Исследовательская работа "Виды решений текстовых задач в школьном курсе математики"

23

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №25 «Гелиос» с углубленным изучением отдельных предметов»

Исследовательская работа

Виды решений текстовых задач в школьном курсе математики

Автор: Колганова Виктория

ученица 8 «Г» класса

Руководитель: Клинцова Е.А.

учитель математики

Находка

2017 год.

Оглавление

Введение........................................................................................................................3

Основная часть...............................................................................................................4

Глава 1.

§1. Историческая сводка…………………………………………………………….…………4

1.1.Из истории математики.............................................................................................4

1. Математические задачи.............................................................................................5

§2.Решения текстовых задач……………………………………………………….…………..6

2.1 Методы решения задач..............................................................................................6

2.2. Процесс решения задач……………………………......................................................9

2.3. Задачи на совместную работу («на бассейны», совместное движение).....................12

2.4. Задачи на движение................................................................................................13

2.5. Задачи на движение по реке...................................................................................15

1. Задачи на смеси......................................................................................................16

2. Задачи на доли и проценты.....................................................................................18

Заключение........................................................................................................................22

Список литературы............................................................................................................23

ВВЕДЕНИЕ

Одним из вопросов методики преподавания математики является вопрос формирования у учащихся умений и навыков решения текстовых задач.

Задачи являются материалом для ознакомления учащихся с новыми понятиями, для развития логического мышления, формирования межпредметных связей Логическая подготовка отличается от технической тем, что хорошая "техника" состоит в овладении стандартными приёмами алгоритмического характера, а логическая - предполагает наличие умений проводить рассуждения. В каждой текстовой задаче алгоритм заранее не известен и поэтому решение идёт путём рассуждений, которые приводят к составлению уравнений или их систем;. Задачи позволяют применять знания, полученные при изучении математики, при решении вопросов, которые возникают в жизни человека. Этапы решения задач являются формами развития мыслительной деятельности.

Всесторонне функции задач, в том числе и текстовых, охарактеризовал Е.С. Ляпин: «Путем решения задач формируются различные математические понятия, осмысливаются различные арифметические операции. Задачи часто служат основой для вывода некоторых теоретических положений. Задачи содействуют обогащению и развитию правильной речи учащихся. Задачи помогают учащимся понять количественные соотношения различных жизненных фактов. Задачи соответствующего содержания содействуют воспитанию учащихся. Особенно важна роль задач как средства развития логического мышления учащихся, их умения устанавливать зависимости между величинами, делать правильные умозаключения."¹

Целью работы является получение прочных навыков решения текстовых задач, изучаемых в рамках школьного курса математики, представленных в материалах Государственной Итоговой Аттестации.

Для достижения цели были поставлены задачи:

• изучить методы решения задач разных классификаций;

• разработать алгоритм решений для каждой классификации;

• составить сборник решений текстовых задач.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

§1. Историческая сводка

1.1 Из истории математики

"Математика (греч. matein - знание, наука) - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Первые понятия о математике появились в Древней Греции в 6-5 веках до нашей эры. Развитие математики до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математических понятий, а 6-5 вв. до н. э. - время появления элементарной математики, продолжавшегося до 16 в. В течение этих двух первых периодов математические исследования стояли на очень ранних ступенях исторического развития в связи с самыми простыми потребностями хозяйственной жизни, сводившимися к счёту предметов, измерению площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчётам, навигации и т. п. Единственной наукой, зародившейся задолго до широкого развития математического изучения явлений природы в 17-18 вв. была астрономия, которая изрядно ускорила раннее развитие тригонометрии. Дальнейшее расширение круга аспектов, изучаемых математикой, привело в начале 19 в. к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математических исследований более подробно и сознательно. Создание Н. И. Лобачевским его "воображаемой геометрии", получившей впоследствии вполне реальные применения, было первым значительным шагом в этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в строение математики столь важные черты, и, следовательно, 19 и 20 вв. принято считать периодом современной математики."²

Итак подведём итог сказанному: счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметических действий(сложение, вычитание, умножение и деление). Потребности измерения количества зерна, длины дороги и т. п. приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметических действий над дробями. Таким образом накапливался материал, складывающийся постепенно в древнейшую математическую науку — арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, существование астрономии, вызывают развитие геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметических и геометрических знаний в Древнем Египте и Вавилоне. В Вавилоне на основе развитой техники арифметических вычислений появились также начала алгебры, а в связи с запросами астрономии - тригонометрия.

1.2 Математические задачи

"Текстовые задачи в математике играют очень важную роль. Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления.

Все математические задачи появились из практического соображения. Ещё в далёком прошлом одним из стимулов изучения математики была потребность зарождающегося строительства и, возникшей вслед за ним, архитектуры. Остановимся на вопросе о классификации задач. Все текстовые математические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий, связанных между собой (независимо от того, будут ли это разные или одинаковые действия), называется составной. Простые задачи в системе обучения математике играют чрезвычайно важную роль. С помощью решения простых задач формируется одно из главных понятий начального курса математики – понятие об арифметических действиях. Умение решать простые задачи является подготовительной ступенью овладения учащимися умением решать составные задачи, так как решение составной задачи сводится к решению ряда простых задач. Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению её на ряд простых задач и к последовательному их решению. Таким образом, для решения составной задачи надо установить систему связей между данными и искомым, в соответствии с которой выбрать, а затем выполнить арифметические действия.

§2.Решения текстовых задач

2.1. Методы решения текстовых задач

Для решения текстовых задач применяются три основных метода: арифметический, алгебраический и комбинированный. Рассмотрим каждый из этих методов.

1. Арифметический метод.

Первым этапом решения задач арифметическим методом является разбор условия задачи и составление плана её решения. Этот этап решения задачи сопровождается максимальной мыслительной деятельностью.

Вторым этапом является решение задачи по составленному плану. Этот этап решения проводится учащимися без особых затруднений и в большинстве случаев носит тренировочный характер.

Третьим важным этапом решения задачи является проверка решения задачи. Она проводится по условию задачи. Пренебрежение проверкой при решении задачи, замена её проверкой ответов снижает роль решения задачи в процессе развития логического мышления учащихся.

При решении текстовых задач арифметическим методом у учащихся вырабатываются определённые умения и навыки, которые в процессе дальнейшего обучения должны совершенствоваться и закрепляться.

Умения и навыки, которые формируются в процессе решения задач только арифметическим методом, можно разбить на две группы. К первой группе относятся умения и навыки, которые необходимы для дальнейшего изучения математики. Все умения и навыки этой группы формируются в процессе решения задач на вычисление времени, т.е. тех задач, которые нет смысла решать алгебраически.

Вторая группа – это те умения и навыки, без знания которых можно решить все текстовые задачи алгебраическим методом, и в дальнейшем их незнание не будет пробелом в математическом образовании учащихся. Эти умения и навыки, несомненно, представляют интерес. Но почти все из них можно отнести к числу умений и навыков, формирующихся у учащихся при решении нестандартных задач. Решение таких задач следует проводить систематически наряду с решением стандартных текстовых задач.

1. Алгебраический метод.

Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения уравнения или системы уравнений, решения неравенства или системы неравенств, составленных по условию задачи. Иногда алгебраическое решение задачи бывает очень сложным.

При решении задач алгебраическим методом основная мыслительная деятельность сосредотачивается на первом этапе решения задачи: на разборе условия задачи и составлении уравнений или неравенств по условию задачи.

Вторым этапом является решение составленного уравнения или системы уравнений, неравенства или системы неравенств.

Третьим важным этапом решения задач является проверка решения задачи, которая проводится по условию задачи.

В связи с внедрением в школьную программу элементов высшей математики, с ускоренным развитием и внедрением во все сферы вычислительной математики большое значение имеет формирование у учащихся не отдельных специфических навыков, а тех умений и навыков, которые имеют дальнейшее приложение. К числу этих умений и навыков относятся умения и навыки, которые формируются в процессе решения задач алгебраическим методом.

1. Геометрический метод.

Решить задачу геометрическим методом — значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур. Одну и ту же задачу можно также решить различными геометрическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения используются различные построения или свойства фигур.

Осуществление плана решения задачи выполняется письменно. Обычно в этом случае описывают и выполняют построение графика или диаграммы. Затем ответы на требование задачи считываются с чертежа (если используется конструктивный прием) или находятся в результате аналитического решения задачи (если используется графико-вычислительный прием).

1. Логический метод.

Решить задачу логическим методом — это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выпол­няя вычислений, а только используя логические рассуждения. При­мерами таких задач могут служить задачи «на переправы», классическим представителем которых является задача о волке, козе и капусте, или задачи «на взвешивание».

1. Практический метод.

Решить задачу практическим методом — значит найти ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами и т.п.).

1. Комбинированный метод.

Иногда в ходе решения задачи применяются несколько методов: алгебраический и арифметический; геометрический, алгебраический и арифметический; арифметический и практический и т.п. Методы решения могут быть разными, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один. Этот метод получается в результате включения в алгебраический метод решения задач решение, в котором часть неизвестных величин определяется с помощью решения уравнения или системы уравнений, неравенств или систем неравенств, а другая часть – арифметическим методом. В этом случае решение текстовых задач значительно упрощается.

Виды задач, решаемых в курсе математики

Практические (реальные)

Математические

Стандартные

Нестандартные

Нахождение (распознавание) искомых

Преобразование или построение

Доказательство или объяснение

1. Процесс решения задачи

Задача

Анализ задачи

Поиск способа решения

План решения Осуществление плана решения Проверка Ответ

Схематическая запись задачи

Анализ

решения

Исследование задачи

Схематизация материала – краткие записи условия задачи в виде таблиц, рисунков, графиков, диаграмм и т.д., причем знаково-символические средства выполняют ориентировочную роль, поскольку дают возможность одновременно видеть все связи между данными.

Применяемая схема должна быть разумно сокращенной и упрощенной по сравнению с реальными явлениями и в то же время наиболее естественной для каждой задачи.

Проиллюстрируем это на следующем примере:

Отрезок АВ на 7 см больше отрезка СД и равен 18 см. Какова длина отрезка СД?

Схема краткой записи № 1	Схема краткой записи № 2
АВ = 18 см на 7см больше СД - ? см	А 18 см В 7 см С Д

При какой краткой записи №2 сразу очевидно решение данной задачи?

При решении задач необходимо научиться мыслить свернутыми формами, не загромождать схему излишними знаками, ненужными подробностями.

Рассмотрим подробнее виды краткой записи.

• Схема краткой записи в виде таблицы:

Прочитав задачу, необходимо ответить на вопросы, постепенно оформляя на черновике краткое условие в виде таблицы:

1. О каком процессе в задаче речь? Какими величинами характеризуется этот процесс? (Их количество определяет число столбиков в будущей таблице)

2. Сколько процессов в задаче? (Их количество равно числу строчек в таблице)

3. Какие величины известны, и что нужно найти? (Таблица заполняется данными задачи и ставится знак вопроса)

4. Как связаны величины в задаче? (Ниже таблицы выписываются формулы и уясняются связи величин в таблице)

5. Какую величину удобно обозначить за Х ? (Анализируется, удобно ли за Х взять величину, о которой спрашивается в задаче, или лучше какую-нибудь другую. А потом остальные неизвестные величины выражают через Х, каждой из них соответствует пустая клетка таблицы)

6. Какое условие нужно использовать для составления уравнения? (Это то условие, которое не использовалось для выражения неизвестных через Х.)

7. Легко ли решать полученное уравнение? (возможно, следует ввести буквенное обозначение Х в другую строчку таблицы и для составления уравнения использовать другую связь между величинами)

Рассмотрим пример составления такой краткой записи:

По плану тракторная бригада должна была вспахать поле за 14 дней. Бригада вспахивала ежедневно на 5 га больше, чем намечалось по плану, и потому закончила пахоту за 12 дней. Сколько гектаров было вспахано? Найдите площадь поля.

1. Речь идет о процессе работы. Он характеризуется тремя величинами:

вся работа (А) – это измеряемая в гектарах площадь поля;	Т.е. для записи величин таблицы нужны три столбика
работа в единицу времени, т.е. производительность труда (N),
время (T) – число дней, затраченное на работу.

2. В задаче упомянуты два процесса работы: по плану и фактический, значит, в таблице будет две строки

3. Остается начертить таблицу и заполнить все ее клетки заданными соотношениями.

4. Через формулу А= N Т и запись Nф = Nп+5 определим связь величин таблицы

1. Какую величину обозначить за х? Если искомую, то необходимо будет решить уравнение вида (1), содержащее дроби. Используя же другую величину, придем к решению линейного уравнения (2). Пусть Nп =х, то Nф = х+5, тогда учитывая, что Ап =Аф (за обоснование составления уравнения возьмем вторую связь), то есть NпТп = NфТф приходим к уравнению: 14х=12(х+5). Но к ответу задачи придем, подставив корень уравнения (2) запись (1)

После данных черновых записей следует записать решение из черновика в тетрадь:

Процессы	Величины
	А (га)		N(га/день)	T(дни)
По плану	Ап-?	одинаковые	Nп -?	14
Фактически	Аф-?		Nф = Nп+5	12
Связи: №1 А= N Т №2 Nф = Nп+5

Решение:

1.Пусть х (га/день) – производительность бригады по плану, тогда (х+5)( га/день) – фактическая производительность бригады. Работа по плану составляет 14х (га), а фактическая работа 12 (х+5) (га). По условию площадь поля в обоих случаях одинакова, поэтому можно составить уравнение 14х=12(х+5), отсюда х=30.

2. 14 ^. 30= 420(га) - Производительность по плану составляет 30 га/день

Ответ: площадь поля равна 420 га.

Примечание: Можно решить и уравнение (1), сделав соответствующие пояснительные записи.

Решение задач с помощью уравнения, т.е. перенос данных задачи на математический язык с использованием замены неизвестных в задаче переменными называется моделированием.

Необходимо отметить некоторые требования при решении задач с помощью уравнения:

В краткой записи необходимо пояснять, какой переменной выражается определенный объект (процесс) задачи, а также указывать при каких значениях эта переменная имеет смысл. Кроме этого, делаются дополнительные записи соответствующих формул, на основании которых связываются величины в задаче.

1. Обязательна запись обоснования для составления уравнения

2. При получении корней уравнения не указывается наименование величин объекта, выраженного переменной. Запись вида х = 2 ч считается ошибочной. Верно: х = 2

3. Необходимо проверить корни уравнения к условиям задачи, выявив посторонние корни.

4. Записать полный ответ на поставленный вопрос задачи

Рассмотрим подробнее вид краткой записи в виде рисунка и пояснения к нему.

• Схема краткой записи в виде рисунка

Очень часто в задаче на нахождение реальных неизвестных используются понятия из геометрии («площадь», «периметр», «прямоугольник» и т.д.).

Прямоугольный газон обнесен изгородью, длина которой 30м. Площадь газона 56 м². Найдите длины сторон газона.

1). Этап рассуждений: схематически условие этой задачи легче всего изобразить в виде рисунка (прямоугольник), а затем, записав необходимые формулы (формулы для нахождения периметра и площади прямоугольника) смоделировать «ситуацию задачи» в виде уравнения.

2). Запись в тетради:

P = 30м S = 56м2 P = 2(a+b) а  = (a+b) b S = ab

Решение: Пусть х м – ширина а изгороди газона, а (15 – х) м – длина b изгороди, т.к. длина смежных сторон газона равна 30:2=15 (м). Известно, что площадь газона 56м2. Составим и решим уравнение: х (15-х)=56 Ответ: Стороны газона 7 м и 8 м.

1. Задачи на совместную работу («на бассейны», совместное движение)

Рассмотрим три стандартные задачи, которые можно решить не только с конкретными числами, но и в общем виде. Это позволит решить целый класс однотипных задач, отличающихся лишь числовыми значениями, а так же составить программы для решения задачи рассматриваемого типа с помощью компьютера.

Задача 1. Через первую трубу бассейн наполняется за 20 ч, через вторую – за 30 ч. За сколько часов бассейн наполнится через обе эти трубы?

Задача 2. Первая бригада может выполнить задание за 20 дней, а вторая – за 30 дней. За сколько дней две бригады выполнят задание, работая вместе?

Задача 3. Первый пешеход может пройти расстояние между селами за 20 мин, а второй – за 30 мин. Однажды пешеходы одновременно отправились навстречу друг другу. Через сколько минут они встретились?

Решение по действиям:

1). 1: 20= 2). 1:30 = 3). += 4). 1: =12

В каждой задаче получится ответ в соответствии с условиями задачи.

Сформулируем «задачу на бассейны» в общем виде:

Задача 4. Весь объем работы при первом условии можно выполнить за а ч или при втором же условии за b ч. За сколько часов можно выполнить всю работу, применяя оба условия?

Решим задачу по действия:

Либо тот же результат можно получить, выразив х из равенства . Х=

Составим программу для решения задачи с помощью компьютера (Microsoft Excel):

	А	В	С	Пояснения: Ячейки А1 и В1 соответственно для значений а и b. В ячейке С1 задаем формулу для вычисления результата =А1*В1/(А1+В1) и моментально получаем ответ задачи. При этом нужно следить, что бы а и b выражались одинаковыми единицами измерения. После введения в ячейки А1 и В1 данных задачи а= 20 и b=30 моментально получим ответ: 12 часов
1	а	b	=А1*В1/(А1+В1)

1. Задачи на движение.

Задачи на движение, как правило представляют собой задачи с использованием объектов, совершающих какое-либо действие. Это могут быть пешеходы, велосипедисты, автомобили, лодки и так далее. Существует 3 вида задач на движение: движение двух объектов навстречу друг другу, движение в противоположных и обратных направлениях, движение из одной точки в одном направлении. Доминирующими понятиями в таких задачах являются скорость(V), время(t) и расстояние(S) и формула, связывающая эти понятия:

S = V * t. Для начала разберём простые задачи, решающиеся в одно действие, для того чтобы закрепить эти понятия. Рассмотрим задачу: "Расстояние от города до поселка 30 км. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти это расстояние со скоростью 6 км/ч?" Эта задача требует изначальные понятия арифметики, такие как деление, и решается в одно действие. Подставив формулу t=S/v получим: 30км / 6км/ч = 5ч. В итоге записываем ответ: Пешеходу потребуется 5 часов. В данной задаче мы находили время. Рассмотрим ещё одну простую задачу нахождения скорости пешехода: "От деревни Ивантреево до села Воронова 20 км. Миша был в пути 4 часа. С какой скоростью перемещался Миша?" Данная задача также простая и решается при подстановке формулы V=S/t: 20 км / 4ч =5км/ч. Миша перемещался со скоростью 5км/ч.

Перейдём к решению составных задач, и для начала рассмотрим задачи движения двух объектов навстречу друг другу: «От пункта А до пункта B 36 км. Первый пешеход вышел из пункта А со скоростью 5 км/ч а второй пешеход из пункта B со скоростью 4 км/ч. Через сколько времени они встретятся?» В этой задаче уже нужно представить картинку и проанализировать свои дальнейшие действия. Первым действием мы находим суммарную скорость пешеходов: 4 км/ч + 5 км/ч = 9 км/ч. Вторым действием мы находим время, формулу времени выражаем из формулы нахождения расстояния: t = S / V. Получаем: 36 км / 9 км/ч = 4 часа. И в итоге записываем ответ: Пешеходы встретятся через 4 часа.

Данные задачи были простые, так как не было введено осложняющих условий, таких как: разное время старта движения объектов; изменение скорости на различных участках пути; задержка на различных участках пути.

Рассмотрим задачу:

Велосипедист подсчитал, что если он поедет со скоростью 6 км/ч, опоздает на 1 час, если поедет со скоростью 9 км/ч, то приедет на 1 час раньше намеченного срока. С какой скоростью нужно ехать велосипедисту, чтобы приехать вовремя?

Сначала рассмотрим арифметическое решение.

Допустим, что выехали два велосипедиста, у первого скорость 6 км/ч, а у второго – 9 км/ч. Тогда:

1). 6^.1= 6 (км) – столько километров не доедет до намеченного места первый велосипедист при скорости 6 км/ч

2). 9^.1= 9 (км) – столько лишних километров проедет второй велосипедист при скорости 6 км/ч

3). 6+9= 15 (км) – расстояние между велосипедистами в назначенное время

4). 9 – 6 = 3 (км/ч) – скорость удаления первого велосипедиста от второго

5). 15:3 = 5 (ч) - время удаления

6). 6^. (5+1) = 36 (км) – расстояние до места назначения

7). 36: 5 = 7,2 (км/ч) – необходимая скорость

Ответ: велосипедисту необходимо ехать со скоростью 7,2 км/ч

Теперь рассмотрим решение этой же задачи с помощью уравнения:

9км/ч 1ч

6 км/ч 1ч

Пусть х ч – намеченное время движения, тогда путь при скорости 6 км/ч равен 6(х+1) км или при скорости 9 км/ч равен 9(х – 1) км. Составим уравнение:

6(х+1) = 9(х – 1)

х = 5

При х = 5 необходимая скорость будет равна 6(5+1):5 = 7,2 (км/ч)

Ответ: велосипедисту необходимо ехать со скоростью 7,2 км/ч

Как видим, арифметическое решение потребовало большей изобретательности. Использование уравнения как математической модели преобразования жизненной ситуации позволяет упростить процесс решения задачи.

Задачи на среднюю скорость движения

Средней скоростью движения на некотором участке пути называют постоянную скорость, с которой можно тот же участок пути пройти за то же время.

Например, если турист шел 3 ч со скоростью 5 км/ч и 2ч со скоростью 4 км/ч, то средняя скорость движения равна (км/ч)

1. Задачи на движение по реке

Задача 1. Катер проходит некоторое расстояние по озеру за 6 ч, по течению реки за 5 ч. Сколько времени потребуется плоту, чтобы пройти такое же расстояние по течению реки?

6 ч V_к

5 ч V_к +V_р

? ч V_р = V_п

Решение: Пусть х км – данное расстояние, тогда км/ч – скорость катера по течению, км/ч скорость катера в стоячей воде. – скорость течения, - потребуется плоту на такое расстояние.

Задача 2 Теплоход от Киева до Херсона идет трое суток, а от Херсона до Киева - 4 суток (без остановок). Сколько времени от Киева до Херсона будут плыть плоты?

V_ст +V_р, 3 суток

V_ст – V_р, 4 суток

Киев Херсон

V_п = V_р ?суток

Решение: пусть расстояние от Киева до Херсона х км, тогда скорость теплохода по течению V_ст +V_р =км/сут, против течения V_ст –V_р = км/сут, где V_ст – собственная скорость теплохода и V_р – скорость реки

1). удвоенная скорость течения

2). - скорость течения

3). - время движения плотов

Ответ: 24 дня.

1. Задачи на смеси

Большой круг ситуаций – смешивание товаров разной цены, жидкостей с различным содержанием соли, кислот разной концентрации, сплавление металлов с различным содержанием некоторого компонента – можно рассмотреть в общем виде.

Первый тип задач

Задача 1. Даны два куска с различным содержанием олова. Первый массой 300г, содержит 20% олова. Второй, массой 200г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный их этих кусков?

кусок №1, р₁

Сплав

р -?

кусок №2, р₂

Решение:

1).- олова до сплавления в двух кусках

2). 200+300=500(г) – масса куска после сплавления

3).олова после сплавления в куске массой 500 г

Задача 2. Задача в общем виде: Найдите процентное содержание олова р в сплаве, полученном из двух кусков массой m₁ и m₂, если известно, что первый содержит р₁%, а второй р₂% олова

Решение: Вычислим массу олова до и после сплавления. Так как это одна и та же величина, то выполняется равенство: m₁ р₁ + m₂ р₂=( m₁+ m₂) р (1)

И выразив р, получим: (2)

В задачах вместо процентного содержания вещества в частях и в смеси (сплаве) может выступать цена единицы массы товара каждого сорта и их смеси.

Второй тип задач

Задача 3. Имеется два куска сплава олова и свинца. Первый, массой 300г, содержит 60% олова. Второй содержит 40% олова. Сколько граммов от второго куска нужно добавить к первому, чтобы получить сплав с содержанием олова 56%?

Кусок №1 т₁=300г р = 60%

Сплав

р = 56%

Кусок №2 т₁= ?г р = 40%

Решение: здесь m₁ =300, р₁ =60, р₂ =40 р=56.

Определить можно из уравнения 330*60+ m₂*40=(300+ m₂ )*56. Откуда m₂ =75 (г)

Сформулируем задачу в общем виде.

Задача 4. Имеется два куска сплава олова и свинца. Первый, массой m₁ г, содержит р₁ % олова. Второй содержит р₂ % олова. Сколько граммов от второго куска нужно добавить к первому, чтобы получить сплав с содержанием олова р %?

Из равенства (1) m₁ р₁ + m₂ р₂=( m₁+ m₂) р выразим m₂ : (3)

Заметим, что чистый металл при добавлении будет иметь р₂=100, а при добавлении сплава не содержащего конкретный металл, р₂ =0

Т

60% т₁ - ?

40% т₁ - ?

45% т= 600г

ретий типа задач

+ =

Задача 5. Имеется два куска сплава олова и свинца, содержащие 60% и 40% олова. По сколько грамм от каждого куска нужно взять, чтобы получить 600 г сплава с содержанием олова 45%?

Решение: Из равенства 0,6m₁ + 0,4m₂ =0,45*600, с учетом, что m₂= 600 – m₁ , получим значение m₁ , а затем и m₂

Ответ: 150г и 450 г

Рассмотрим теперь задачу в общем виде, в которой задана масса нового сплава.

Задача 6. Имеется два куска сплава олова и свинца, содержащие р₁ % и р₂ % олова. По сколько граммов от каждого куска нужно взять, чтобы получить m г сплава с содержанием олова р %?

Решение: Из равенства (1) m₁ р₁ + m₂ р₂=( m₁+ m₂) р с учетом, что m₂= m – m₁ , получим значение m₁ , а затем и m₂

1. Задачи на доли и проценты

Рассмотрим несколько весьма поучительных задач на проценты.

Задача №1 Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, то стал содержать 98% воды. Какова теперь масса арбуза?

Решение: на первый взгляд масса арбуза мало изменилась, но это только на первый взгляд!

Масса сухого вещества составляла 100 – 99 = 1 % или 20^.0,01=0,2 (кг)

После того как арбуз усох, масса сухого вещества составила 100 – 98 = 2% от новой массы арбуза. Найдем эту новую массу: 0,2:0,02= 10 (кг). После того как арбуз усох, его масса уменьшилась вдвое!

Задача №2

Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% сосны. После вырубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса планирует вырубить леспромхоз?

Решение: 1.Пусть х – количество деревьев в лесу и пусть леспромхоз не вырубит не одной сосны, тогда:

х^. 0,01=0,01х – всего других деревьев в сосновом лесу.

0,01х:0,02=0,5х – других деревьев после вырубки

То есть, если леспромхоз не тронет ни одной сосны, то он может вырубить 50% всех деревьев!

2. Пусть леспромхоз начнет рубить и сосны, тогда ему можно будет оставить такое соотношение сосен и других берез, которое даст соотношение 98% к 2%, например 49 сосен и 1 березу!

Как видим, с помощью процентов можно легко ввести в заблуждение человека, если плохо в них разбирается. Поэтому необходимо научиться разбираться в таких видах задач.

Задача №3

Яблоки, содержащие 70% воды, при сушке потеряли 60% своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?

Решение: Используем графический метод решения задач.

Сухое вещество вода 70%

Осталось 40% испарилось 60%

Из 70% воды испарилось 60%, значит, 70 – 60 =10% воды приходится на 30 сухого вещества или на 40 частей всей массы сушеных яблок.

10: 40=0,25=25%

Ответ: 25% воды в сушеных яблоках

Задача №3

В драмкружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков в этом кружке?

Решение:

Способ №1. Пусть мальчиков – 80%,

девочек – 100%

сколько процентов составляет 100% от 80%?

100:80=125%

Способ №2. На 10 девочек приходится 8 мальчиков, значит 10:8=1,25 или 125% от числа мальчиков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа была проделана с целью получения алгоритма решений и прочных навыков решения текстовых задач, изучаемых в рамках школьного курса математики, представленных в материалах Основного Государственного Экзамена.

Основные задачи, которые ставились перед началом работы, были выполнены. Разобраны и проанализированы 5 классификаций текстовых задач базового уровня, разобраны задачи повышенной сложности, которые используются для подготовки к Основному Государственному Экзамену. Также составлен практикум решений текстовых задач по каждой классификации. Была изучена история математики с древнейших времён по наши дни и история появления и развития текстовых задач.

Таким образом, можно сделать вывод, что проделанная работа имеет большое значение для тех, кто собирается успешно сдать ОГЭ и для тех, кому просто интересно углубить свои познания в "решении текстовых задач по математике".

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ляпин С.Е.: Методика преподавания математики. М.; Л., 1952.

2. В.В.Кочагин: Математика. Репетитор; 2006.

3. Ф.Ф.Лисенко: Математика ЕГЭ-2007; 2007.

4. А.В.Морозов: Эффективная методика;

5. Т.А.Корешкова: Математика ЕГЭ-2008. Типовые тестовые задания.

6. В.В.Кочагин: ФИПИ Математика-2008. Реальные варианты.

7. Л.Д.Лаппо, М.А.Попов: ЕГЭ-2007. Практикум.

1 Ляпин С.Е.: Методика преподавания математики c.202

2 Ляпин С.Е.: Методика преподавания математики. стр.10