«Исследование квадратного трёхчлена"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 8»

«Исследование квадратного трёхчлена»

Будилова Ольга Анатольевна

Новосибирск

2019

Оглавление

• Введение
• Глава 1.
• 1. История
• 2. Что называют квадратным трёхчленом
• 3. Способы решения квадратных уравнений
• Вывод о главе
• Заключение
• Список источников информации

• Актуальность:

Квадратный трёхчлен нужен для создания графиков функций параболы и подсчета длины диагонали квадрата с известной длиной стороны а.

• Проблема исследования :

Показать способы решения квадратного трёхчлена в зависимости от его вида.

• Цель:

Более полное изучение решения квадратного трёхчлена.

• Гипотеза:

Используя устные приёмы некоторые виды уравнений можно решать легко и просто.

• Задачи: 1. Изучить историю развития теории и практики решения квадратных уравнений. 2. Рассмотреть решение полных и неполных уравнений. 3. Научиться применять данные способы при решении уравнений.

История

• Древний Вавилон

• Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений.

• Индия
• Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.) Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: ax^2+bx=c; притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме a , могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

Введение

• Квадратным трехчленом называют трехчлен вида ax2 +bx+c, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x – переменная. Причем a ≠ 0

• Числа a,b,c называются коэффициентами:
• 1. Число а – называется старшим коэффициентом;
• 2. Число b коэффициентом при х;
• 3. Число с называют свободным членом.

• Корнем квадратного трехчлена ax2 +bx+c называют любое значение переменной х, такое, что квадратный трехчлен ax2+bx+c обращается в нуль.

0 ветви параболы направлены вверх a2. коэффициент b вершина параболы (ордината) вычисляется x(верш) = -b/2a b = -2a*x(верш) b = 0 вершина параболы лежит на оси OY x(верш)0 вершина расположена правее оси OY x(верш)" width="640"

Функция ax2+bx+c

• 1.коэффициент а

• a=0 это функция становится линейной y=bx+c
• a0 ветви параболы направлены вверх
• a

• 2. коэффициент b

• вершина параболы (ордината) вычисляется x(верш) = -b/2a
• b = -2a*x(верш)
• b = 0 вершина параболы лежит на оси OY
• x(верш)0 вершина расположена правее оси OY
• x(верш)

0 пересечение выше оси OX (y0) cc=0 пересечение проходит через начало координата Для того чтобы точно определить по графику знак b надо смотреть на знак a Кроме того b - коэффициент, который отвечает за симметрию. Чем меньше b, тем график ближе к симметричной фигуре относительно оси OY (при b=0 симметрия полная). Чем больше положительное b, тем выше поднимается правая часть параболы и ниже левая и наоборот в случае отрицательного значения. " width="640"

• 3. коэффициент с

• это точка пересечения графика с осью OY (при x=0)
• c0 пересечение выше оси OX (y0)
• c
• c=0 пересечение проходит через начало координата

• Для того чтобы точно определить по графику знак b надо смотреть на знак a
• Кроме того b - коэффициент, который отвечает за симметрию.
• Чем меньше b, тем график ближе к симметричной фигуре относительно оси OY (при b=0 симметрия полная).
• Чем больше положительное b, тем выше поднимается правая часть параболы и ниже левая и наоборот в случае отрицательного значения.

0 то график пересекает ось ОХ в двух точках " width="640"

• 4. очень многое зависит и от дискриминанта D=b²-4ac

• если D=0 то график функции касается оси ОХ
• если D
• если D0 то график пересекает ось ОХ в двух точках

0, корней будет два. Дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки. " width="640"

Дискриминант

• Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b2 − 4ac.
• По знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

• Если D
• Если D = 0, есть ровно один корень;
• Если D 0, корней будет два.

• Дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки.

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел.

• I способ. Общая формула для вычисления корней
• Для нахождения корней квадратного уравнения ax^2+bx+c=0 в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:

• II способ. Решение неполных квадратных уравнений . К решению неполных квадратных уравнений следует подходить по-особому. Рассмотрим три возможных ситуации.

III способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета.

• Прямая теорема Виета (см. ниже в одноимённом разделе) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле (1).
• Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) x1x2, будучи решением нижеприведённой системы уравнений, являются корнями уравнения

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;

2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

Заключение

• В процессе исследования были рассмотрены основные способы решения квадратного трёхчлена. Данный материал облегчит понимание решений заданий, содержащих параметры о расположении корней квадратного уравнения. Он может быть использован для индивидуального обучения, а также на внеклассных и факультативных занятий по математике.

Список источников информации

• Википедия

• http://urok.1sept.ru/% D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/509366/
• https:// gigabaza.ru/doc/30091.html
• http:// scask.ru/f_book_el_math.php?id=62

• https://yandex.ru/search/?lr=65&text=%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%20ax2%2Bbx%2Bc
• http://cos-cos.ru/math/133/
• http://textarchive.ru/c-1341961-pall.html
• http://cos-cos.ru/math/178/

Спасибо за внимание