функций, опишите преобразования, которые произойдут с графиком базовой функции

А.

Б.

5. Для данных преобразований запишите уравнения функций:

1. график квадратичной функции отображен относительно оси , перемещен вверх на две единицы и влево на четыре.

2. График функции смещен вправо на три единицы, вверх на пять единиц.

В заключение учащимся предлагается самостоятельно построить графики получившихся функций. Сформулировать алгоритм построения графика функции например:

Перейти к вспомогательной системе координат, провести (пунктиром) вспомогательные прямые т.е.выбрав в качестве начала новой системы координат точку

К новой системе координат привязать график функции

Построить в новой системе координат график функции

Учёные, которые разрабатывали пакет учебных и методических материалов для пользователей, отмечают, что СДМ Geogebra имеет мощный набор инструментов, с помощью которых можно моделировать и решать различные типы математических задач, касающихся изучения математики в общеобразовательных учебных заведениях. Основная идея заключается в том, что на основе визуального наблюдения за смоделированной задачей, ученики могут самостоятельно выдвигать и обобщать гипотезы, осуществлять проверку этих гипотез и разрабатывать единый алгоритм для исследования процессов.

Так по алгебре и началам анализа в СДМ GeoGebra созданы динамические модели для исследования и решения следующих типовых задач:

• вычисление значения выражений, тождественные преобразования дробно-рациональных выражений;

• разложение на множители многочленов и чисел;

• нахождения НОД и НОК нескольких чисел;

• построение графиков функций и уравнений, заданных аналитически;

• нахождения координат точек пересечения графиков двух функций на заданном промежутке;

• графическое решение неравенств и их систем;

• построение касательной и нормали к графику функции в заданной точке с одновременным нахождением их уравнений, трассировки графика, построение таблицы значений;

• исследование функции на данном промежутке на нахождение наибольших и наименьших значений, на экстремумы, на вычисление длины кривой и нулей функции, нахождения точек перегиба функции;

• выполнение численного интегрирования и его геометрическая иллюстрация,

• нахождения первообразной, производной функции и построение их графиков.

Разработчики методического пакета СДМ GeoGebra отмечают, что для обучения математике целесообразно использовать компьютерные модели с разной целью, в частности интерактивные компьютерные модели можно использовать как дидактические наглядные пособия для организации эвристического обучения, автоматизации вычислений, в качестве упражнений на готовых чертежах, для автоматизации процесса создания учебных упражнений и заданий.

Задание 1. Найдите все решения уравнения (рисунок 2.18)

Рис. 2.18. Графическое решение уравнений

Задание 2. Графически решите систему уравнений. (рис. 2.19)

Рис. 2.19. Графическое решение системы уравнений

Задание 3. Изобразите множество решений системы. (рис. 2.20)

Рис. 2.20. Изображение множества решений системы неравенств

Задания для самостоятельного решения

Задание 1.

Сколько корней имеет уравнение

Задание 2.

Изобразите на плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям

Задание 3.

Изобразите на плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям

Задание 4.

Построить график уравнения

Задание 5.

Изобразить множество точек, у которых координаты удовлетворяют равенству

Задание 6.

Изобразите на плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям [21]

Программа имеет богатые возможности для работы с функциями (построение графиков, вычисления корней, экстремумов, интегралов и т. д.). Одной из значительных ее преимуществ является возможность пошагово отображать ход построения фигур. Таким образом, есть возможность анимировано менять координаты точек, тогда фигура будто оживает на мониторе, меняя свое изображение в результате изменения координат опорных точек.

Применение Geogebra на уроках геометрии дает возможность участникам учебного процесса создавать динамические модели для иллюстрации, визуализации и демонстрации различных математических понятий, определений, теорем, динамических изображений пространственных и плоских фигур.

Методический пакет к СДМ Geogebra содержит спектр инструментов для решения базовых задач геометрии:

построение различных геометрических фигур на плоскости (точек, прямых, лучей, ломаных, векторов, углов, многоугольников, правильных многоугольников, биссектрис углов, срединных перпендикуляров, параллельных и перпендикулярных прямых, окружностей, дуг окружностей и конических сечений, касательных к окружности и т.п.);

вычисление площадей: многоугольника, круга, части плоскости, ограниченной эллипсом, сектора;

нахождения: градусной меры угла, длины отрезка, периметра многоугольника, длины вектора, расстояния от точки до прямой, тангенса угла между прямой и положительным направлением оси абсцисс и тому подобное;

преобразование фигур на плоскости: симметрия относительно точки и прямой, поворот вокруг точки, гомотетия, параллельный перенос;

нахождения точек пересечения двух фигур (двух прямых, прямой и круга и тому подобное);

нахождения середины отрезка, центра окружности (эллипса).

Описывая графики с помощью соответствующих инструментов, ученики лучше смогут подобрать нужные функции. Такой вид работы заинтересует учащихся и мотивирует к изучению данной темы, ведь графики функций вокруг нас (рис. 2.21). Также математическое моделирование с использованием Geogebra будет способствовать более глубокому пониманию тем, которые изучаются.

Рис. 2.21. Мост в форме параболы

Рассмотрим решение геометрических задач с помощью интерактивной геометрической среды GeoGebra при подготовке к основному государственному экзамену позволяет акцентировать внимание учащихся на важности построения правильного и аккуратного чертежа к задаче, способствует формированию графической культуры учащихся и, как следствие, повышает результативность правильного решения задач по геометрии. Рассмотренные ниже задачи приведены нами из сборника задач для подготовки к основному государственному экзамену по математике.

Задание 1. Построение медианы треугольника. (рис. 2.22)

Рис. 2.22. Построение медианы треугольника

Задание 2. Построение описанного треугольника. (рис. 2.23)

Рис. 2.23. Построение описанного треугольника около окружности

Задание 3. Построение параллелограмма. (рис.2.24)

Рис. 2.24. Построение параллелограмма с пошаговым построением

Построим параллелограмм (сначала по определению – четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, затем по одному из признаков – если в 4-угольнике две стороны равны и параллельны, то этот 4-угольник параллелограмм).

Таким образом, построили модель и провели внутри модельное исследование (использование инструмента Расстояние и длина, с помощью которого измерили длины сторон, и инструмент измерения углов Угол, измерение противоположных углов и внутренних односторонних при пересечении прямых и секущей).

Нетрудно убедиться, что чертеж динамичный. Для этого достаточно потянуть за одну из вершин фигуры. Форма и размеры треугольника изменятся, но окружность останется «привязанной» к треугольнику.

Рассмотрим решение задач в программе Geoпebra.

Задание 4. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С известны катеты: AC=6, BC=8. Найдите медиану CD этого треугольника. (рис. 2.25)

Рис. 2.25. Чертеж к задаче

Задания для самостоятельного решения

Задание 1.

Создайте интерактивный чертеж, с помощью которого можно убедиться, что сумма углов любого треугольника равна 180.

Задание 2.

С помощью Geogebra создайте интерактивное пособие, демонстрирующее построение середины отрезка с помощью циркуля и линейки.

Задание 3.

Создайте интерактивное пособие, демонстрирующее построение правильного шестиугольника помощью циркуля и линейки. Используйте инструменты «Окружность по центру и точке», «Пересечение» и «Многоугольник».

Задание 4.

Создайте интерактивный чертеж, с помощью которого можно убедиться, что площадь треугольника равна половине произведения основания 18 треугольника на высоту треугольника.

Задание 5.

Построить остроугольный треугольник, в нем три серединных перпендикуляра и описанную окружность.

Задание 6.

Создайте динамический чертеж, иллюстрирующий следующее утверждение:

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.

Задание 7.

Создайте динамический чертеж, иллюстрирующий следующее утверждение:

Диагонали прямоугольника равны.

Задание 8.

Создайте динамический чертеж, иллюстрирующий следующее утверждение:

Диагонали ромба перпендикулярны.

Задание 9.

Создайте динамический чертеж, иллюстрирующий следующее утверждение:

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.

Задание 10.

Построить окружность эйлера (известную окружность 9 точек).

Одна из красивых теорем геометрии – теорема об окружности Эйлера: в неравностороннем треугольнике середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр (точка пересечения высот) с вершинами треугольника, лежат на одной окружности, центром которой является середина отрезка, соединяющего ортоцентр с центром описанной окружности, а ее радиус в два раза меньше радиуса описанной окружности.

Т.е. точки А1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, C3 лежат на одной окружности, которая называется окружностью Эйлера.

Задание 11.

1. Постройте динамическую модель выпуклого пятиугольника.

2. Разделите его диагоналями на треугольники. выберите диагонали так, чтобы они не пересекались друг с другом.

3. Посчитайте количество получившихся треугольников. сравните это количество с числом вершин многоугольника. на сколько они отли­чаются?

4. Вычислите сумму углов выпуклого пятиугольника. (подсказка: используйте знания о сумме углов треугольника)

Задание 12.

Повторите предыдущее задание для шести- и семиугольника:

1. Постройте динамическую модель выпуклого многоугольника.

2. Разделите его диагоналями на треугольники так, чтобы диагонали не пересекались друг с другом.

3. Посчитайте количество получившихся треугольников. сравните это количество с числом вершин многоугольника.

4. Вычислите сумму углов многоугольника.

5. Запишите вывод о соотношении между числом вершин выпуклого многоугольника и количеством треугольников, на которые он делится своими диагоналями. запишите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника.

Задание 13.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С известны катеты: AC=6, BC=8. Найдите медиану CK этого треугольника.

Задание 14.

Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.[21]

Задание 15.

Точка H является основанием высоты BH, проведенной из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK=15.[2]

Таким образом, использование программы Geogebra закрепит устойчивый интерес к изучению математики. В этом мы убедились во время прохождения практики, апробировав разработанные методические рекомендации «Использование на уроках математики компьютерной программы «Geogebra». Рассмотрим применение программы Geogebra на уроках математики.

При прохождении тем “Функции и их графики “ ребята должны усвоить алгоритмы построения графиков функций, уметь исследовать поведение функции при изменении некоторых параметров. Рассмотрим простую функцию . Графиком функции является прямая, которую можно построить очень просто. А вот чтобы показать как меняется график при изменении коэффициентов а и в, при взятии в знак модуля некоторых слагаемых и самой функции поможет нам программа ГеоГебра.

Покажем эти построения на примере функции : Вводим ползунки а и в через панель инструментов. Осуществляется это следующим образом:
1). Вызываем команду «Ползунок», нажимаем на рабочую область, появится карточка с названием параметра а а дальше ОК, и также вызываем параметры в

2).Затем в строку ввода записываем функцию , (по английскому алфавиту) и нажать на «Enter»
3). Анимация: Щелкнем правой кнопкой мыши по ползунку а и выберем «Анимировать».
Для того чтобы остановить анимацию зайдем в свойства ползунка нажмем опять на анимацию.

Мы видим как при изменении значения коэффициента а меняется график функции у=ах+в

4). Так же можно изменить значение коэффициента в.

5). Введем для этой же функции знаки модуля: а) у=a|x|+b; б) у=|аx+в|

а)В строке «Ввод» введем выражение «а abs(x)+в»: и нажмем клавишу «Enter»: (abs обозначает модуль выражения).

б) , в строке «Ввод» введем выражение «abs(ax+b)», и нажимаем «Enter». Появятся графики функции.

2. При построении графиков квадратных функций поступаем так же: Вводим ползунки а, в, и с. Для построения параболы в строке «Ввод» нужно ввести выражение «аx^2+bх+c»: (аx+shift+6 «2»+bх+с) и нажимаем «Enter». Появятся графики функции.

Так же введем анимации коэффициентов а, в, и с.

Символ «^» (shift+6) в программе GeoGebra обозначает возведение в степень.

Рисунок можно будет масштабировать. Для перемещения рабочей области нужно будет нажать клавишу «Shift», одновременно удерживая нажатой левую кнопку мыши.

Также можно перемещать сам график при помощи нажатой правой кнопки мыши, при этом в Панели объектов будут отображены изменения в уравнении.

Таким же способом можно работать и с другими, более сложными функциями.

в) Графики квадратных функций, содержащих знаки модуля

1. Построим график функции : В строке «Ввод» введем выражение «2x^2+abs(x)-3»: и нажмем клавишу «Enter»: (abs обозначает модуль выражения)

2. Таким же образом построим:

график функции : abs(2x^2+abs(x)-3)

3.2. Геометрические построения

Точка:
1. Выберем инструмент «Поставить точку».
2. Щелкнем левой кнопкой мыши там, где хотим поставить точку.

Отрезок:
1. В инструменте «Прямая» нажмем на белый треугольник.
2. Из списка выберем «Отрезок».
3. Поставим 2 точки -вершины отрезка.
Луч:
1. В инструменте «Прямая» щелкнем по белый треугольнику.
2. Из списка выберем «Луч».
3. На полотне выберем две точки 2 точки: первая - начало луча, вторая - точка, через которую будет проведён луч.
Прямая:
1. Выберем инструмент «Прямая».

2.Укажем 2 точки, через которые пройдёт прямая.
Перпендикуляр:
1. Выберем инструмент «Перпендикуляр».
2. Выберем прямую, луч или отрезок, к которому хотим провести перпендикуляр.
3. Выберем точку, через которую он пройдёт (точка может лежать на этой прямой/луче/отрезке)
Параллельная прямая к данной прямой:
1. В инструменте «Перпендикуляр» щелкнем по белому треугольнику.
2. Из всплывающего списка выберем «Параллельная прямая».
3. Выберем прямую, луч или отрезок, к которому будет проведена параллельная прямая.
4. Выберем точку, через которую она пройдёт.
Серединный перпендикуляр к отрезку:
1. В инструменте «Перпендикуляр» щелкнем по белому треугольнику.
2. Из всплывшего списка выберем «Серединный перпендикуляр».
3. Выберем отрезок или 2 точки, обозначающие отрезок, через который будет проведён серединный перпендикуляр.
Касательная прямая к окружности:
1. В инструменте «Перпендикуляр» щелкнем по белому треугольнику.
2. В всплывшем списке выберем «Касательная».
3. Выберем окружность, к которой будет проведена касательная.
4. Выберем точку через которую будет проведена касательная. Проводятся две касательные. Если необходима только 1 касательная, то можно скрыть одну из них, щелкнув правой кнопкой мыши по касательной и убрав галочку перед «Показывать объект»

Многоугольник:
1. Выберем инструмент «Многоугольник».
2. Выберем несколько точек, обозначающих вершины, заканчивая первой точкой. Например, треугольник и сразу построим описанную окружность около этого треугольника:

-проведем серединные перпендикуляры к двум сторонам,

-найдем точку пересечения серединных перпендикуляров,

-проведем окружность по центру и точке

Вписанная окружность в треугольник:

-проведем биссектрисы дух углов треугольника

-найдем точки пересечения этих биссектрис

-проведем перпендикулярную прямую к одной из сторон

-найдем точку пересечения стороны треугольника с этой прямой

-проведем окружность по центру и найденную точку

Правильный многоугольник:
1. В инструменте «Многоугольник» щелкнем по белому треугольнику.
2. Из всплывшего списка выберем «Правильный многоугольник»
3. Выберем или поставим 2 точки.
4. Из всплывшего окна выберем, сколько вершин будет у правильного многоугольника.

Точки пересечения диагоналей многоугольника:
1. Для проведения диагоналей воспользуемся инструментом «Отрезок».
2. После проведения двух (или более) нужных нам диагоналей в инструменте «Точка» нажмем на белый треугольник.
3. Из всплывшего списка выберем «Пересечение».
4. Выберем 2 пересекающиеся диагонали.
Точки по координатам:
1. Нажмем на строку ввода.
2. Напишем название точки и её координаты (например A=(1,1) )

Попробуем построить угол заданной величины от заданной прямой:

1. Построим луч через две точки.

2. Для постоения угла заданной величины выберем инструмент «Угол заданной величины» и отметим две точки, через которые проходит луч. Появится окно, в которое нужно вписать величину угла (в нашем случае это 60º).

Затем нужно нажать клавишу «Enter»

Получим третью точку. Проведем через вершину угла и новую точку луч с помощь. инструмента «луч»

4. Заключение

Программа GeoGebra предназначена для обучения математике. С помощью этой программы можно работать в динамической математической среде, включающей в себя геометрию, алгебру и другие разделы, с широкими функциональными возможностями.

Использование программы GeoGebra на уроках позволяет:

- оптимизировать учебный процесс, более рационально используя время на различных этапах урока, внося в него элементы игры;

- расширять кругозор учащихся;

- способствует развитию познавательной активности учащихся.

Литература

1. Атанасян Л.С. / Геометрия 8кл , дополнительные главы к учебнику. – Москва - 2002, “ВИТА Пресс”. – 205 с.

2. Есаян А. Р., Добровольский Н. М. И др. / Динамическая математическая образовательная среда Geogebra. Тула – 2017. – 417 с.

3. Колягин Ю. Интеграция школьного обучения / А. Алексеенко, Ю. Колягин // Начальная школа. -2016. - №9. – С. 28-30.

4. Лысенко Ф. Ф. Математика. 9 класс. ОГЭ – 2018. Тренажёр для подготовки к экзамену. Алгебра, геометрия, реальная математика: уч.-метод. пособие. / Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2017. – 176 с.

5. https://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra.

6. http://www.uchportal.ru/programma-trenazhyor-po-matematike-obyknovennye-drobi.

7. http://my-soft-blog.net/397-geogebra.html.

8. http://www.uchportal.ru/programma-trenazhyor-po-matematike-obyknovennye-drobi.

9. http://www.uchportal.ru/kompyuternaya-programma-po-matematike-deliteli-naturalnogo-chisla.

10. hhttp://soft.mydiv.net/win/download. GeoGebra.htmlttp://s427.spb.ru/attachments/article/480/matem_spo.pdf.

11. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.geogebra.org - GeoGebra /.