Измерение расстояний

МОУ СОШ с. Покровка Бековского района Пензенской области

Измерение

расстояний разными способами.

Выполнили:

Артемова Ирина Игоревна

ученица 10 класса МОУ СОШ

с.Покровка Бековского района

Пензенской области

Руководитель: учитель математики

Пантелеева Марина Николаевна

Покровка, 2015

Содержание

Введение	2-3
1 Историческая справка	4
2 Современные приборы измерения недоступных расстояний.	5
3 Описание экспериментов по измерению недоступных точек	8
3.1.Измерение здания с помощью фотографии	8
3.2.Способ, в котором используется подсчёт количества ступенек	8
3.3.Способ, в основе которого лежит измерение равноускоренного движения свободно падающего тела.	8
3.4.Способ определения расстояния с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника	9
4 Расчет абсолютной и относительной погрешностей	11
5 Заключение	12
6 Список литературы	14

Введение

В школьном курсе геометрии мы проходили темы: « Нахождения расстояния до недоступной точки», «Измерительные работы на местности», знакомились с измерительными инструментами. При этом использовали метод нахождения расстояния с помощью подобных треугольников, метод соотношения сторон и углов в прямоугольном треугольнике, метод с использованием теоремы синусов и косинусов и теоремы Пифагора, но при этом надо точно измерять углы на местности, что без специальных приборов вызывает затруднение. Можно, конечно, измерить расстояние и с помощью современных измерительных приборов. Но для использования таких приборов требуется определенная подготовка и наличие самих приборов. Возникает вопрос можно ли измерить, например, высоту объекта другими способами, без использования таких приборов, а так же вопрос - насколько они точны. Кроме этого - я решила познакомиться со старинными и современными, способами измерения расстояний.

Каждый день мы входим в здание школы и не всегда можем ответить на вопросы: когда построено здание, какова его высота и размеры. Так у меня и появился объект для исследования.

Цель работы:

Научиться применять математические и физические идеи и методы к решению практических задач, возникающих при измерениях на местности.

Задачи исследования:

• Изучить ключевые определения и теоремы школьного курса геометрии

• Определить более точный метод измерения объекта без специальных измерительных приборов, путем подсчёта погрешности

• Учиться конструированию простейших измерительных приборов, использованию их для практической деятельности;

• Познакомиться с приборами, позволяющими измерять большие расстояния

• Знакомство и обработка литературных материалов, данных из интернета, проведение опытов.

Объект исследования: Здание школы

Считаю выбранную мной тему очень интересной и полезной, так как решение поставленной задачи позволит мне увидеть применение геометрии и физики в жизни. У меня появится опыт измерения расстояний до недоступных точек без каких-либо сложных технических устройств.

Для выполнения работы, я наметила следующий план:

1. Получить копию проекта здания школы.

2. Познакомится с историей возникновения расстояний на местности

3. Ознакомиться с современными приборами, которые позволяют измерить недоступные расстояния.

4. Определить способы измерения недоступной высоты.

5. Выполнить необходимые расчёты.

6. Выполнить расчёты по определению погрешностей.

7. Сделать выводы.

1. Историческая справка

Наука, которая занимается измерением расстояний, называется геодезия - это одна и древнейших наук. Она возникла и развивалась, исходя из практических запросов человека. Геодезические работы по разделу земной поверхности на геометрически правильные участки, с определением их площади, производились в Египте, Китае и других странах за много столетий до н.э. За 6 веков до н.э. в долине реки Нила существовали оросительные системы, строительство которых невозможно без выполнения геодезических работ (нивелировка, трассировка).

С развитием землеустроительных и градостроительных работ, накопивший- ся опыт геодезических измерений перешел в Древнюю Грецию, где геодези ческие знания сформировались в науку, получившую название "Геодезия", что в переводе с греческого означает: “Землеразделение” (Землеизмерение)

Этот период можно считать началом современной топографии и бурного развития картографии. Топография появилась ещё до появления письменности в первобытном обществе.

Развитию и совершенствованию методов геодезических работ способствовали научные достижения в области математики, физики и инструментальной техники.

Древние ученые занимались также измерением высот предметов.

Легенда рассказывает о том, что Фалес, будучи в Египте, поразил фараона Амасиса тем, что сумел точно установить высоту пирамиды, дождавшись момента, когда длина тени палки становится равной её высоте, и тогда измерил длину тени пирамиды. Фалес определял высоту пирамиды, помещая в конечной точке отбрасываемой ей тени вертикальный шест и показывая с помощью образующихся при этом двух треугольников, что тень пирамиды относится к тени шеста, как сама пирамида к шесту. Решение задачи оказывается, таким образом, основанным на учении о подобии треугольников.

Так же Фалес научился определять расстояние от берега до корабля, для чего использовал подобие треугольников. В основе этого способа лежит теорема, названная впоследствии теоремой Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают равные отрезки на одной его стороне, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

  Большое развитие геодезических работ в России началось в эпоху Петра 1 (В 1688г юный Пётр узнал об инструменте, с помощью которого можно было измерять расстояния до недоступных предметов не приближаясь к ним. По его указанию теодолит был доставлен из Франции. В 1701 году Петром I основана "Школа математических и навигаторских наук" - первое учебное заведение в России для подготовки специалистов военно-морского флота, судостроителей, геодезистов, инженеров, учителей, и т.д.

1. Современные приборы измерения недоступных расстояний.

В школьных условиях наиболее удобным прибором для измерения длин отрезков прямых на местности является рулетка: она дает вполне удовлетворительную точность, достаточно прочна и удобна для употребления. В сельском хозяйстве для измерения длин отрезков прямых с небольшой точностью применяется полевой „циркуль". В народе его называют сажень. (приложение № 1 )

В практике измерений недоступных точек чаще всего используются приборы:

Дальномер

Дальномер.(приложение № 2 ) используют как в геодезии на съёмках для ускорения работы в технических случаях, когда расстояние не требуется знать весьма то что, так и в военном деле при стрельбе, когда непосредственное измерение расстояния до неприятеля обыкновенно невозможно.

В геодезии употребляется исключительно дальномеры, основанные на геометрическом начале определения высоты равнобедренного треугольника по данному основанию и противолежащему углу.

В наше время используют ультразвуковые и лазерные дальномеры.

Ультразвуковой дальномер применяют для измерения расстояний между объектами внутри помещений. С помощью нажатия на клавишу прибор производит вычисление длины.

Лазерный дальномер предназначен для измерения расстояний от 4 до 400 метров.

Колесо дорожное измерительное (полевой курвиметр)

Колесо дорожное измерительное (приложение № 3 ) предназначено для быстрого и качественного обмера периметра территории, а так же измерения криволинейных расстояний, где нецелесообразно или невозможно использование дальномеров и рулеток. Курвиметр изготовляют с круговыми и прямолинейными шкалами. Курвиметр каждого типа выпускаются в двух исполнениях: с неподвижным циферблатом и подвижной стрелкой или индексом; с подвижным циферблатом и неподвижным индексом. Для измерения длины линии колесико Курвиметра прокатывают по этой линии. Измеряемое Курвиметром расстояние за один оборот соответствует длине шкалы в 100 см . Погрешность измерения отрезка прямой линии длиной не менее 50 см - не более 0,25 см

Теодолит

Теодолит. (приложение № 4 ) – геодезический прибор для определения направлений и измерения горизонтальных и вертикальных углов. Теодолит применяется в геодезических работах, в строительстве и т. п. Основной рабочей мерой в теодолите служат горизонтальный и вертикальный круги с градусными, минутными и секундными делениями.

До середины 20 века применяли теодолиты с металлическими кругами. В 20-х годах появились теодолиты с кругами из стекла, снабженные оптическими отсчетными устройствами и получившие наименование оптических. В 90-х годах 20 века появились электронные теодолиты, позволяющие исключать ошибки снятия отсчета (значения углов выводятся на дисплей прибора), а также способные регистрировать измерения в карте памяти прибора, т.е. вести автоматизацию измерений. До конца 20 века теодолит считался основным прибором геодезиста, но в настоящее время более актуален электронный тахеометр, способный выполнять гораздо больше функций, их автоматизировать и сохранять измерения.

Существуют специализированные теодолиты  астрономические,

маркшейдерские – для работ в шахтах, гироскопические – для определения направления меридиана и др.

Тахометр

Тахометр. (приложение № 5 ) Электронный прибор-тахометр, используется в геодезии для измерения расстояний, углов применяется при топографической съемке местности для вычисления высот, точек местности и координат проектных точек. Электронные тахометры позволяют выполнять широкий спектр задач.

В том числе определение недоступных расстояний и высот. В электронных тахометрах дистанции определяются по времени прохождения луча лазера до отражающего устройства и обратно.

В своей работе я предлагаю измерить высоту недоступного объекта-здания школы, следующими способами:

1. С помощью фотографии.

2. Способ, в котором используется подсчёт количества ступенек.

3. Способ, в основе которого лежит измерение расстояний при равноускоренном движении.

4. С помощью прибора, который представляет собой равнобедренный треугольник.

2 Описание экспериментов по измерению недоступных точек

1 Измерение здания с помощью фотографии

Оборудование: фотоаппарат, линейка.

Ход работы:

1. Я попросила свою подругу сфотографировать меня на фоне

здания школы.

1. Распечатать фотографию.

2. Измерила свой рост и высоту школы на фотографии.

4 Записала измерения в таблицу:

Мой рост	Мой рост на фото	Высота школы на фото
163 см.	4,9 см.	19,8 см

Пусть Х см. высота здания.

Составим пропорцию:

1,6 : 163 = 6,5 : Х

Х = (163 ∙ 6,5) : 1,6 = 662

Ответ:6 метров 62 сантиметра

1. Способ, в котором используется подсчёт количества ступенек.

Оборудование: линейка.

Ход работы:

1. Сосчитать количество ступенек крыльца, лестницы с первого на второй этаж.

2. Измерить с помощью линейки высоту одной ступеньки на крыльце и на всех этажах.

3. Измерить высоту от пола до потолка в комнате на 2-ом этаже.

4. Записать измерения в таблицу:

Мои измерения	крыльцо	лестница	Высота от пола второго этажа до потолка
Кол-во ступенек	8	20	-
Высота одной ступеньки	14	14	-
Определение расстояния	112	280	298

1. Определить высоту школы по формуле:

H = h₁n₁ + h₂n₂ + h₃

Н=14 ∙ 8+14 ∙ 20+298 = 690

Ответ:6 метров 90 сантиметров

3 Способ, в основе которого лежит измерение равноускоренного движения свободно падающего тела.

Оборудование: Камень, секундомер, рулетка.

Теоретическая основа

Тела в данном месте земли падают с одинаковым ускорением, которое называется ускорением свободного падения g =9,8 м/ с. Высота при свободном падении определяется по формуле:

H =gt²/2

Ход работы:

1 Из открытого окна, с верхней его точки бросают камень.

2 Я фиксирую с секундомером в руках время падения камня.

3 Для точности опыт повторяется 3 раза.

4 Делаю расчеты по формуле

5 Определяю среднее значение

6 Записываю ответ с учетом расстояния от окна до потолка

Расчеты	Опыт 1	Опыт 2	Опыт 3
Время падения	1,1	1,15	1,12
Расчет высоты по формуле	6,05	6,61	6,3
Расстояние от верха рамы до потолка	60	60	60
Высота школы	6,65	7,21	6,9
Среднее значение	6,92

Ответ: среднее значение 6 метров 92 сантиметра

4 Способ определения расстояния с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника.

Оборудование: рулетка, равнобедренный прямоугольный треугольник.

Ход работы:

Для определения расстояния этим способом, я изготовила равнобедренный прямоугольный треугольник. Для точности измерений прикрепила нитку с грузом в верхней части треугольника

1. Для измерения высоты школы, надо держать прибор так, чтобы один из катетов треугольника был направлен на здание школы

2. Для точности измерения держать прибор так, чтобы груз висел вдоль линии, проведенной параллельно катету треугольника

3. Найти такое место, чтобы крыша здания лежала на продолжении гипотенузы, так как это видит глаз.

4. Для определения расстояния построим чертеж (приложение № 7 )

Треугольник АВС- прямоугольный, равнобедренный. Располагаю этот треугольник перед глазами так, что крыша школы ( точка м) была видна на продолжении стороны АВ. Таким образом треугольник АКМ также является равнобедренным и прямоугольным. Измеряю расстояние АК=КМ с помощью рулетки и расстояния от земли до глаза АД. Определяю общую высоту школы МР=КР+КМ

АС = СВ = 35 см АД = 163 см = КР АК = КМ = 518 см

МР = 163 +518 =681 см Ответ: 6 метров 81 см

1. Расчет абсолютной и относительной погрешностей

Значения, полученных в ходе проведенных экспериментов неизбежно носят приближенный характер, так как на каждом этапе вносятся неточности т.е. погрешности. Это связанно, например, с недостаточно точными измерениями. У меня возник вопрос – на сколько точно проведены вычисления и насколько точно проведены эксперименты ? Какой способ является самым лучшим , то есть дает наименьшую погрешность.

Определение:

Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности точного и приближенного значений

Δ=׀ А точное- А приближенное׀

Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения

δ=Δ/Аточное ٠100%

Измерение здания с помощью фотографии

Точное значение	Экспериментальное значение	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
640 см	662 см	22 см	3,4

Способ, в котором используется подсчет ступенек

Точное значение	Экспериментальное значение	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
640см	690 см	50 см	7,8 %

Способ, в основе которого лежит измерение расстояний при равноускоренном движении

Точное значение	Экспериментальное значение	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
640 см	692 см	52 см	8,1 %

Способ с помощью треугольника

Точное значение	Экспериментальное значение	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
640 см	681 см	41 см	6,4 %

сравнительная таблица погрешностей

Измерение здания с помощью фотографии	Способ, в котором используется подсчет ступенек	Способ, в основе которого лежит измерение расстояний при равноускоренном движении	Способ с помощью треугольника
3,4 %	7,8 %	8,1 %	6,4 %

Вывод

Из таблицы видно, что в моих исследованиях наиболее точным является способ определения высоты здания с помощью фотографии, так как абсолютная и относительная погрешности наименьшие.

4 Заключение

Стать настоящим геометром или физиком очень трудно. Но каждому человеку научившемуся считать и писать неоднократно приходилось что – либо измерять. При этом не всегда мы имеем под рукой специальные измерительные приборы. Хорошо бы каждому из нас научиться применять знания не только на уроках, но и в случае необходимости использовать их на практике.

Практические работы по измерению недоступных точек обогатили меня новыми знаниями по геометрии , математике и физике, развили интерес к изучению этих предметов.

В ходе работы я поняла, что физика , геометрия и математика не просто школьные науки, а науки, которые находят применение в повседневной жизни. В ходе выполнения работы я исследовала различные способы измерения на местности и применила их на практике. Думаю, что полученные навыки могу пригодиться мне в жизни

Таким образом, поставленные задачи выполнены, и цель работы

достигнута.

Литература

1. 
   Атанасян Л.С. Геометрия М «Просвещение»,с.23,с. 73, с.133-149, 2009

2. 
   Власова И.Н., Малых А. Е.Очерки по истории эле­ментарной геометрии. (Материалы для спецкурса по геометрии.) - Пермь, 1998.

3. 
   Глейзер Г.И. История математики в школе. Москва, 1983.

4. 
   Перельман Я.И. Геометрия на вольном воздухе М Астрель с.1-94,2007

5. 
   Перышкин А.В.Учебник физики 8 класс- М.: Дрофа, 2010.

6. 
   Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / глав. ред. М.Д Аксёнов. - М.: Аванта + , 2002

Приложения

Приложение № 1

Приложение № 2

Приложение № 3

Приложение № 4

Приложение № 5

Приложение № 6

Приложение № 7

АС = СВ = 35 см

АД = 163 см = КР

АК = КМ = 518 см

МР = 163 +518 =681 см

Приложение № 8