Исследовательская работа

Здравствуйте! Меня зовут Зайцева Валерия. Я ученица 6 класса МКОУ Старокриушанской СОШ Петропавловского района.

Практически на каждом уроке математики в его начале учитель проводит устный счет. И это не случайно. Ведь быстро и правильно считать умеет не каждый ученик.. Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память. Поэтому считаю данную тему актуальной.

Итак, целью своей исследовательской работы я считаю изучение различных приемов быстрого счета.

Гипотеза: в старину говорили: «Умножение – мое мученье». Значит, раньше было сложно и трудно умножать. Просты ли наши современные способы различных вычислений, а не только умножения?

Задачи, которые я поставила перед собой, представлены на слайде.

Числа были придуманы людьми, чтобы обозначать количество предметов: стрел в колчане, мешков зерна в амбаре, овец в стаде. Но эти величины непостоянны – количество предметов то увеличивалось, то уменьшалось, поэтому важно было складывать и вычитать. Когда числа были небольшими, это делалось просто: рисовали черточки на дереве, завязывали узелки на веревке. Вместо верёвки часто использовали живой «вычислительный прибор» - пальцы. С развитием цивилизации появились различные приёмы счёта. Они были необходимы и купцам, и ремесленникам, и тогдашним «банкирам» - ростовщикам. Однако искусством счёта владели не многие. Для расчётов привлекали специально обученных людей – счетчиков.

Умножение чисел сейчас изучают в первом классе школы. А вот в Средние века совсем немногие владели искусством умножения. Редкий аристократ мог похвастаться знанием таблицы умножения, даже если он окончил европейский университет. За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности» приводит восемь различных методов умножения. Один из них носит название «ревность», или «решётчатое умножение». Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, - пишет Пачоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть сидящих у окон дам и монахинь». Допустим, умножим 987 на 12.

Рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);затем квадратные клетки делим по диагонали; вверху таблицы записываем число 987; слева таблицы число 12; теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки ниже диагонали, единицы выше; после заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали справой стороны; результат читаем по стрелке.

Хотя умножение в старину и считалось нелёгким делом, однако деление было ещё сложнее.

История показывает, как тяжел был путь выбора наиболее удобного варианта действий над числами. И не в последнюю очередь от этого зависит дальнейшее распространение и развитие математики как науки. Понятие числа прошло длинный исторический путь развития и наука о числах и действиях над ними необходима для прогрессивного развития человеческого общества. Какие сейчас существуют приемы быстрого счета?

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы приба-вить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отни-мите 3 и т.д. Например:56+8=56+10-2=64; 65+9=65+10-1=74.

2.Сложение в уме двузначных чисел. Если цифра единиц в прибавляемом числе больше 5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а за-тем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра еди-ниц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:

34+48=34+50-2=82; 27+31=27+30+1=58.

3.Сложение трехзначных чисел (сложение по разрядам).

Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы. Например: 359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

4.Вычитание.Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

5.Вычитание числа, меньше 100, из числа, больше 100.

Если вычитаемое меньше 100, а уменьшаемое больше 100, но меньше 200, есть простой способ вычислить разность в уме, например,134-76=58

76 на 24меньше 100. 134 на 34 больше 100. Прибавим 24 к 34 и получим ответ: 58. Другой пример:152-88=64. 88 на 12 меньше 100,а 152 больше 100 на 52, значит 152-88=12+52=64.

6. Сложение чисел, близких друг к другу по величине.

43 + 38 + 39 + 45 + 41 + 39 + 42 = 287

43 = 40 + 3

38 = 40 – 2

39 = 40 – 1

45 = 40 + 5

41 = 40 + 1

39 = 40 – 1

42 = 40 + 2

40*7=280, 3-2-1+5+1-1+2= 7, 280+7=287

1.Умножение и деление на 4.Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают. Например, 214*4=(214*2)*2=428*2=856.

Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2. Например:

124:4=(124:2):2=62:2=31

2.Умножение и деление на 5.Чтобы умножить число на 5, нужно его умно-жить на  умножить на 10 и разделить на 2. Например:138*5=(138*10):2=1380:2=690.

Чтобы число разделить на 5, нужно умножить его на 0,2, то есть в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру. Например: 345:5=345*0,2=69,0=69.

3.Умножение на 25.Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на , то есть умножить на 100 и разделить на 4. Например:

348*25=(348*100):4=(34800:2):2=17400:2=8700

4.Умножение на 1,5. Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину. Например: 26*1,5=26+13=39

5. Умножение на 9. Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Например, 249*9=2490-249=2241.

6. Умножение на 11.

1 способ. Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:47*11=470+47=517, 243*11=2430+243=2673

2 способ. Если хочешь умножить число на 11, то поступай так: запиши число, которое нужно умножить на 11, а между цифрами исходного числа вставь сумму этих цифр. Если сумма получается двузначное число, то 1 прибавляем к первой цифре исходного числа. Например: 45*11=495, 87*11=957.

Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.

7.Умножение двузначного числа с суммой цифр, меньшей 10, на 111.

42 • 111 = 4662. Находим сумму цифр данного двузначного числа (4 + 2 = 6). Раздвигая цифры множимого, дважды пишем между ними сумму цифр данного двузначного числа.

9.Умножение на число, записываемое одними девятками.

247 •999 = 246753

247 •999= 247000 – 247 = 246999 – 246 = 246753

10.Быстрое возведение в квадрат

Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5: 85 х 85 = 7225
Шаг 1 — Умножаем первую цифру на первую цифру, увеличенную на единицу: 8 x (8 + 1) = 72
Шаг 2 — Дописываем к получившемуся результату 25: 7225

45 x 45 = 2025
Шаг 1 — 4 х (4 + 1) = 20
Шаг 2 — 2025

11.Сложное умножение

Если вам нужно умножать большие числа, причем одно из них — четное, вы можете просто перегруппировать их, чтобы получить ответ:
32×125 все равно, что:
16×250 все равно, что:
8×500 все равно, что:
4×1000 = 4000

Существуют некоторые математические трюки. Они представлены на слайде.

1.А сейчас поработаем вместе. Я вам предлагаю загадать любимую цифру. Теперь выполните умножение (на калькуляторе) числа 15873 на любимую цифру, умноженную на 7. Получится произведение, записанное только любимой цифрой.

И еще. Умножаем число своих лет на 10, затем любое однозначное число умножить на 9,  из первого произведения вычесть второе и сообщить полученную разность. Я угадаю ваш возраст.

Я провела практическую работу. Составила ряд однотипных упражнений и предложила группе учащихся класса их решить. Время , затраченное на их решение – 6 мин 30 секунд и решено верно 71% заданий. После изучения способов облегченных вычислений, во втором контрольном замере: решено – 90% время-6мин 10сек.

После непродолжительной тренировки (3занятия), в третьем контрольном замере : решено полностью устно– 98%, время-5мин . От замера к замеру количество нерешенных заданий уменьшается, а решенных увеличивается, растет и число заданий, выполненных устно. На примере группы учеников 6 класса уверенно прослеживается динамика развития вычислительных навыков устного быстрого счета. Значит, принимаем гипотезу о том, что с помощью приемов быстрого счета можно улучшить вычислительные навыки.

Изучив историю развития вычислений, я сделала вывод, что современные способы вычислений намного проще и удобнее, чем были ранее. А знать их необходимо каждому человеку. И научиться вычислять в уме может любой человек.. Наработка вычислительных навыков должна быть систе-матической, ежедневной, надо стремиться к тому, чтобы как можно больше освоить “хитрых” приемов.

Спасибо за внимание!

VII межмуниципальная научно-практическая конференция

обучающихся общеобразовательных организаций

«Школьная исследовательская инициатива»

Физико-математическая секция

Секреты быстрого счета

исследовательская работа

Зайцева Валерия

6 класс

Муниципальное казенное

общеобразовательное учреждение

Старокриушанская средняя

общеобразовательная школа

Научный руководитель –

Бургонова Ирина Ивановна,

учитель математики

МКОУ С тарокриушанская СОШ

с. Старая Криуша

2017 г

Оглавление.

стр.

1.Введение. 3

2.Из истории возникновения приемов вычислений. 5

3. Различные методы вычислений. 8

3.1.Методы сложения и вычитания. 8

3.2.Различные способы умножения и деления. 9

3.3.Некоторые математические трюки. 11

4. Диагностика устных вычислений учащихся 6 класса. 13

5. Заключение. 14

6.Список литературы. 15

7.Приложения. 16

1. Введение.

Практически на каждом уроке математики в его начале учитель проводит устный счет. И это не случайно. Ведь быстро и правильно считать умеет не каждый ученик. Но у кого это хорошо получается, тот более успешен на уроке. Во-первых, кто умеет в уме быстро считать, тот экономит драгоценное время урока и для себя, и для учителя. Тогда учитель может дать больше на уроке материала, а ученик, естественно, больше приобрести знаний. Мы знаем способы и приемы устного сложения и вычитания, умножения и деления чисел в рамках программного материала и умеем их применять. Но однажды на уроке учительница рассказала о нескольких незнакомых нам способах вычислений, что меня очень заинтересовало, и предложила самим побольше узнать о таких приемах быстрого счета. Считаю, что данная тема актуальна во все времена, так как человек не может обойтись без каких-либо вычислений в любую минуту, где бы он не находился: дома, на работе, в магазине, в транспорте и т.д. Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы естественно-математического цикла.

Итак, целью своей исследовательской работы я считаю изучение различных приемов быстрого счета.

Задачи:

1. Изучить историю возникновения счета.

2. Изучить различные приемы быстрого счета.

3. Поделиться данной информацией с одноклассниками.

4. Провести диагностику, в результате которой будет выяснено, улучшилось ли качество устного счета у учеников 6 класса. Сделать определенные выводы.

Гипотеза: в старину говорили: «Умножение – мое мученье». Значит, раньше было сложно и трудно умножать. Просты ли наши современные способы различных вычислений, а не только умножения?

Объектом исследования являются алгоритмы счета.

Предметом исследования выступает процесс вычисления.

При работе я пользовалась следующими методами:

• поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

• практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;

• анализ полученных в ходе исследования данных.

2.Из истории возникновения приемов вычислений.

Числа были придуманы людьми, чтобы обозначать количество предметов: стрел в колчане, мешков зерна в амбаре, овец в стаде. Но эти величины непос-тоянны – количество предметов то увеличивалось, то уменьшалось, поэтому важно было складывать и вычитать. Когда числа были небольшими, это дела-лось просто: рисовали черточки на дереве, завязывали узелки на веревке. Пасет пастух стадо овец, на поясе у него веревка, а на веревке столько узелков, сколь-ко овец в стаде. Родился ягнёнок – пастух завязал ещё один узелок. Утащили волки ещё двух овец - развязал два узелка. Вместо верёвки часто использовали живой «вычислительный прибор» - пальцы. Обычно так считают малыши. Боль-шого труда стоит преподавателям отучить первоклассников от такого счёта и приучить к устному счёту в «уме». Однако наиболее стойкие продолжают считать на пальцах, держа руки в карманах, чтобы не видел учитель. А один пе-рвоклассник складывал числа, глядя на циферблат часов. С развитием цивили-зации появились различные приёмы счёта. Они были необходимы и купцам, и ремесленникам, и тогдашним «банкирам» - ростовщикам. Однако искусством счёта владели не многие. Для расчётов привлекали специально обученных людей – счетчиков. [1, 10-11]

Умножение чисел сейчас изучают в первом классе школы. А вот в Средние века совсем немногие владели искусством умножения. Редкий аристократ мог похвастаться знанием таблицы умножения, даже если он окончил европейский университет. За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности» (1494 г.) приводит восемь различных методов умножения. Один из них носит название «ревность», или «решётчатое умножение». Сначала рисуется прямо-угольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, - пишет Пачоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть сидящих у окон дам и монахинь». Допустим, умножим 987 на 12.

Рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);затем квадратные клетки делим по диагонали; вверху таблицы записываем число 987; слева таблицы число 12; теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки ниже диагонали, единицы выше; после заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали справой стороны; результат читаем по стрелке.

В России среди крестьян некоторых губерний был распространён способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Он получил название «русский крестьянский способ умножения». Здесь необходимо было лишь умение умножать и делить числа на 2. Перемножим ещё раз числа 12 и 987 этим способом. Напишем одно из чисел слева, а второе – справа на одной строчке. Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и резуль-таты записывать в столбик. Если при делении возникнет остаток (т. е. дели-мое окажется нечётным числом), то он отбрасывается. Умножение и деление на 2 продолжаем до тех пор, пока слева не останется 1. Затем вычеркнем те строчки столбиков, в которых слева стоят чётные числа. Теперь сложим ос-тавшиеся числа в правом столбце – получим 11844. Это и есть произведение перемножаемых чисел.[2,15]

Хотя умножение в старину и считалось нелёгким делом, однако деление было ещё сложнее. В Италии до сих пор сохранилась поговорка «Трудное дело деление». Так обычно говорят, когда оказываются перед почти неразрешимой проблемой. В Средние века людей, умевших производить деление, можно было пересчитать по пальцам. Их уважительно называли «магистрами деления». Они переезжали из города в город по приглашениям купцов, желавших привести в порядок свои счета. Методов деления придумано немало. Монах-математик Герберт, будущий Папа Римский Сильвестр II., привёл в своих сочинениях несколько способов деления на абаке. При этом он придерживался таких принципов: как можно меньше применять таблицу умножения, в частности не использовать умножение в уме двузначных чисел на однозначные; избегать вычитаний, заменяя их сложениями; работа должна выполняться автоматически, без проверок, при которых тоже могут появиться ошибки. Такие строгие ограничения он ввёл, учитывая, сколь неграмотны были монахи, производившие таблицы умножения. Но в итоге, правила Герберта оказались настолько сложными, что не были понятны даже самым прилежным счётчикам-абацистам.

Когда в Европе появился арабский способ деления, основанный на принятой сейчас позиционной десятиной системе счисления, он получил название «золотое деление». Им мы пользуемся и по сей день. А метод Герберта стали называть «железным делением». Кроме этих способов были и другие. Потребность в счете, измерениях, и желании проследить за изменением количественной характеристики послужило толчком в зарождении математики и основными математическими действиями над числами. История показывает, как тяжел был путь выбора наиболее удобного варианта действий над числами. И не в последнюю очередь от этого зависит дальнейшее распространение и развитие математики как науки. Понятие числа прошло длинный исторический путь развития и наука о числах и действиях над ними необходима для прогрессивного развития человеческого общества.[1,29]

3.Различные методы вычислений.

3.1.Методы сложения и вычитания.

1. Сложение. Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы приба-вить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отни-мите 3 и т.д. Например:56+8=56+10-2=64; 65+9=65+10-1=74.

2.Сложение в уме двузначных чисел. Если цифра единиц в прибавляемом числе больше 5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а за-тем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра еди-ниц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:

34+48=34+50-2=82; 27+31=27+30+1=58.

3.Сложение трехзначных чисел (сложение по разрядам).

Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы. Например: 359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

4.Вычитание.Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

5.Вычитание числа, меньше 100, из числа, больше 100.

Если вычитаемое меньше 100, а уменьшаемое больше 100, но меньше 200, есть простой способ вычислить разность в уме, например,134-76=58

76 на 24меньше 100. 134 на 34 больше 100. Прибавим 24 к 34 и получим ответ: 58. Другой пример:152-88=64. 88 на 12 меньше 100,а 152 больше 100 на 52, значит 152-88=12+52=64.

6. Сложение чисел, близких друг к другу по величине.

43 + 38 + 39 + 45 + 41 + 39 + 42 = 287

43 = 40 + 3

38 = 40 – 2

39 = 40 – 1

45 = 40 + 5

41 = 40 + 1

39 = 40 – 1

42 = 40 + 2

40*7=280, 3-2-1+5+1-1+2= 7, 280+7=287 [5, 11-13]

3.2. Различные способы умножения и деления.

1.Умножение и деление на 4.Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают. Например, 214*4=(214*2)*2=428*2=856.

Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2. Например:

124:4=(124:2):2=62:2=31

2.Умножение и деление на 5.Чтобы умножить число на 5, нужно его умно-жить на  умножить на 10 и разделить на 2. Например:138*5=(138*10):2=1380:2=690.

Чтобы число разделить на 5, нужно умножить его на 0,2, то есть в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру. Например: 345:5=345*0,2=69,0=69.

3.Умножение на 25.Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на , то есть умножить на 100 и разделить на 4. Например:

348*25=(348*100):4=(34800:2):2=17400:2=8700

4.Умножение на 1,5. Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину. Например: 26*1,5=26+13=39

5. Умножение на 9. Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Например, 249*9=2490-249=2241.

6. Умножение на 11.

1 способ. Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:47*11=470+47=517, 243*11=2430+243=2673

2 способ. Если хочешь умножить число на 11, то поступай так: запиши число, которое нужно умножить на 11, а между цифрами исходного числа вставь сумму этих цифр. Если сумма получается двузначное число, то 1 прибавляем к первой цифре исходного числа. Например: 45*11=495, 87*11=957.

Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.

7.Умножение двузначного числа с суммой цифр, меньшей 10, на 111.

42 • 111 = 4662. Находим сумму цифр данного двузначного числа (4 + 2 = 6). Раздвигая цифры множимого, дважды пишем между ними сумму цифр данного двузначного числа.

8.Умножение трехзначного числа на 11.

236 •11 = 2596

1. Цифру сотен множимого переносим в произведение в качестве цифры

тысяч (2).

2. Цифру десятков множимого складываем с цифрой его сотен (3 + 2 = 5) и

берем эту сумму в качестве сотен произведения.

3. Цифру единиц складываем с цифрой десятков множимого (3 + 6 = 9) и

ставим эту сумму на месте десятков произведения.

4. Берем в качестве единиц произведения единицы множимого (6) Ясно, что этот способ можно применять, если сумма цифр и десятков, а также сумма цифр десятков и единиц меньше 10.

9.Умножение на число, записываемое одними девятками.

247 •999 = 246753

247 •999 = 247 • (1000 – 1) = 247000 –

– 247 = 246999 – 246 = 246753

10.Быстрое возведение в квадрат

Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5: 85 х 85 = 7225
Шаг 1 — Умножаем первую цифру на первую цифру, увеличенную на единицу: 8 x (8 + 1) = 72
Шаг 2 — Дописываем к получившемуся результату 25: 7225

45 x 45 = 2025
Шаг 1 — 4 х (4 + 1) = 20
Шаг 2 — 2025

11.Сложное умножение

Если вам нужно умножать большие числа, причем одно из них — четное, вы можете просто перегруппировать их, чтобы получить ответ:
32×125 все равно, что:
16×250 все равно, что:
8×500 все равно, что:
4×1000 = 4000 [3, 21-23]

3.3.Некоторые математические трюки.

1 х 1 = 1
11 х 11 = 121
111 х 111 = 12321
1111 х 1111 = 1234321
11111 х 11111 = 123454321
111111 х 111111 = 12345654321
1111111 х 1111111 = 1234567654321
11111111 х 11111111 = 123456787654321
111111111 х 111111111 = 12345678987654321

1 х 9 + 2 = 11
12 х 9 + 3 = 111
123 х 9 + 4 = 1111
1234 х 9 + 5 = 11111
12345 х 9 + 6 = 111111
123456 х 9 + 7 = 1111111
1234567 х 9 + 8 = 11111111
12345678 х 9 + 9 = 111111111
123456789 х 9 + 10 = 1111111111

9 х 9 + 7 = 88
98 х 9 + 6 = 888
987 х 9 + 5 = 8888
9876 х 9 + 4 = 88888
98765 х 9 + 3 = 888888
987654 х 9 + 2 = 8888888
9876543 х 9 + 1 = 88888888
98765432 х 9 + 0 = 888888888

1 х 8 + 1 = 9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

Любимая цифра.

Предложите  задумать свою любимую цифру. А теперь выполните умноже-ние (на калькуляторе) числа 15873 на любимую цифру, умноженную на 7. Например, если любимая цифра 5, то умножить нужно на 35. Получится произведение, записанное только любимой цифрой.

Возможен и второй вариант: умножить число 12345679 на любимую цифру, умноженную на 9, в нашем случае это число 45.

Объяснение этого фокуса достаточно простое: если умножить 15873 на 7, то получится 111111, а если умножить 12345679 на 9, то получится 111111111.

Угадать возраст.

Умножаем число своих лет на 10, затем любое однозначное число умножить на 9,  из первого произведения вычесть второе и сообщить полученную разность. В этом числе “фокусник” должен цифру единиц сложить с цифрой десятков – получится число лет. [6]

4. Диагностика устных вычислений учащихся 6 класса.

Практическая часть включает в себя изучение динамики развития вычислительных навыков. Была выдвинута следующая гипотеза: приемы быстрого счета помогают улучшить вычислительные навыки.

Этапы исследования:

1. Изучить известные способы быстрого устного счета;

2. Подобрать материал для тренинга (приложение 1);

3. Провести диагностику;

4. Подвести результаты исследования.

Для диагностики был составлен ряд однотипных упражнений на сложение,

вычитание, деление и умножение, которые нужно было выполнить. Работа велась с разноуровневой группой учеников (8человек).

Диагностика проводилась в несколько этапов:

-Проверка имеющихся навыков счета;

-Изучение способов сложения и вычитания;

- Ознакомление с новыми приемами умножения;

- Изучение способов деления.

Обработка результатов показала:

На «нулевом» этапе решили:

письменно решено – 71% ,время-6мин 30сек.,

После изучения способов облегченных вычислений, во втором контрольном замере: решено – 90% время-6мин 10сек

После непродолжительной тренировки (3занятия), в третьем контрольном замере : решено полностью устно– 98%, время-5мин .

От замера к замеру количество нерешенных заданий уменьшается, а решенных увеличивается, растет и число заданий, выполненных устно. На примере группы учеников 6 класса уверенно прослеживается динамика развития вычислительных навыков устного быстрого счета. Значит, принимаем гипотезу о том, что с помощью приемов быстрого счета можно улучшить вычислительные навыки.

1. Заключение.

Изучив историю развития вычислений, я сделала вывод, что современные способы вычислений намного проще и удобнее, чем были ранее. А знать их необходимо каждому человеку. И научиться вычислять в уме может любой человек. Это наглядно представлено в практической работе. Необходимым условием успешной работы, так или иначе связанной с вычислениями, являя-ется владение культурой счета. Основу культуры счета составляют вычисли-ельные навыки, совершенствование которых возможно только в практичес-кой деятельности. Наработка вычислительных навыков должна быть систе-матической, ежедневной, надо стремиться к тому, чтобы как можно больше освоить “хитрых” приемов. Устный счет развивает механическую память,

быстроту реакции, умение сосредоточиться, а поиски и обоснование новых приемов служат формированию логических умений. Вот так простые устные упражнения на каждом уроке могут развить каждого из нас. Нужно только стараться и усердно работать!

6.Список литературы.

1.Выгодский М.Л. Арифметика и алгебра в древнем мире М. 1967г.

2. Депман И. Истории Арифметики М. 1965г

3. Зайкин М.Н. Математический тренинг. - Москва, 1996.

4. Иванова Т. Устный счёт. // Начальная школа. – 1999, №7. - с.11-14.

5.Липатникова Н.Г. Роль устных упражнений на уроках математики. // Начальная школа. - 1998, №2

http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.html

7.Приложения.

Приложение 1

Задания для тренинга.

Вычисли устно.

1. 67+9

2. 197+8

3. 35+86

4. 384+697

5. 51-8

6. 125-84

7. 62+58+65+54+51+67

8. 132*4

9. 219*5

10. 915*25

11. 137*9

12. 73*11

13. 63*111

14. 221*999

15. 75²

16. 95²

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Занятия с группой учащихся 6 класса.

14

Секреты

быстрого счета

Гипотеза : в старину говорили: «Умножение – мое мученье». Значит раньше было сложно умножать. Просты ли наши современные способы различных вычислений? Цель: изучение различных приемов быстрого счета. Задачи: Изучить историю возникновения счета. Изучить различные приемы быстрого счета. Поделиться данной информацией с одноклассниками. Провести диагностику, в результате которой будет выяснено, улучшилось ли качество устного счета у учеников 6 класса. Сделать определенные выводы.

Сложение и вычитание

• 56+8=56+10-2=64; 65+9=65+10-1=74.
• Сложение в уме двузначных чисел: 34+48=34+50-2=82; 27+31=27+30+1=58.
• Вычитание: 56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

Вычитание числа, меньше 100, из числа, больше 100 : 134-76=58 (34+24=58) 

• 6. Сложение чисел, близких друг к   другу по величине.
• 43 + 38 + 39 + 45 + 41 + 39 + 42 = 287
• 43 = 40 + 3; 38 = 40 – 2; 39 = 40 – 1 ; 45 = 40 + 5;
• 41 = 40 + 1; 39 = 40 – 1; 42 = 40 + 2
• 40*7=280, 3-2-1+5+1-1+2= 7, 280+7=287

Различные способы умножения и деления

Умножение и деление на 4: 214*4=(214*2)*2=428*2=856

124:4=(124:2):2=62:2=31.

Умножение и деление на 5: 138*5=(138*10):2=1380:2=690.

345:5=345*0,2=69,0=69.

Умножение на 25: 348*25=(348*100):4=(34800:2):2=17400:2=8700

Умножение на 1,5: 26*1,5=26+13=39

Умножение на 9: 249*9=2490-249=2241

Умножение на 11: 47*11=470+47=517 или 45*11=495, 87*11=957.

Умножение двузначного числа с суммой цифр, меньшей 10, на 111: 42 • 111 = 4662.

Умножение на число, записываемое одними девятками:

247 •999 = 247000 –– 247 = 246999 – 246 = 246753

Возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5 : 85 х 85 = 7225

Сложное умножение . 32×125 все равно, что: 16×250 все равно, что: 8×500 все равно, что: 4×1000 = 4000 , значит 32×125= 4000

Любимая цифра. задумайте свою любимую цифру. А теперь выполните умножение ( можно на калькуляторе) числа 15873 на любимую цифру, умноженную на 7. Получится произведение, записанное только любимой цифрой.

Угадаю ваш возраст . Умножаем число своих лет на 10, затем любое однозначное число умножить на 9,  из первого произведения вычесть второе и сообщить полученную разность.

Задания для тренинга. Вычисли устно. 67+9 197+8 35+86 384+697 51-8 125-84 62+58+65+54+51+67 132*4 219*5 915*25 137*9 73*11 63*111 221*999 75 2 95 2

Спасибо

за внимание !