Исследовательская работа "Я решаю уравнения: от сложного к простому" 5 класс

МО «Хоринский район»

Центральный образовательный округ № 1

Окружная научно-практическая конференция

«Я – личность!»

МАОУ «Хоринская СОШ № 1 им. Д.Ж. Жанаева»

Тема: «Я решаю уравнения:

от сложного

к простому»

Выполнил: Скрипин Дмитрий

МБОУ «Санномыская СОШ, 5 класс

Руководитель: учитель физики и математики

Романова Е.И.

с. Хоринс

2022г.

Оглавление.

Введение………………………………………………………………………………………стр. 3

Основная часть……………………………………………………………………………… стр. 5

Глава1. Теоретическая часть.

1.1 Значимость изучения линейных уравнений ………………………………………..….стр. 5

1.2 Способы решения линейных уравнений……………………………………….………стр. 6

Глава 2. Практическая часть……………………………………………………………….. стр. 9

2.1 Анкетирование……………………………………………………………………………стр. 9

Заключение……………………………………………………………………………………стр.10

Список использованной литературы……………………………………………………… стр. 11

Приложения

Ведение.

Актуальность.

Среди математических форм, таких как уравнение, задачи, неравенства и т д. - решение уравнений одна из проблемных в математике. В 5-м классе изучение уравнений начинается с определения уравнения, его корней, что значит решить уравнение. Чтобы решать более сложные уравнения, повторяются правила нахождения неизвестных компонентов сложения, вычитания, умножения, деления. Решаются уравнения, которые содержат буквенные выражения только в одной части уравнения. Для их решения учащиеся должны выполнить последовательно несколько преобразований, каждое из которых освоено ими в начальной школе.

Мои одноклассники, учащиеся 5 класса, затрудняются решать уравнения такого вида как (х + 111) - 38 =279 или 966 : (х + 17) = 23. Поэтому в своей работе я хочу показать, что процесс решения сложных уравнений можно осуществить через нестандартные способы решения и эти способы решения могут быть полезным и интересным занятием. В связи с этим, я считаю тему моей работы актуальной.

Гипотеза: помогут ли мне в решении сложных уравнений изучение и применение нестандартных способов решения уравнений.

Цель: узнать нестандартные способы решения сложных уравнений и показать одноклассникам, что решать уравнения просто.

Задачи.

1. Ознакомиться с информацией из разных источников по данной теме.

2. Изучить существующие нестандартные приёмы решения сложных уравнений

3. Поделиться опытом применения нестандартных способов решения сложных уравнений со своими сверстниками

Объект исследования: сложные уравнения.

Предмет исследования: нестандартные способы решения сложных уравнений.

Методы исследования:

1. Тематический (изучение литературы из разных источников и в сети Интернет)

2. Эмпирический (организация и проведение анкетирования)

3. Статистический (обработка данных, полученных в ходе анкетирования)

Новизна: 1. Обобщив и систематизировав материал по изученной мною теме, я :

- показал однаклассникам, как решать сложные уравнения с применением нестандартных способов легко и просто.

- данные способы решения уравнений поможет ученикам при подготовке к ВПР в дальнейшем.

Практическая значимость: использование данного материала на уроках математики, при подготовке к ВПР. Любой ученик может развить в себе интерес к точным наукам через данный материал.

Основная часть

Глава 1. Теоретическая часть.

1. Значимость изучения линейных уравнений.

Сухие строки уравнений -
В них сила разума влилась.
В них объяснение явлений,
Вещей разгаданная связь.

Л.М.Фридман

Уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место.

Уравнение - это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него переменных. 

Решить уравнение - это значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное числовое равенство, или установить, что таких значений нет. Такие значения называются корнем уравнения. 

Корень уравнения - это число, которое при подстановке вместо буквы обращает уравнение в верное числовое равенство.

На изучение уравнений отводится больше времени, чем на любую другую тему, так как они не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники.

Обучение детей умению решать уравнения начинается уже в начальной школе. В процессе объяснения учителем материала, у учащихся формируется понятие уравнения, как равенства с неизвестным числом, которое требуется найти. Используя правила нахождения неизвестных компонентов, дети учатся находить корни простейших уравнений. Тем не менее

уравнения остается одной из сложных тем для усвоения, а ведь с помощью этих уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе, поскольку они нашли широкое применение в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.

Линейное уравнение с одной переменной - это уравнение, приводимое к виду ax = b, где x – переменная , a и b – некоторые числа.

Разберёмся, сколько корней может иметь линейное уравнение? Количество корней зависит от значений a и b:

Когда a = b = 0, т.е. уравнение принимает вид 0х = 0, решением данного уравнения является х - любое число, т. е. у него есть неограниченное количество решений.

Когда a = 0, b ≠ 0, т.е. уравнение принимает вид 0х = b, данное уравнение не имеет корней. А еще говорят, что его решение – пустое множество.

Когда a ≠ 0, b≠ 0 у уравнения есть только один корень x

Существуют разные способы решения линейных уравнений. Предлагаю ознакомиться с некоторыми из них ………

1.2 Способы решения сложных линейных уравнений

Как-то вечером, с друзьями,

Мы активно все решали уравнения с «иксами».

Каждый думал, напрягался, ну а с места не сдвигался…

И тогда я закричал:

«Хватит всем нам напрягаться, делом не пора ль заняться?

Я науку изучу, всех тогда вас научу!

Коровина Екатерина

1. Традиционный способ

Решим уравнение 987 - (х + 364) = 519

987 – уменьшаемое, (х + 364) – вычитаемое, 519 – разность

Применяем правило компонентов: чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого

вычесть разность: х + 363 = 987 – 519

х + 363 = 468

х – первое слагаемое, 363 – второе слагаемое, 464 – сумма

Применяем правило компонентов: чтобы найти первое слагаемое нужно из суммы вычесть второе слагаемое

х = 468 – 364

х = 104

1. Способ подстановки

Решим уравнение 987 - (х + 364) = 519

Шаг 1. Введем новую переменную у = (х + 364)

Скобку заменим через у и получим уравнение

987 – у = 519

Шаг 2. Применим традиционный способ решения уравнения:

987 – уменьшаемое, у – вычитаемое, 519 - разность

Применяем правило компонентов: чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого

вычесть разность: у = 987 – 519

у = 468

Шаг 3. Вместо у подставим в уравнение его значение х + 364, получим:

х + 364 = 468

Применяем правило компонентов: чтобы найти первое слагаемое нужно из суммы вычесть второе слагаемое

х = 468 – 364

х = 104

1. Способ «закрывашка»

Покажем применение данного способа на том же уравнении

987 - (х + 364) = 519 закроем скобку «закрывашкой», получим уравнение

9 87 - = 519

= 987 – 519

= 468 открываем «закрывашку» и получаем уравнение

х + 364 = 468

Применяем правило компонентов: чтобы найти первое слагаемое нужно из суммы вычесть второе слагаемое

х = 468 – 364

х = 104

4. Решение уравнения по действиям

Рассмотрим линейное уравнение (2х + 1)*4 – 20 = 24.

Шаг 1: расставим порядок действий в левой части уравнения:

1)    Умножение в скобках;

2)    Сумма в скобках;

3)    Умножение за скобками;

4)    Вычитание.

Шаг 2: выполняем действия с конца уравнения, т.е. с четвертого по первое:

- (2х + 1)*4 – уменьшаемое;

- 20 – вычитаемое;

- 24 – разность.

Применяем правило компонентов: чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое: (2х + 1)*4 = 24 + 20

(2х + 1)*4 = 44

Решаем полученное уравнение (2х + 1)*4 = 44

- (2х + 1) – первый множитель;

- 4 – второй множитель;

- 44 произведение.

Применяем правило компонентов: чтобы найти первый множитель, нужно произведение разделить на второй множитель:

(2х + 1) = 44 : 4

(2х + 1) = 11

Решаем полученное уравнение (2х + 1) = 11 опустим скобки, получим

2х + 1 = 11

- 2х – первое слагаемое;

- 1 – второе слагаемое;

- 11 - сумма

Применяем правило компонентов: чтобы найти первое слагаемое, нужно из суммы вычесть второе слагаемое:

2х =11 – 1

2х = 10

Решаем полученное уравнение 2х = 10

- 2 – первый множитель;

- х – второй множитель;

- 10 - произведение

Применяем правило компонентов:чтобы найти второй множитель, нужно произведение разделить на первый множитель.

х = 10 : 2

х = 5

корень уравнение равен 5.

Выполним проверку: (2*5 + 1)*4 - 20 = 24

24 = 24

5. Американский способ для «ленивых» учеников

Рассмотрим уравнение: 50х + 10 = 210

Шаг 1. Вычесть с обеих сторон 10, т.е. надо выполнить действие обратное данному. Учитель заставляет ленивых школьников писать все шаги .

Получится: 50х + 10 = 210

+ -10 -10

Шаг 2. Подводим черту и выполняем действие, получаем уравнение:

50х = 200

Шаг 3. Обе стороны уравнения делим на 50:

х = 4

6. Американский способ для талантливых детей. 

Основная идея его состоит в том, что все наши действия идут от обратного:

50х + 10 = 210

Шаг 1. В уме берём 210 и переходим в обратную сторону и делаем обратное действие:

210 - 10 = 200,

Получаем 50х = 200, этот результат не записываем, а держим его в уме.

Шаг 2. Еще раз идём в обратную сторону и делаем обратное действие

200: 50 = 4

х = 4

Вывод: Изучив литературу и интернет ресурсы по данной тематике, я убедился в том, что линейные уравнение имеют большое практическое значение.

Из всех способов решения линейного уравнения, я выбираю традиционный, т к он является классическим, хотя для простоты решения могу рекомендовать способ «закрывашка».

Как видите, эта идея решения линейных уравнений очень проста.

Глава 2. Практическая часть

Анкетирование.

С целью выяснения усвоения навыков решения линейных уравнений с одной переменной. мною среди одноклассников было проведено анкетирование, состоящее из теоретической части и практической.

Теоретическая часть содержала 5 вопросов, на которые нужно было дать ответ либо да, либо нет. Практическая часть состояла из 4 простых уравнений и 3 более сложных уравнений.

Результаты анкетирования.

- Вы знаете, что такое уравнение? (Да – 100%);

- Вы знаете правило нахождения компонентов при сложении, вычитании, умножении, делении? (Да – 100%);

- Вы знаете, что значит решить уравнение? (Да – 67%);

- Вы знаете, что такое корень уравнения? (Да – 67%);

- Вы умеете решать уравнения? (Да – 100%)

Практическая часть проводилась с целю выяснения умения учащихся решать линейные уравнения с одной переменной.

Справились с уравнениями вида:

х + 25 = 124 (100%), х – 27 = 100 (100%), 19х = 95 (56%), х : 25 = 16 (56%)

(х + 39) – 43 = 27 ( 33%), 253 – (х – 459) = 138 (33%)

(2х + 1) * 2 – 10 = 12 (11%)

Вывод: практическая часть показала, что 44% учащихся не могут решать простые уравнения, из-за незнания правил работы с компонентами и 67% не могут решать более сложные уравнения.

После получения результатов анкетирования я решил изучить тематику линейных уравнений, выяснить какие способы решения линейных уравнений существует и ознакомить одноклассников с наработанным мною материалом. С целью выяснения учащимися данного мною материала я провел повторное анкетирование по тем же вопросам с добавлением вопроса: «Какой способ при решении уравнений вами выбран и почему?»

Процент усвоения материала меня порадовал.

Результаты повторного анкетирования:

х + 25 = 124 (100%), х – 27 = 100 (100%)

19х = 95 (100%) х : 25 = 16 (100%)

(х + 39) – 43 = 27 ( 77%), 253 – (х – 459) = 138 (77%)

(2х + 1) * 2 – 10 = 12 (44%)

На вопрос «Какой способ при решении уравнений вами выбран и почему?»

Традиционный способ (33%), т к он классический

«Закрывашка» (77%) наиболее простой

Вывод: считаю, что моя гипотеза «помогут ли мне в решении сложных уравнений рассмотрение и применение нестандартных способов решения уравнений» подтвердилась, поставленную перед собой цель и задачи я выполнил. Так же я сумел убедить своих одноклассников в том, что решать уравнения легко и просто, если ты владеешь разными способами решения уравнений.

Заключение

Изучив литературу и интернет ресурсы по данной тематике, я убедился в том, что линейные уравнение имеют большое практическое значение как в математике, так и в физике, информатике, химии. Изучил и познакомился с разными способами решения линейного уравнения с одной переменной: традиционный, способ «закрывашка», подстановка, решение по действиям, американский способ для «ленивых» учеников, американский способ для талантливых детей. 

Из всех способов решения линейного уравнения, я выбирал традиционный, т к он является классическим, хотя для простоты решения могу рекомендовать способ «закрывашка», позволяющий легко и просто решать сложное уравнения с одной переменной. Однако нужно отметить, что каждый способ решения уравнений по-своему уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и ВПР.

Считаю, что моя гипотеза «помогут ли мне в решении сложных уравнений рассмотрение и применение нестандартных способов решения уравнений» подтвердилась, поставленную перед собой цель и задачи я выполнил. Так же я сумел убедить своих одноклассников в том, что решать уравнения легко и просто, если ты владеешь разными способами решения уравнений.

В течение жизни мы решаем множество задач. И если каждую отдельно решённую задачу рассматривать, как распустившийся цветок, то в результате мы получим огромный, красивый букет.

Пусть все задачи, которые встают перед вами будут решены, а букет будет только из распустившихся цветов.

Список использованных источников и литературы

1. Бекаревич А. Н. «Уравнения в школьном курсе математики» Минск. 1968 г., 99 стр.

2. Большая школьная энциклопедия 5 –11 классы – М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2003.

3. Мерздяк А.Г. Математика: 5 класс: учебник/ А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир):. – М.: Вентана-Граф, 2019, 301 с.;.

4. Парканова, С. И., Линейные уравнения// С. И. Парканова, С. И. Ревтова, Т. М. Катлерова. Школьная педагогика. – 2016. – №2. – С. 19-22.

5. https://www.youtube.com/watch?v=ZRPlh6sFHbk

Приложение 1

АНКЕТА.

Отвечаем на вопросы – да или нет.

- Вы знаете, что такое уравнение?

- Вы знаете правило нахождения компонентов при сложении, вычитании, умножении, делении?

- Вы знаете, что значит решить уравнение?

- Вы знаете, что такое корень уравнения?

- Вы умеете решать уравнения?

Практическое задание.

Х + 25 = 124 х – 27 = 100

19х = 95 х : 25 = 16

(х + 39) – 43 = 27 253 – (х – 459) = 138

(2х + 1) * 2 – 10 = 12

16