Итоговая контрольная работа 10 класс (профильный уровень)

ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

 Задание 1 

Решите уравнение 

Задание 2 

При производстве в среднем на каждые 2982 исправных насоса приходится 18 неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.

Задание 3 

В треугольнике ABC AC = BC = 7,   Найдите AB.

Задание 4 

Найдите   если 

Задание 5 

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 10.

Задание 6 

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Задание 7 

Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h километров над замлей, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле   где   (км) — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километра? Ответ выразите в километрах.

Задание 8 

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Задание 9 

На рисунке изображён график функции вида   где числа a, b и c — целые. Найдите 

Задание 10

Найдите наибольшее значение функции   на отрезке 

Задание 11

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Задание 12

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра   SC = 25. M — середина ребра SA.

а) Докажите, что проекции точек S и M на плоскость основания делят высоту AN треугольника ABC на три равные части.

б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой MN.

ОТВЕТЫ

1. Ответ:  −2,5.

2. Ответ: 0,006.

3. Решение. Треугольник АВС равнобедренный, значит, высота СН делит основание АВ пополам. Тогда

Ответ: 8.

1. Решение. Пользуемся периодичностью тангенса и используем формулу приведения:

 

Ответ: −2,5.

1. Решение. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех ее боковых граней:

 

Ответ: 300.

1. Решение.  Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; −9), B (−2; −3), C (−5; −3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB. Поэтому

Ответ: −2.

1. Решение. Задача сводится к решению уравнения   при заданном значении R:

Примечание. Заметим, что полученная величина равна 1,25 метра, т. е. соответствует уровню глаз ребенка.

 

Ответ: 0,00125.

1. Решение. Скорость поезда равна   За 36 секунд поезд проходит мимо придорожного столба расстояние, равное своей длине:

 

Ответ: 800.

1. Решение. График функции имеет горизонтальную асимптоту   значит, 

График функции имеет вертикальную асимптоту   значит, 

По графику   тогда

Таким образом,   Найдём 

Ответ: 10.

1. Решение. Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке   заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

Ответ: 6.

1. Решение. а) Преобразуем уравнение:

 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку   Получим числа     

Ответ: а)   б) 

1. Решение. а) Проекция точки S на плоскость основания это точка O — центр основания. Центр правильного треугольника является точкой пересечения его медиан, поэтому AO : ON = 2 : 1. Проекцией прямой AS на плоскость основания является прямая AN. Поэтому проекция точки M — точка   лежит на отрезке AN. M — середина AS, поэтому   — середина отрезка AO. Таким образом, проекции точек S и M на плоскость основания делят высоту AN треугольника ABC на три равные части.

б) AN — медиана правильного треугольника ABC, значит,   Проекцией прямой MN является прямая AN, следовательно, угол   — искомый.   где O — центр основания, значит,   — средняя линия треугольника ASO поэтому   Тогда   и   Из прямоугольного треугольника   находим:

Из прямоугольного треугольника   находим:

Значит, искомый угол равен ----------------------------------------------------------------------------------

Ответ: 

ИТОГОВАЯ контрольная работа по математике 10 класс

1 вариант

 Задание 1 

Найдите корень уравнения 

Задание 2 

Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

Задание 3 

В треугольнике ABC AC = BC, AB = 8,   Найдите AC.

Задание 4 

Найдите   если   и 

Задание 5 

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Задание 6 

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Задание 7 

Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч ², вычисляется по формуле   Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость не менее 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч².

Задание 8 

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города   Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города   Ответ дайте в км/ч.

Задание 9 

На рисунке изображён график функции вида   где числа a, b и c — целые. Найдите 

Задание 10

Найдите наибольшее значение функции   на отрезке 

Задание 11

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Задание 12

Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC, AB = AC = 5, BC = 8. Высота призмы равна 3. Точка M — середина ребра B₁C₁.

а) Докажите, что плоскость BA₁M перпендикулярна плоскости BCC₁.

б) Найдите угол между прямой A₁B и плоскостью BCC₁.

ИТОГОВАЯ контрольная работа по математике 10 класс

2 вариант

Задание 1 

Найдите корень уравнения 

Задание 2 

В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».

Задание 3 

В треугольнике ABC AC = BC, AB = 9,6,   Найдите AC.

Задание 4 

Найдите   если   и 

Задание 5 

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, а боковое ребро призмы равно 10.

Задание 6 

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

 Задание 7 

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a = 5000 км/ч². Скорость вычисляется по формуле   , где l  — пройденный автомобилем путь в км. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 100 км/ч.

Задание 8 

Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

Задание 9 

На рисунке изображён график функции вида   где числа a, b и c — целые. Найдите 

Задание 10

Найдите наименьшее значение функции   на отрезке 

Задание 11

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 

Задание 12

а) Докажите, что в правильной треугольной пирамиде SABC, где S — вершина пирамиды, прямая SC перпендикулярна прямой AB.

б) Пусть высота SO составляет   от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром.

ИТОГОВАЯ контрольная работа по математике 10 класс

3 вариант

Задание 1 

Решите уравнение 

Задание 2 

В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Задание 3 

В треугольнике ABC AC = BC = 8,   Найдите АВ.

Задание 4 

Найдите   если   и 

Задание 5 

В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы.

Задание 6 

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Задание 7 

Автомобиль массой m кг начинает тормозить и проходит до полной остановки путь S м. Сила трения F (в Н), масса автомобиля m (в кг), время t (в с) и пройденный путь S (в м) связаны соотношением   Определите, сколько секунд заняло торможение, если известно, что сила трения равна 2000 Н, масса автомобиля — 1500 кг, путь — 600 м.

Задание 8 

Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?

Задание 9 

На рисунке изображён график функции вида   где числа a, b и c — целые. Найдите 

Задание 10

Найдите наименьшее значение функции   на отрезке 

Задание 11

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Задание 12

а) Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что все грани тетраэдра ACB₁D₁ — равные треугольники (тетраэдр, обладающий таким свойством, называют равногранным).

б) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AA₁ = 4, A₁D₁ = 6, C₁D₁ = 6, найдите тангенс угла между плоскостью ADD₁ и прямой EF, проходящей через середины ребер AB и B₁C₁.

ИТОГОВАЯ контрольная работа по математике 10 класс

4 вариант

 Задание 1 

Решите уравнение:

Задание 2 

На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

Задание 3 

В треугольнике ABC AC = BC = 5,   Найдите АВ.

 

Задание 4 

Найдите   если   и 

Задание 5 

Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

Задание 6 

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Задание 7 

Гоночный автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч². Скорость   в конце пути вычисляется по формуле   где l — пройденный автомобилем путь в км. Определите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 250 метров, приобрести скорость 60 км/ч. Ответ выразите в км/ч².

Задание 8 

Расстояние между городами A и B равно 470 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города   Ответ дайте в км/ч.

Задание 9 

На рисунке изображён график функции вида   где числа a, b и c — целые. Найдите 

Задание 10

Найдите наименьшее значение функции   на отрезке 

Задание 11

Дано уравнение 

а) Решите уравнение;

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку 

Задание 12

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны AB = 2, AD = AA₁ = 1.

а) Пусть B₁E — высота треугольника BB₁C₁. Докажите, что AE — проекция AB₁ на плоскость ABC₁.

б) Найдите угол между прямой AB₁ и плоскостью ABC₁.

ОТВЕТЫ

Критерии проверки 11 задания

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Критерии проверки 12 задания

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

6-9 баллов «3»

10-12 баллов «4»

13-15 баллов «5»

1 Вариант

Задание 1 

Ответ: 87.

Задание 2 

Ответ: 0,92.

Задание 3 

Ответ: 8.

Задание 4 

Ответ: −10.

Задание 5 

Ответ: 288.

Задание 6 

Решение.  Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB:

 

Ответ: 2.

Задание 7  

Ответ: 5000.

Задание 8  

Ответ: 50.

Задание 9 

Решение. График функции имеет горизонтальную асимптоту   значит, 

График функции имеет вертикальную асимптоту   значит, 

По графику   тогда

Таким образом,   Найдём 

 

 

Ответ: 2,1.

Задание 10 

Ответ: 0.

Задание 11 

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Решение. а) В силу нечетности и периодичности синуса имеем:

Далее имеем:

 

б) При помощи числовой прямой или тригонометрической окружности (см. рис.) для каждой из задающих решения серий отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку 

Находим три решения: 

Ответ:

а) 

б) 

Задание 12

Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC, AB = AC = 5, BC = 8. Высота призмы равна 3. Точка M — середина ребра B₁C₁.

а) Докажите, что плоскость BA₁M перпендикулярна плоскости BCC₁.

б) Найдите угол между прямой A₁B и плоскостью BCC₁.

Решение.  а) Заметим, что   − высота треугольника   Поскольку призма   прямая, то   перпендикулярна плоскости   Поэтому   по признаку перпендикулярности плоскостей.

б) Прямая BM — проекция прямой   на плоскость   Значит, искомый угол равен углу 

Так как     имеем:   

Отсюда   Следовательно, 

 

Ответ: 

2 вариант

Задание 1 

Ответ: 35.

Задание 2 

Ответ: 0,25

Задание 3 

Ответ: 5.

Задание 4 

Ответ: 5.

Задание 5 

Ответ: 248.

Задание 6 

Решение. 

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 4), B (2; 2), С (−6; 2). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ABC. Поэтому

 

Ответ: 0,25.

Задание 7 

Ответ: 1. 

Задание 8  

Ответ: 12.

Задание 9 

Решение. 

График функции имеет горизонтальную асимптоту   значит, 

График функции имеет вертикальную асимптоту   значит, 

По графику   тогда

Таким образом,   Найдём 

 

 

Ответ: −3,625.

Задание 10 

Ответ: −54.

Задание 11 

Решение. 

а) Заметим, что   Поэтому уравнение можно переписать в виде   откуда   Значит, либо   откуда   либо   откуда 

б) Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку 

 

Ответ: а)   б) 

Задание 12

Решение.

а) Пусть проекция точки S на плоскость ABC — точка O. O — центр правильного треугольника ABC, поэтому   а значит, по теореме о трех перпендикулярах, 

б) Пусть   и   Тогда

 

Из треугольника COS находим:

Тогда искомый угол равен 

 

Ответ: 

3 вариант

Задание 1 

Ответ:  −2.

Задание 2 

Ответ: 0,995.

Задание 3 

Ответ: 8.

Задание 4 

Ответ: 0,6.

Задание 5 

Ответ: 10.

Задание 6 

Решение. 

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; −2), B (−2; −5), C (4; −5). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

 

Ответ: −0,5.

Задание 7  

Ответ: 30.

Задание 8  

Ответ: 4.

Задание 9 

Решение. 

 График функции имеет горизонтальную асимптоту   значит, 

График функции имеет вертикальную асимптоту   значит, 

По графику   тогда

Таким образом,   Найдём 

 

 

Ответ: −0,75.

Задание 10 

Ответ: 3.

Задание 11 

Решение. 

а) Запишем уравнение в виде 

Значит, или   откуда   или   откуда   или 

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку   Получим числа: 

Ответ: а)   б) 

Задание 12

Решение.

а) Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда — равные прямоугольники, поэтому их диагонали равны. Таким образом,       Значит, все грани равны по третьему признаку равенства треугольников.

б) Найдем угол между прямой EF и плоскостью BB₁C₁C. Точка B — проекция точки E на эту плоскость. Искомый угол есть       

 

Ответ: 

4 вариант

Задание 1 

Ответ:  −7.

Задание 2 

Ответ: 0,95.

Задание 3 

Ответ: 9,6.

Задание 4 

Ответ: −3.

Задание 5 

Ответ: 12

Задание 6 

Решение. 

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−3; 6), B (−3; 4), C (5; 4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

 

Ответ: −0,25.

Задание 7 

Ответ: 7200.

Задание 8  

Ответ: 70.

Задание 9 

Решение. 

 График функции имеет горизонтальную асимптоту   значит, 

График функции имеет вертикальную асимптоту   значит, 

По графику   тогда

Таким образом,   Найдём 

 

 

Ответ: 2,875.

Задание 10

Ответ: −2.

Задание 11 

Решение. Используем формулу приведения и синуса двойного угла:

б) С помощью единичной окружности отберём корни на отрезке   Находим:     

Ответ: а)   б)     

 

Задание 12

Решение.

а) Плоскости   и   перпендикулярны. Перпендикуляр из точки   к плоскости   лежит в плоскости   и пересекает прямую   в точке   Поэтому AE − проекция   на плоскость 

 

б) По предыдущему пункту искомый угол равен углу   В прямоугольном треугольнике   катет   гипотенуза   Поэтому

Тогда 

Ответ: 

 

Примечание.

Возможны другие формы ответа: