К вопросу об оценки сложности задач

К вопросу об оценке сложности математических задач

Цель обучения математике – целостное развитие личности ученика. Она предполагает усвоение определенного гумманитарно ориентированного содержания, в частности, познавательных средств, и формирование положительных качеств мышления. Формирование умений решать и составлять задачи влечет за собой развитие мышления (и логического, и интуитивного) и целостное развитие личности, всех психических процессов (воли, эмоций, памяти и т.п.).

Умение решать задачи – показатель облученности и развития учащихся. Научить решать математические задачи очень важно, т.к. зная подходы к решению задач, учащиеся тем самым обучаются взаимодействию с любой задачей, которых достаточно много в других школьных предметах и жизни вообще. Тем самым формируется жизненная позиция ученика как активной, самостоятельной личности.

В обучении математике задачи выступают как цель и средство обучения. Этим определяется их место.

Важной целью задач является развитие мышление школьников. Задачи служат также основными дидактическими целями: формируют системы знаний, умений и навыков решения различных типов задач, творческое мышление учащихся; способствуют развитию интеллекта, мировоззрения, нравственных качеств, выполняют познавательную и поисковую роль в обучении. Задачи и процессы их решения являются их основой реализации целей обучения, воспитания и развития.

Школьная математическая задача, как и любая задача, несет на себе две информации: субъективную и объективную. Если объективная информация, заключенная в задаче, определяется ее внутренней структурой, то субъективная – ее информационной структурой, т.е. внешним строением задачи.

Внешнее строение задачи определяет степень проблемности задачи. Для выявления степени проблемности задачи возможны два подхода. Первый подход состоит в том, что степень проблемности задачи определяется числом неизвестных компонентов информационной структуры задачи. Второй подход основан на установлении соотношения между воспроизводящей и творческой деятельностью учащихся при решении математических задач.

Внутренняя структура задачи определяет стратегию решения задачи и ее сложность.

Наиболее распространенной точкой зрения на сложность является такая, что сложность – сумма частей (элементов). И.В.Новик отмечает: «Сложность, прежде всего, характеризуется как сложность элементов». Он различает две модификации сложности: аддитивная сложность (когда свойства совокупности сводятся к сумме свойств элементов) и неаддитивная сложность (когда свойства совокупности не сводятся к сумме свойств элементов).

В.Оконь связывает понятие сложности задачи с необходимостью ее расчленения решающим на более простые подзадачи, а трудность задачи – с необходимостью для решающего актуализировать определенную часть имеющего опыта и одновременно изобрести нечто новое (идею, метод, способ), позволяющий данную задачу решить.

Для некоторых исследований характерна оценка трудности задачи в зависимости от ее сложности. Так, К.С.Богушевский пишет: «Сложная задача та, которая требует для решения разбиения на ряд простых задач, решаемых непосредственно; трудная задача – сложная задача, процесс разбиения которой на простые неочевиден».

В психолого-педагогической литературе можно найти и другие попытки охарактеризовать понятие сложности и трудности задачи.

А.М.Столяр, анализируя природу трудностей, возникающих при решении задачи, разделяет их на два основных вида: а) трудности, связанные с незнанием конкретного теоретического материала или неумением его применять; б) трудности, связанные с неумением осуществлять необходимую в процессе решения задачи аналитеко - синтетическую деятельность. Указывая на тесную связь решения задачи и его структуры, А.М.Столяр предполагает использовать для описания структуры граф – схемы, с помощью которых характеризуется, трудность той или иной задачи. В понимании А.М.Сохора трудность представляется как субъективное отношение к сложности; в этом смысле и для узкого класса задач (текстовых алгебраических, решаемых методом уравнений) это подход приводит к определенным позитивным результатам.

Трудность задачи есть психолого-дидактическая категория, и представляет собой совокупность многих субъективных фактов, зависящих от особенностей личности, таких как степень ее новизны, интеллектуальные возможности учащегося, его потребности и интересы, опыт решения задач, уровень владения интеллектуальными и практическими умениями и др. Однако основными компонентами трудности задачи как объекта являются уровень ее проблемности и сложность.

В теории и методике обучения математике установлено, что, решая задачи, предъявленные в определенной системе, учащиеся активно овладевают содержанием курса математики и приобретают умения творчески мыслить. Однако успех во многом зависит от того, насколько совершенна предлагаемая учащимся система задач при изучении того или иного раздела школьного курса математики.

В связи с этим возникла проблема дифференцирования или ранжирования задач, той или иной системы, по степени возрастания их сложности и трудности. Полезно располагать задачи в порядке возрастания их сложности, подбирать равноценные варианты при составлении задач, определять последовательность в методике обучения решению задач и обучения через задачи. Сложность и трудность задач и составляющая их систематизация позволяет осуществлять научно – обоснованный подход при дифференциации обучения математике.

Рассмотрим пример определения сложности уравнения.

Решите уравнение:

Для данного уравнения имеем:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Поиск решения данного уравнения позволяет установить следующее:

1. действия 1, 2, 4 и 6 – тождественные преобразования;

2. действия 3, 5, и 7 – равносильные преобразования;

3. равносильные преобразования порождают тождественные преобразования, т.е. переходы от второго тождественного преобразования (действие 2) к четвертому (действие 4) и от него к шестому тождественному преобразованию (действие 6) невозможны без соответствующих равносильных преобразований. Следовательно, равносильные преобразования выполняют роль связей порождения;

4. тождественные преобразования не нарушают равносильности уравнений, следовательно, уравнения, полученные в результате этих преобразований, можно принять в качестве элементов внутренней структуры исходного уравнения. Внутреннюю структуру задачи называют структурой.

Обозначим кружочками элементы данного уравнения и соединим отрезками прямой только те элементы, которые непосредственно следуют друг за другом (их не разделяют равносильные преобразования), - это явные связи в структуре уравнения. Элементы структуры уравнения, которые разделены равносильными преобразованиями, являются изолированными.

Поэтому связи между ними называют неявными или связями порождения. Следовательно, в структуре задачи имеют место два вида связей: явные и неявные.

Рассмотренное уравнение имеет следующую структуру:

1 2 4 6

Зная структуру уравнения, можно определить его сложность как объективную характеристику, независимую от мнения субъекта. Сложность задачи может быть определена по формуле S=m+n+l, где m – число элементов, n – число явных связей и l – число видов связей в структуре задачи. Число l принимает только три значения: l=0; 1; 2, а именно l=0, когда структура задачи состоит из одного элемента (т.е. явные и неявные связи не имеют места); l=1, когда в структуре задачи имеют место либо одни явные, либо одни неявные связи; l=2, когда в структуре задачи есть явные и неявные связи, т.е. два вида связей.