Изучение темы "Тождества и тождественные преобразования в средней школе"

Изучение темы «Тождества и тождественные преобразования» в средней школе

Линия тождественных преобразований является одной из основных разделов содержательных линий школьного курса алгебры. Она изучается в течении всего курса математики, начиная с начальных классов. В данном пункте будут рассмотрены виды тождественных преобразований многочленов.

Основы тождественных преобразований закладываются еще в начальной школе (законы арифметических действий). Углубленно эти вопросы изучаются в курсе алгебры, начиная с седьмого класса.

На уроках математики, в пропедевтическом курсе, начинают отрабатываться навыки тождественных преобразований, такие как:

а) приведение подобных слагаемых;

б) раскрытие и заключение в скобки;

в) вынесение за скобки общего множителя.

Преобразования такого рода продолжают применять на уроках алгебры в 7-м классе при изучении темы «Многочлены». Учащиеся выполняют преобразования на основе законов и свойств арифметических действий:

• a + b = b + a - переместительный закон сложения;

• (a +b) + c = a + (b + c) - сочетательный закон сложения;

• a • b = b • a - переместительный закон умножения;

• a • (b •c) = (a •b) • c - сочетательный закон умножения;

• (a +b) • c = ac + bc - распределительный закон умножения относительно сложения;

• (a - b) • c = ac - bc - распределительный закон умножения относительно сложения.

Рис. 1. Виды тождественных преобразований многочленов

Рассмотрим тождественные преобразования многочленов более подробно.

Приведение подобных слагаемых. Слагаемые, которые содержат одинаковую буквенную часть, называются подобными слагаемыми. А такую процедуру называют приведением подобных слагаемых.

Например, 6a³b³ — 5a — la + 3b³ — 2a³b³ — 2b² = 4a³b³ — 12a + b³.

Разложение многочлена на множители:

1.Вынесение общего множителя за скобки. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, он и будет общим числовым множителем. Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показателей степени. Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и степеней, найденных на втором шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Пример: Разложить на множители многочлен — х⁴у³ — 2х³у² + 5х².

Решение:

1. Наибольший общий делитель модулей коэффициентов — 1, — 2 и 5 равен 1.

2. Переменная x входит во все члены многочлена с показателями 4, 3, 2, следовательно, можно вынести за скобки x². Переменная у входит не во все члены многочлена, значит, ее нельзя вынести за скобки.

3. За скобки можно вынести x², но в данном случае целесообразнее вынести за скобки - x². Получим:

- x⁴ у³ - 2x³ у² + 5x² =-x²(x² у³ + 2xy² - 5).

1. Способ группировки. Члены многочлена можно группировать так, как нам хочется. Иногда удается такая группировка, что в каждой группе после вынесения общих множителей в скобках остается один и тот же многочлен, который, в свою очередь, может быть вынесен за скобки как общий множитель. Тогда говорят, что разложение многочлена осуществлено способом группировки.

Пример: Разложить на множители многочлен xy - 6 + 3у - 2у.

-первый способ группировки: xy - 6 + 3у - 2у =(xy - 6) + (3x - 2у). Группировка неудачна, потому что нельзя привести подобные слагаемые.

-второй способ группировки:

xy - 6 + 3у - 2у =(xy - 2у) + (-6 + 3x) = у(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(у + 3) .

Ответ: xy - 6 + 3у - 2у =(x - 2)(у + 3).

-третий способ группировки:

xy - 6 + 3у - 2у =(xy - 2у) + (-6 + 3x) = у(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(у + 3) .

2.Применение формул сокращенного умножения. «Мастерство» владением этим способом состоит в том, чтобы заменить в выражении одну из формул сокращенного умножения.

Пример: Разложить на множители: а) 64x² - 9 ; б) 125a³ - 8b³. Решение: а) К данному выражению можно применить формулу

разности квадратов: 64x² - 9 = (8x)² - 3² = (8x - 3)(8x + 3).

б) В данном примере воспользуемся формулой разности кубов:

125а³ - 8b³ = (5a)³ - (2b)³ = (5a - 2b)((5a)² + 5a • 2b + (2b)²) = (5a - 2b)(25a² + 10ab + 4b²).

Приведение многочлена к стандартному виду. Если в многочлене все члены записаны в стандартном виде и приведены подобные члены, то говорят, что многочлен приведен к стандартному виду.

Таким образом, можно сделать вывод что тема «Многочлены. Арифметические операции над многочленами» является одной из важнейших тем алгебры. Изучение темы начинается с введения понятий многочлена, стандартного вида многочлена, степени многочлена. Основное место в этой теме занимают арифметические действия с многочленами - сложение, вычитание и умножение. Она является основой для изучения формул сокращенного умножения, преобразования выражений и др. Особое внимание в этой теме уделяется разложению многочленов на множители с помощью способа группировки, вынесения общего множителя за скобки и использованию формул сокращенного умножения. Соответствующие преобразования находят широкое применение как в курсе алгебры седьмого класса, так и в последующих курсах математики. Эта тема широко представлена на государственной итоговой аттестации (ОГЭ) школьников.

Разработала учитель математики МОУ Нижнетимерсянской сш Авасева Н.Н.