Исследовательская работа по алгебре 8 класс " Различные способы решения квадратных уравнений"

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Содержание

Введение 3

Глава 1.Квадратные уравнения: из древности до наших дней 4

Глава 2. Тезаурус по теме.

2.1. Определение квадратного уравнения и его виды 8

2.2. Решение квадратного уравнения общеизвестными способами 9

Глава 3. Способы решения квадратных уравнений, отличные от традиционных

3.1. Метод выделения полного квадрата

3.2. Решения уравнений способом «переброски»................................................12

3.3. Учёт свойств коэффициентов квадратного уравнения………………….....13

3.4. Решение квадратного уравнения графическим способом………………...15

3.5. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки………...16

3.6. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы………………..18

3.7. Геометрический способ решения квадратных уравнений…………………19

3.8.Решение уравнений с использованием теоремы Безу……………................20

Глава 4.Разработка буклета памятки………………….…………………………..22

Заключение………………………………………………………………………….23

Литература…………………………………………………………………………..24

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Введение

Сегодня все пространство окружающее современного человека связано с математикой. А постоянные открытия в физике, технике и информационных технологиях говорят о том, что этот процесс постоянно растет. Поэтому решение многих практических задач сводится к различным уравнениям, и очень часто эти уравнения являются квадратными.

В школьном курсерассматривается несколько типов квадратных уравнений, и способы их решения по формулам. Вместе с тем, современные научно--методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

Выбор способа должен оставаться за учащимися. Каждый ученик должен уметь верно и главное рационально решать квадратные уравнения. Так как в некоторых случаях можно решать их устно, только для этого необходимо помнить алгоритм решения квадратных уравнений, который может пригодиться во время экзаменов (ОГЭ и ЕГЭ, учитывая ограниченность экзамена во времени), при поступлении в ВУЗы и различных жизненных ситуациях.

Таким образом, возникает необходимость изучения этих дополнительных способов решения. Все сказанное выше определяет актуальность проблемы выполненной работы.

Цельюработы является выявление способов решения уравнений второй степени, отличных отизучаемых в школьной программе и оценка их с точки зрения удобства применения.

Задачи:

1)Познакомиться с историческими фактами, связанными с данным вопросом.

2)Описать технологии различных существующих способов решения уравнений второй степени.

3)Провести анализ этих способов, сравнить их.

4)Привести примеры применения различных способов решения уравнений.

5)Составить буклет-памятку со всеми изученными способами решения квадратных уравнений.

Объект исследования: уравнения второй степени.

Предмет исследования: способы решения уравнений второй степени.

ГЛАВА 1. Квадратные уравнения: из древности до наших дней

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000лет до нашей эры вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, как неполных, так и, полные квадратные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VIIв.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме.В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XIIв. Бхаскары.

Обезьянок резвых стая

Власть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась,

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая.

Сколько ж было обезьянок

Ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6видов уравнений, выражая их следующим образом:

1. «Квадраты равны корням», т.е. ax² + c =bx(5х²=10х).

2. «Квадраты равны числу», т. е. ax²=c(5x²=80).

3. «Корни равны числу», т. е. ax=c(4х=20).

4. «Квадраты и числа равны корням»,т.е.ax²+c=bx(х²+ 10х=39).

5. «Квадраты и корни равны числу», т. е. ax²+bx=c(x²+21=10x).

6. «Корни и числа равны квадратам», т. е. bx+c=ax² (3х+4=х²).

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVIIв., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники 16-17вв. и частично 18.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х²+bх=с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентовb, c , было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых вXVIв. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь вXVIIв. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была сформулирована им впервые в 1591г.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета ещё далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

Глава 2. Тезаурус по теме.

2.1. Определение квадратного уравнения и его виды.

1) Алгоритм – точное предписание (правило) о выполнении в определенном порядкеуказанных операций (шагов алгоритма), позволяющее решать все задачи определенного вида.

2) Квадратным уравнением называют уравнения вида:

ax²+bx-c=0, где a, b, c – некоторые действительные числа.

а – первый или старший коэффициент;

b – второй коэффициент или коэффициент при х;

с – свободный член.

3) Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1;квадратное уравнение называют непереведенным, если старший коэффициент отличается от 1.

4)Корнем квадратного уравнения называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен обращается в нуль.

5) Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.

2.2. Решение квадратного уравнения общеизвестными способами.

Разложение левой части уравнения на множители.

Разложение на множители уравнения – это процесс нахождения таких членов или выражений, которые, будучи перемноженными, приводят к начальному уравнению.

• Пример

Решим уравнение х²+10х-24=0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

Х²+10х-24=х²+12х-2х-24=х(х+12)-2(х+12)=(х+12)(х-2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х+12)(х-2)=0.

Так как произведение равно нулю, то по крайней мере один из множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х=2,а уравнение х²+10х-24=0.

Решение квадратного уравнений по формуле

Вывод формулы:

Умножим обе части уравнения ax²+bx+c=0 , а ≠ 0, на 4а и, следовательно, имеем :

4а²х²+4аbc+4ac=0

((2ax)²+2ax ∙ b + b²)-b²+4ac=0

(2ax+b)²=b²-4ac

2ax+b= ±

2ax =-b±

X_1,2=

Выражение b²- 4 ac называют дискриминантом и обозначают D, причем

• Если D0, то уравнение ax²+bx+c=0 имеет два различных корня;

• Если D=0, то два одинаковых корня;

• Если D

Решение уравнений с использование теоремы Виета (прямой и обратной)

1)Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид:

x²+ px + q=0 (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а=1 имеет вид

x ₁x₂= q

x₁+x₂ = -p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

А) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.

Если p0, то оба корня отрицательные, если p

Например,

х²-3x+2=0; x₁ = 2 bx₂=1, так как q = 20 и q = 2 0 и p = – 3

х² +8х + 7 = 0; х₁ = – 7 и х₂ = – 1, так как q = 7 0 и p = 8 0.

Б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q 0. Например, х² + 4х – 5 = 0; х₁ = – 5 и х₂ = 1, так как q = – 5 0; х² – 8х – 9 = 0; х₁ = 9 и х₂ = – 1, так как q = – 90.

2) Теорема Виета для квадратного уравнения ax²+bx+c=0 имеет вид :

х₁х₂ = ,

х₁+х₂ = - .

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

Если х₁ и х₂ таковы, что х₁+х₂ = -p, х₁х₂ = q, то х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения

х² + px + q = 0.

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

• Примеры

1. Решить уравнение x²-9x+14=0

Попробуем найти два числа х₁ и х₂, такие, что

х₁ + х₂ = 9

х₁х₂ = 14

Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

1. Решить уравнение :x²+3x-28

Попробуем найти два числа х₁ и х₂ , такие, что

х₁+х₂= - 3

х₁х₂ = - 28

Нетрудно заметить, что такими числами будут - 7 и 4. Они и являются корнями данного уравнения.

Глава 3. Способы решения квадратных уравнений, отличные от традиционных

3.1. Метод выделения полного квадрата

• Пример

Решим уравнение х² + 6х - 7 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х² + 6х в следующем виде: х² + 6х = х² + 2 • х • 3 .

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х и 3. Поэтому, чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3², т.к.

х²+2•х•3+32=(х+3)².

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х²+6х-7=0,

прибавляя к ней и вычитая 3². Имеем:

х²+6х-7=х²+2• х • 3 +3² - 3²-7= (х+3)²- 9 -7= (х+3)²-16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х+ 3)²-16 = 0, т.е. (х+ 3)² = 1б.

Следовательно, х + 3 = 4, х ₁= 1, или х +3 = -4 , х₂ = - 7.

3.2 Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение

ах²+Ьх+ с= 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а²х²+ аЬх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению

у²+bу+ас=0,

равносильному данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получим х₁ = и х₂ = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как 6ы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

• Примеры

Решим уравнение

2х² - 11х + 15 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у²- 11у +30= 0.

С огласно теореме у₁ = 6 х₁ = х₁ = 3

У₂ = 5 х₂ = х₂ = 2,5

Ответ: 2,5; 3.

3.3. Учёт свойств коэффициентов квадратного уравнения

А. Пусть дано квадратное уравнение

ах²+Ьх+ с=0,а≠0.

1. Если, а + Ь + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то

х₁=1,х₂= .

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведённое квадратное уравнение: х² + х + = 0.

С огласно теореме Виетаx₁ + x₂ = -

x₁x₂=

По условию, а + Ь + с = 0, откуда Ь = - a - с. Значит,

x ₁+ x₂ = - = 1 +

x₁x₂ = 1 •

Получаем x₁ = 1, x₂ = , что и требовалось доказать.

2. Если, a - b + c = 0, или b = a + c, то x₁ = - 1, x₂ = - .

Доказательство. По теореме Виета

x ₁ + x₂ = -

x₁x₂=

По условию, a - b + c = 0, откуда b = a + c . Таким образом,

x_{1 +} x₂ =- = -1 -

x₁x₂ = - 1 • ( ) ,

т.е. х₁ = -1 и х₂ = , что и требовалось доказать.

• Примеры

1.Решим уравнение 345х² —137х — 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 — 137 — 208 = 0), то х₁ = 1, х₂ = = .

Ответ. 1; .

2. Решим уравнение 132x² + 247x + 115 = 0

Решение. Т.к. a – b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0 ), то x₁ = -1, x₂ = -

Ответ. – 1; - .

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

X_1,2 = можно записать в виде х_1,2 =

• Примеры

Решим уравнение 3x² – 14x + 16 = 0

Решение. Имеем :a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D=k² – ac = (-7)² – 3 • 16 = 49 -48 =1, D0 ,два различных корня ;

X = = ; X₁ = 2 , X₂ = .

Ответ. 2; .

В. Приведенное уравнение х² + px + q = 0

Совпадает с уравнением общего вида, в котором a=1, pи c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

X_1,2 =

принимает вид: x_1,2 = , или x_1,2 = - ² – q. (2).

Формулу (2) особенно удобно использовать, когда p – чётное число.

• Пример

1. Решим уравнение х² – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х_1,2 = 7 ± = 7 ± = 7 ± 8

Ответ. X₁ = 15, x₂ = -1.

3.4. Решение квадратного уравнения графическим способом

Если в уравнении : х² + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х² = - px – q.

Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи :

-прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут качаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

-прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

• Пример

Решим графически уравнение : х² - 3х - 4 = 0

Решение. Запишем уравнение в виде : х² = 3х + 4.

Построим параболу у = х² и прямую у = 3х + 4.

Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13).

Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х₁ = -1 и х₂ = 4.

Ответ.х₁ = -1, х₂ = 4.

3.5. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы не всегда удобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точность получаемых результатов невелика. Существует способ нахождения корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х₁; 0 ) и D (х₂; 0), где х₁ и х₂ - корни уравнения ах² + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х₁х₂/ 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

Итак:

1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS SK, или R a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках В (х₁; 0) и D(х₂; 0), где х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох в точке В (х₁; 0), где х₁ - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

• Пример

Решим уравнение х²- 2х - 3 = 0

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х₁ = - 1; х₂ = 3.

3.6. Решение квадратных уравнений с помощью номограмм

Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z² + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициент там определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z² + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Если дано полное квадратное уравнение, то его надо привести к приведенному квадратному уравнению z² + pz + q = 0

Затем второй коэффициент и свободный член из уравнения отметить на соответствующих осях p и q, полученные точки соединить прямой.

Прямая пересекает кривую шкалу в двух точках – корнях данного уравнения, если корни положительные.

• Если уравнение имеет корни разного знака, то прямая пересечет кривую шкалу в одной точке – это положительный корень. Отрицательный корень находят, вычитая положительный корень из –p.

• Если же корни отрицательные, то по номограмме находят два положительных корня t₁ и t₂ для уравнения z² – pz + q = 0, а для уравнения z² + pz + q = 0 корнями будут z₁ = -t₁, z₂ = -t₂

•Пример

1) Для уравнения z² - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z₁ = 8,0 и z₂ = 1,0

2) Решим с помощью номограммы уравнение 2z² - 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение:

z² - 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z₁ = 4 и z₂ = 0,5.

3) Для уравнения z² - 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t² - 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t₁ = 0,6 и t₂ = 4,4, откуда z₁ = 5t₁ = 3,0 и z₂ = 5t₂ = 22,0.

3.7. Геометрический способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал - Хорезми. Уравнение х² + 10х = 39

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39».

Строим квадрат со стороной х и на его сторонах – четыре прямоугольника высотой . В углах фигуры построим четыре квадрата со стороной . В углах фигуры построим четыре квадрата .

Подсчитаем площадь получившегося большого квадрата:

X² + 4 • • ( )²= x² + 10x + ( )² • 4

По условию x² + 10x = 39, т.е. площадь большого квадрата равна

39 + ( )² • 4 = 39 + + 25 =64.

Значит, его сторона равна 8, тогда x + 2 • ( ) = 8, x = 3 (Ал–Хорезми не признавал отрицательных чисел)

А вот, например, как древние греки решали уравнение y² + 6y – 16 = 0

Решение представлено на рис., где у² + 6у = 16, или у² + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у² + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у₁ = 2, у₂ = - 8.

3.8. Решение уравнений с использованием теоремы Безу

Теорема Безу. Если уравнение a₀xⁿ + a₁x^n-1 … + a_n-1x + a_n = 0, где все коэффициенты целые, имеет целые корни, то это делители свободный член.

Следствие 2: Если b является корнем многочлена f (x), то этот многочлен делится на (x-b) без остатка.

Теорема Безу даёт возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого уже на единицу меньше.

Таким образом, один корень найден и далее находятся уже корни многочлена, степень которого на единицу меньше степени исходного многочлена. Иногда этим приёмом – он называется понижением степени – можно найти все корни заданного многочлена.

•Пример

Решить квадратное уравнение: х² – 4х + 3 = 0

f(x) = x² – 4x + 3

Решение :

Делители свободного члена ±1, ±3.

Проверим 1, подставив в уравнение 1 – 4 + 3 = 0. Значит 1 – это корень данного уравнения. Тогда квадратный трёхчлен х² - 4х + 3 делится нацело на (х-1).

Разделим f(x) на (x-1), получим:

= х-3, т.е.

Х² – 4х + 3 = (х-1)(х-3)

(х-1)(х-3) = 0

x – 1 = 0; х₁ = 1, или х-3=0, х₂=3;Ответ.х₁ = 1, х₂=3.

Заключение

Человечество прошло длинный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание всё более полным и совершенным.

Уравнения – язык алгебры, квадратные уравнения – это фундамент, на котором построено величественное здание алгебры. Изученные способы решения квадратных уравнений будут применяться и при дальнейшем изучении математики, при решении уравнений, сводящихся к решению квадратных.

В ходе выполнения работы с поставленной целью и задачами я справилась, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Проанализировав все новые способы решения квадратных уравнений, стало очевидным, что нельзя однозначно сказать, какой именно метод наиболее удобен или совершенен. Некоторые ( такие как, решение с использованием теоремы Безу и решение с помощью циркуля и линейки) удобно применять, когда коэффициенты невелики, другие – допускают большие коэффициенты ( например, учёт коэффициентов): графический не всегда точен, а геометрический понятен, но громоздок. Можно сделать вывод, что все способы надо иметь в своем арсенале и применять их по мере необходимости с точки зрения рациональности решения.

Составление буклета-памятки, обобщить способы решения квадратных уравнений, которые не изучают в школе. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ и ЕГЭ.

Данные буклеты я раздам одноклассникам и ученикам других классов. Они могут воспользоваться собранными в буклет-памятку материалами для изучения и закрепления рациональных способов решения квадратных уравнений. В дальнейшем я планирую провести опрос, насколько интересна информация, предложенная в буклете, и используют ли они данные способы для решения квадратных уравнений, если да, то какой способ они считают наиболее простым и понятным.

Литература

1.Брадис В.М. Четырёхзначные математические таблицы для средней школы.

Изд. 57-е. – М., Просвещение, 1990. С. 83.

2.Окунев А.К. Квадратные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М., Просвещение, 1972.

3.Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. – М., Квант, № 4/72. С. 34.

4.Соломник В.С., Милов П.И. Сборник задач по алгебре и элементарными функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. – М., Просвещение, 1970.

Интернет-ресурсы:

http://bibliofond.ru/view/aspx?id=581448

http://skolkobudet.ru/publ/4-1-0-18

http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2012/08/22/sem-srosobov-resheniya-kvadratnykh-uravneniy

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение г. Шахты

«Лицей № 26»

346506 г. Шахты, проспект Ленинского Комсомола, 51,тел. (8636)23-00-92

Наименование секции: математика

Исследовательская работа

Тема: «Нестандартные способы решения квадратных уравнений»

Автор работы:

Шабельник Анастасия,

8 а класс,

МБОУ г.Шахты «Лицей № 26»

Руководитель:

Авагян Элина Сергеевна

МБОУ г.Шахты «Лицей №26»

2013-2014 год

24