Исследовательская деятельность обучающихся

Исследовательская

деятельность

обучающихся

Классно - урочная

с и с т е м а

Характеристика

исследовательского подхода

к формированию

математического понятия

Совместная деятельность

учителя и учеников

п р о х о д и т

по следующим этапам:

• Постановка цели деятельности;
• Эмпирическое изучение нового

математического объекта;

• Формулирование его свойств

в виде гипотез;

• Начало построения теории понятия;

введение термина, определение

математического объекта;

• Проверка истинности высказанных предположений

путем приведения дедуктивных

доказательств;

• Поиск признаков исследуемого

объекта ( доказательство обратных

утверждений);

• Уточнение логических связей между суждениями; схематизация

нового понятия; усвоение

содержания понятия;

• Обучение использованию нового

понятия в деятельности; решение

опорных задач; выделение общих

приемов деятельности;

• Применение понятия в

нестандартных ситуациях.

Изучение понятия

« Равнобедренная трапеция»

Ученики получили чертеж

равнобедренной трапеции

(каждый или один на группу)

Учитель : назовите основные

элементы трапеции.

Ученик : стороны, углы, диагонали

Учитель : сегодня мы попробуем

изучить данный четырехугольник.

Вспомните, что, прежде всего,

интересует геометров при

изучении фигур?

Ученик : соотношения между

сторонами и углами данной

фигуры.

Учитель : кто сформулирует цель

нашего исследования?

Ученик : цель - выявить соотношения между сторонами

и углами. А также изучить

другие ее особенности.

Учитель : математики уже в древности знали немало свойств

и признаков четырехугольника.

Возьмите линейки, транспортиры.

Сравните стороны, углы трапеции,

ее диагонали. Сформулируйте

гипотезы о свойствах этих

элементов трапеции.

Ученики : работают самостоятельно

или в группах.

Учитель : каким свойством

обладают боковые

стороны трапеции?

Ученики : они равны

Учитель : каким свойством обладают углы этой трапеции?

Ученики : углы при каждом основании трапеции равны.

Учитель : какие еще особенности

этой трапеции вы заметили?

Ученики могут добавить суждения:

- данная трапеция симметрична

относительно серединного перпенди-

куляра к основанию;

- высоты трапеции, опущенные из

вершин верхнего основания, отсекают

равные прямоугольные треугольники;

- при пересечении диагоналей

• - при пересечении диагоналей

образуются два равнобедренных

треугольника;

- два треугольника, образованные

при пересечении диагоналей,

прилежащие к боковым сторонам,

равны.

Учитель : можно ли считать, что

мы с вами изучили данную

фигуру, то есть построили теорию ?

Ученики : нет. Пока это только

гипотезы.

Учитель : что же нужно сделать

дальше?

Ученики : нужно свойства доказать.

Учитель : но ученые доказывают

теоремы. Сформулируйте хотя бы

одну из них.

Ученики : формулируют….

• Если две стороны трапеции равны, то

и углы при основании равны.

• Если углы при основании трапеции равны, то ее диагонали равны.

• Если две стороны трапеции равны, то ее диагонали равны и т. д..

Учитель : как же нам теперь упорядочить этот набор свойств?

Как поступают ученые?

Ученики : нужно строить теорию этого четырехугольника, но не

хватает определения и названия.

Учитель : рассказывает сам, что

необходимо этот объект как-то назвать и выбрать его

определение.

Ученики : дают определение, обычное для равнобедренной

трапеции.

Учитель : соберем все полученные

данные, выдвинутые гипотезы

в схему.

Трапеция имеет равн ы е боковые стороны

Углы при основании Диагонали трапеции

трапеции равны. р авны.

Треугольники, образованные При прерсечении диаго-

б оковыми сторонами трапеции налей образуется пара

и отрезками диагоналей, равны. равнобедренных

треугольников.

Треугольники, отсеченные высотами,

проведенными из вершин верхнего

основания равны.

Примерные проблемы

для

исследования учащимися

Докажите,

что медиана треугольника

меньше его

полупериметра

Углы многоугольника

Чему равна сумма острых углов произвольной пятиконечной звезды?

Найдите сумму углов

семиконечной звездочки.

Задача

На сторонах параллелограмма

вне его построены квадраты.

Какой четырехугольник образуют

центы этих квадратов?

Задача

Может ли средняя линия

трапеции пройти через точку

пересечения диагоналей?

Задача

Докажите, что биссектриса любого угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

а:в = п:к

п

а

а

к

в

Задача

Верно ли, что подобие приводит:

а) параболы в параболу;

б) эллипса в эллипс;

в) гиперболу в гиперболу;

г) ромб в ромб?

Задача

В треугольнике соединены середины его сторон. Докажите, что пересече-

ния медиан полеченного треуголь-

ника совпадает с точкой пересечения

медиан исходного треугольника.

Задача

Выясните, для каких четырехугольников биссектрисы всех углов пересекаются в одной точке.

Задача

Докажите, что в равностороннем треугольнике сумма расстояний от всякой точки, взятой внутри этого треугольника до его сторон, есть величина постоянная, равная высоте треугольника.

Задача

На сторонах треугольника построены равносторонние треугольники и около них описаны окружности. Докажите, что эти окружности пересекаются в одной точке, называемой точкой Торичелли.

Задача

Найдите углы треугольника, в котором высота и медиана, проведенные из одной вершины, делят угол при вершине на три равные части.

Задача

Найдите углы треугольника, в котором высота, медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на четыре равные части.

Задача

Из каких правильных многоугольников одного вида можно сложить паркет, заполняющий всю плоскость?

Задача

Сложите паркеты из правидбных: а) треугольников и четырехугольников; б) треугольников и шестиугольников; в) треугольников, четырехугольников и шестиугольнков.

Задача

Может ли в сечении правильного тетраэдра плоскостью получиться квадрат?

Задача

Докажите, что октаэдр можно пересечь плоскостью так, что в сечении получится правильный шестиугольник.