Исследовательская работа по теме "Методы решения планиметрических задач"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

муниципального образования «Город Архангельск»

«Гимназия № 3 имени К.П. Гемп»

XXIII научная ученическая конференция,

посвящённая Году Культуры

Методы решения планиметрических задач

Выполнил:

ученик 9 «В» класса

Колосков Роман Алексеевич

Научный руководитель:

учитель математики

Растатурова Галина Владимировна

Архангельск

2019

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Геометрия – предмет, который вызывает наибольшую трудность у учащихся среди школьных предметов. Это обусловлено многими факторами, например, практически все задачи решаются не по образцу, так же применяется большое количество методов и приемов, не рассматриваемых в школьном курсе геометрии.

Актуальность выбранной темы: использование различных методов решения задач содействует развитию математических способностей школьников.

Цель работы: исследовать различные методы решения планиметрических задач.

Основные задачи работы

1.Изучить литературу по данной теме.

2. Исследовать разнообразные методы решений планиметрических задач.

3.Подобрать и решить несколько геометрических задач всеми изученными методами.

Объект исследования: планиметрические задачи.

Предмет исследования: методы решения планиметрических задач

Практическая значимость исследования: результаты исследования могут быть использованы при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.

Глава 1. Из истории возникновения понятия «планиметрия».

Планиметрия — раздел  геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости: треугольники, окружности, параллелограммы и т.д.

При систематическом изучении школьного курса геометрии обычно начинают с изучения планиметрии, а затем приступают к изучению стереометрии, изучающей пространственные фигуры. Основными понятиями школьного курса планиметрии являются точка, прямая, плоскость и расстояние (между двумя точками или от точки до точки), а также некоторые общематематические понятия, такие, как множество, отображение множества на множество и некоторые другие.

Были попытки излагать обе части геометрии (планиметрию и стереометрию) вместе, слитно, изучая плоские и пространственные фигуры одновременно. Но, как правило, сначала изучают планиметрию, а затем приступают к стереометрии.

Глава 2. Метод вспомогательной окружности.

Условие принадлежности четырех точек окружности.

Теорема. Если для четырех точек плоскости А, В, М, К выполняется одно из условий:

1.Точки М и К расположены по одну сторону от прямой АВ и при этом угол АМВ равен углу АКВ;

2.Точки М и К расположены по разные стороны от прямой АВ и при этом угол АМВ плюс угол АКВ равно 180, то точки А, В, М, К лежат на одной окружности.

Задача 1.В остроугольном треугольнике АВС проведены высота АА₁ и ВВ₁ пересекающиеся в точке Н. Известно, что САВ = 70⁰, АВС = 80⁰.

Найдите углы треугольника СА₁В₁ и А₁ВН.

1. Точки А₁ и В₁ лежат по разные стороны от прямой НС и НА₁С + НВ₁С =180⁰, следовательно, точки Н, А₁, С, В₁ лежат на одной окружности. Точки А₁ и В₁ лежат по одну сторону от прямой АВ и ВА₁А = ВВ₁А= 90⁰, следовательно, точки А, В, А₁, В₁ лежат на одной окружности.

2. В треугольнике АВВ₁ АВВ₁= 90⁰ – 70⁰ = 20⁰.

3. В треугольнике АВС С = 30⁰_.

4. А₁ВН=80⁰ – 20⁰ = 60⁰; А₁НВ = 90⁰ – 60⁰ = 30⁰.

5. АА₁В₁ = АВВ₁ = 20⁰, следовательно В₁А₁С = 90⁰-20⁰ = 70⁰.

6. А₁В₁С = 180⁰ – (30⁰ + 70⁰) = 80⁰

Задача 2.

Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите длину медианы, проведенной к стороне ВС, если ВАС = 26⁰, ВМС = 154⁰, ВС = 63

Решение:

1.К – середина ВС. Продлим МК за точку К до точки L, МК = KL. BLCK – параллелограмм. ВLС = ВМС = 154⁰, следовательно, через точки А, В, L, С можно провести окружность.

2.Используя свойство хорд окружности пересекающихся в одной точке АК • КL = BK • KC.

3.Точка М, точка пересечения медиан, следовательно АМ = МL, КL = x, тогда 3х • х =3 , х = 3, а АК = 9.

Ответ: АК=9

Глава 3. Метод дополнительного построения.

Дополнительные построения позволяют свести задачу к задачам, решения которых хорошо известны или легко могут быть получены. Требуется большой опыт, изобретательность, геометрическая интуиция, чтоб догадаться, какие дополнительные линии следует провести. Иногда условие задачи подсказывает выбор дополнительного построения.

Задача.

Через се­ре­ди­ну K ме­ди­а­ны BM тре­уголь­ни­ка ABC и вер­ши­ну A про­ве­де­на прямая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ну BC в точке P. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди четырёхугольника KPCM.

Решение.

1. Проведём от­ре­зок MT, па­рал­лель­ный AP, тогда MT — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка APC и CT = TP, а KP — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BMT и TP = BP.

2. Обо­зна­чим пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKP через S. Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка KPС, име­ю­ще­го ту же вы­со­ту и вдвое боль­ше основание, равна 2S.

3. Зна­чит пло­щадь тре­уголь­ни­ка CKB равна 3S и равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка СMK (треугольники имеют одну высоту, проведённую из вер­ши­ны С, и рав­ные основания), ко­то­рая в свою оче­редь равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AMK.

4.  Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВК равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка АМК

5. Итак, Sвкp=S, Sкpc=2S, Scмк=3S=Saмк=Sавк, Sкpcм=5S. Значит, Saвк : Sкpcм= 3 : 5=0,6.

Ответ: 0,6.

Глава 4. Метод площадей.

• Метод площадей — метод решения геометрических тождеств путём подсчёта площадей фигур разными способами. Суть метода – площадь фигуры выражается двумя различными способами.

Алгоритм решения задачи:

1.На основе анализа данных выбрать два наиболее подходящих способа для вычисления площади фигуры;

2.Составить равенство двух выражений, означающих площадь одной и той же фигуры;

3.Решить полученное уравнение;

4.Продолжить решение задачи.

Задача 1.

 В параллелограмме АВСД биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К, а биссектриса угла С сторону АД в точке М. Четырехугольник, ограниченный прямыми АК, СМ, ВМ и ДК имеет площадь 4. Найти площадь параллелограмма АВСД, если АВ: ВС = 2: 3.

Решение:

1. Выразим через основание и высоту площади двух треугольников, образованных меньшим основанием трапеции и еще одной вершиной трапеции соответственно; высоты трапеции равны и они являются одновременно высотами этих треугольников;

2. Получили равенство площадей треугольников, причем площадь каждого является суммой площади треугольника при боковой стороне трапеции и площади общей части;

3. Сравнивая полученные суммы, получаем равновеликость треугольников при боковых сторонах трапеции.

4. Отрезок КМ разбивает параллелограмм на две равные трапеции. Рассмотрим одну из них:

1. Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам трапеции равны половине площади четырехугольника с площадью 4

2. Треугольники, образованные при основаниях трапеции подобны с коэффициентом подобия 2

1. Площадь параллелограмма в два раза больше площади трапеции и равна 18 Ответ:18

Задача 2.

На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М и N, так что АМ:МВ=5:3 и BN:NС=2:7.

Найти: площадь треугольника АВС, если площадь треугольника MNB=11

Решение:

Заключение.

Чтобы успешно решать нестандартные задачи по геометрии недостаточно знать теоретический материал школьной программы. Нужно владеть определенным арсеналом приемов и методов решения.

В работе были исследованы методы: дополнительного построения, вспомогательной окружности и площадей. Данные методы дают возможность свести решаемую задачу к элементарным задачам, решения которых известны или легко могут быть получены.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. https://nsportal.ru

2. https://infourok.ru/

3. https://multiurok.ru/

4. https://oge.sdamgia.ru/