Исследовательская работа. Лента Мёбиуса и её свойства

VI Республиканская научно-практическая конференция школьников

« Первые шаги в науку»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Инсарская средняя общеобразовательная школа № 2»

Инсарского района Республики Мордовия

Москвитина Регина, ученица 7 класса

Тихонова Т.М., учитель математики

г. Инсар,

2023 г.

Оглавление

1. Введение………………………………………………………2

1. Наука топология………………………………………….…..3

1. История создания ленты Мёбиуса…………………………..4

1. Свойства ленты Мёбиуса……………………………….……4

1. Применение ленты Мёбиуса………………………….……..5

1. Эксперименты с лентой Мёбиуса……………………….…..6

1. Выводы…………………………………………….……….….7

.

1. Заключение………………………………………..…………..8

1. Литература………………………………………..…………...8

1. Приложения……………………….………….……………….9

Мышление начинается с удивления.

Аристотель

Введение

В сети ИНТЕРНЕТ я посмотрела мультфильм «Переполох на ленте Мебиуса». Из мультфильма я узнала об удивительной поверхности, которая имеет одну сторону и относится к «математическим неожиданностям». После просмотра мультфильма мне захотелось как можно больше узнать о ленте Мёбиуса. Я изучила литературу, сама изготовила ленту Мёбиуса, исследовала, проводя эксперименты, её волшебные, необыкновенные свойства.

Актуальность работы: расширить свои знания в области топологии.

Цель работы: изучить ленту Мёбиуса и её свойства.

Для решения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи:

1.Изучить литературу по данной теме.

2.Изготовить ленту Мёбиуса и исследовать её свойства.

3.Установить области применения листа Мёбиуса.

Гипотеза: если лента Мёбиуса имеет одну поверхность, то она обладает необычными свойствами.

Объект исследования: лента Мёбиуса.

Предмет исследования: свойства и применение листа Мёбиуса.

Методы исследования:

-поисковый: подбор литературы;

-исследовательский: сбор и изучение литературы по данной теме;

-практический: моделирование ленты Мёбиуса, эксперименты.

Наука топология

Топология – это часть геометрии. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии. Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения").

Топология – раздел математики, изучающий:

• в самом общем виде – явление непрерывности;

• в частности – свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. Например, связанность, ориентируемость, компактность.

Топология изучает свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания. Топология известна и под именем «Резиновая геометрия». Любую фигуру тополог имеет право сгибать, сжимать, скручивать и растягивать - делать с ней все, что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все ее свойства остались неизменными.

В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов. Например, с точки зрения топологии, кружка и бублик – неотличимы.

Топология, как одна из самых новых ветвей науки геометрии, имеет великое будущее.

История создания ленты Мёбиуса.

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал Август Фердинанд Мёбиус (1790–1868), ученик "короля математиков" Гаусса. Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX в. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лента Мёбиуса. (Приложение 1)

Существует легенда того, как это произошло:

На улице шел дождь. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного в голову не приходило на ум. На пороге комнаты появилась жена. Она была разгневана и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая ленту, профессор воскликнул: «Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!» Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.

Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.

Основные свойства ленты Мебиуса.

Односторонность. Свойства ленты Мёбиуса хорошо известны: она имеет одну поверхность, однако в каждом поперечном сечении эта поверхность имеет "внешнюю" и "внутреннюю" стороны, которые по ходу движения вдоль ленты переходят друг в друга.

Непрерывность.

Тополог может, как угодно деформировать фигуру, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.

Связность.

Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Но вот чтобы разделить кольцо на две части, нужно уже два разреза. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат–односвязен, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки и подобные сложные фигуры – многосвязны. А лист Мёбиуса двусвязен, так как если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту

Применение ленты Мёбиуса в жизни.

Лист Мёбиуса находит многочисленное применение в науке, технике, искусстве.

Свойство односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике:

- полоса ленточного конвейера, шлифовальная лента, выполненная в виде ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается. (Приложение 2)

- в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

- в матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это дает ощутимую экономию.

Лист Мёбиуса в искусстве служит вдохновением для скульптур и для графического искусства. Мауриц Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил ему работы. Одна из известных, показывает муравьёв, ползающих по поверхности листа Мёбиуса – «Лента Мёбиуса-II». Замкнутая кольцеобразная полоса на первый взгляд имеет две поверхности – внешнюю и внутреннюю. Вы видите, как 9 красных муравьёв один за другим ползут по той и по другой. Тем не менее, это полоса с односторонней поверхностью. (Приложение 2)

Даже мастерицы – рукодельницы изготавливают шарфики, закрученные в эту чудо ленту. Писатели-фантасты сочиняют о ней произведения, поэты посвящают ей стихи.

Лента Мёбиуса вдохновляет создателей ювелирных украшений. Среди их работ можно встретить кольца и кулоны в виде ленты Мёбиуса. (Приложение 3)

Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста, также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций

Конечно же, главная ценность ленты Мёбиуса, представленного в моей работе, состоит в том, что она дала толчок новым исследованиям. Математические исследования продолжаются и в наши дни. Именно, поэтому её часто считают символом современной математики и  изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического  факультета Московского университета. (Приложение 3)

Эксперименты с лентой Мёбиуса.

Лента Мёбиуса таит в себе много неожиданностей. Поэтому я решила провести эксперименты с ней.

У любого тонкого объекта, такого как лист бумаги, кусок ткани, доска или пластинка, как правило, две поверхности: наружная и внутренняя. Может ли у листа бумаги быть только одна поверхность? «Может!». И таким листом является лист Мёбиуса.

Лист Мёбиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на пол-оборота и склеенная с его другим концом. Самое же удивительное, пожалуй, то, что я смогу её сделать своими руками и это совсем несложно. Надо лишь взять полоску бумаги длиной примерно 30 см и шириной 3 см. Далее склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180^о. И тогда в наших руках окажется лист, или лента Мёбиуса. (Приложение 4)

Эксперимент № 1.

Определение непрерывности ленты Мёбиуса.

Поставим точку на одной стороне ленты и проведем непрерывную линию вдоль неё, пока не придем снова в отмеченную точку.

Результат – линия замыкается полностью, закрасив всю ленту. Следовательно, лента Мёбиуса – непрерывная поверхность.

Эксперимент № 2.

Определим, сколько сторон имеет лента Мёбиуса.

Постепенно окрашиваем его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места.

Результат окрашивания – весь лист полностью окрашен

Это подтверждение того, что лист Мёбиуса односторонняя поверхность.

Эксперимент № 3.

Разрежем ленту Мёбиуса посередине (то есть на 2 полоски).

При разрезании получилось одно перекрученное дважды кольцо. Его длина в 2 раза больше, чем у исходной ленты Мёбиуса. При таком разрезании лента Мёбиуса утратила свойство непрерывности.

Эксперимент № 4.

Разрежем ленту Мёбиуса вдоль, отступив от края на 1/6 ширины кольца. При разрезании получились два перекрученные сцепленные между собой кольца. Кольцо меньшего диаметра более широкое будет тоже листом Мёбиуса. Второе кольцо большего диаметра более узкое.

Эксперимент № 5.

Разрежем ленту Мёбиуса вдоль на 3 полоски.

Результат разрезания – получились 2 перекрученные восьмеркой сцепленные друг с другом кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено. Оно получилось из краев исходной ленты. Другое - лента Мёбиуса - состоит из центральной части исходного листа Мёбиуса. Следовательно ленте Мёбиуса присуща связность: при разрезании вдоль края она не распадается на отдельные части.

Эксперимент № 6.

Исходный материал - полоска бумаги, перекрученная дважды. Склеим из неё ленту Мёбиуса. Разрежем пополам. В результате получим 2 ленты Мёбиуса.

Выводы

Итак, на основе проведенных мною исследований можно сделать следующие выводы:

• Лента Мебиуса получается из прямоугольника, у которого длина намного больше ширины.

•Лента Мебиуса имеет 1 край.

•Лента Мебиуса имеет одну поверхность.

• Поверхность ленты Мёбиуса непрерывна. Если пустить по поверхности ленты Мёбиуса движущиеся объекты, то они будут двигаться бесконечно долго.

• Ленте Мёбиуса присуща связность.

• Лента Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают, или не склеивают его отдельные куски.

• В результате исследования обнаружилось, что можно многократно перекручивать при склеивании ленты Мебиуса, и тогда нас ждет непредсказуемый витиеватый узор.

• Тема ленты Мебиуса пользуется популярностью у творческих личностей: в мире существует множество художественных произведений посвященных этой теме (литература, скульптура, живопись, графика и т.д.).

• Существуют и технические применения ленты Мебиуса.

Заключение

Лента Мебиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыл ученый. Позже математики открыли еще целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по – прежнему привлекает к себе внимание ученых, изобретателей, художников.

В ходе данного исследования мною была прочитана и переработана большая разнообразная информация, посвященная объекту моего исследования, различные источники сети Интернет, мне встречались также и работы учащихся, я проводила сравнение различных источников и анализировала прочитанное.

Я познакомилась с историей создания ленты Мёбиуса. В своей работе я пыталась описать свойства этой прекрасной поверхности – листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лента Мебиуса – топологическая фигура.

Своими результатами исследования о ленте Мебиуса я поделилась со своими одноклассниками. Считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.

Литература

1. М.Гарднер. Математические чудеса и тайны. – М: Наука, 1998.

2. Е.С. Смирнова. Курс наглядной геометрии. – М: Просвещение, 2002.

3. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Еранжиева. Наглядная геометрия. 5-6 класс. – М: Дрофа, 2000.

4. Энциклопедия для детей «Математика». – М: Аванта+, 2005.

5. Барр С. Россыпи головоломок. Москва, Мир, 1987.

6. Левитин К. Геометрическая рапсодия. Издательство «Знание», Москва,2004

Материалы сайтов:

1.http://arbuz.uz/t_lenta.html

2.http://school

Приложение 1.

Лента Мёбиуса

Приложение 2

Гравюра М. К. Эшера «Лента Мебиуса»

Памятник в Москве лепте Мёбиуса около кинотеатра «Горизонт»

Приложение 3

Значок механико-математического  факультета Московского университета

Ювелирные украшения

Приложение 4

Изготовление листа Мёбиуса

Эксперимент 1 и 2. Проведем непрерывную линию. Закрашиваем ленту.

Эксперимент 3. Разрежем на две полоски

.

Эксперимент 4. Разрежем ленту Мёбиуса вдоль, отступив от края на 1/6 ширины кольца

Эксперимент 5.Разрежем ленту Мёбиуса вдоль на 3 полоски.

Эксперимент 6. Дважды перекрученную ленту Мёбиуса разрежем пополам.

11