Характеристика методов решения комбинированных уравнений.

Характеристика методов решения комбинированных уравнений.

Комбинированные уравнения и неравенства – это уравнения и неравенства, которые содержат комбинацию нескольких функций.

В школьном курсе математики зачастую используются свойства изучаемых функций при решении уравнений и, наоборот, применяются уравнения при исследовании функций. Тесная взаимосвязь понятия функции с понятием уравнения очевидна и может быть плодотворно использована при изучении свойств этих понятий.

В основном в учебной литературе выделяются следующие виды комбинированных уравнений: а) содержащие композицию функций; б) содержащих равенство функций, одна из которых алгебраическая, другая трансцендентная; в) содержащих комбинации первых двух видов. В большинстве случаев эти виды уравнений решаются функционально-графическим методом.

Дадим характеристику функционально-графического метода решения комбинированных уравнений и опишем возможности его использования в процессе обучения учащихся общеобразовательных учреждений, для этого выделим деятельностные и гносеологические компоненты указанного метода.

Функционально-графический метод решения уравнений и неравенств – это метод, основанный на использовании свойств функций и (или) их графических иллюстраций.

Анализ и обобщение математических и методических фактов, представленных в работах учебного, учебно-методического и научного плана, анализ процесса решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом, дали основание сделать следующее заключение.

1. Гносеологический компонент функционально-графического метода составляют знания:

1) о том, как решать отдельные виды уравнений и их конструкций алгебраическими методами;

2) о том, как выполнять операции над функциями;

3) о построении графиков различных элементарных функций, в том числе с применением компьютерных технологий;

4) о свойствах функций и их применении при решении уравнений;

5) о возможности решения уравнения и неравенства с помощью основных теорем равносильности или на базе использования свойств функций.

2. Деятельностную составляющую функционально-графического метода образуют следующие действия:

1) выполнение операций, адекватных приемам решения уравнений и неравенств алгебраическими методами. Считаем, что учащиеся овладели всеми приемами решения уравнений алгебраическими методами на занятиях по алгебре и элементарной математике.

2) выполнение операций над функциями и нахождение суперпозиции функций;

3) построение графиков и эскизов графиков функций, в том числе с применением компьютерных технологий.

4) определение структуры уравнения: выяснение, из каких функций и каким образом оно составлено;

5) выделение свойств, присущих функциям, входящим в уравнение (ограниченность, монотонность, четность, нечетность и т.д.), то есть исследование функции;

6) решение уравнений с применением отдельных свойств элементарных функций;

7) составление уравнений, решаемых функционально-графическим методом;

8) решение уравнений повышенной сложности с выбором методов решения уравнений.

Целями обучения студентов функционально-графическому методу решения уравнений являются:

1) усвоение математических знаний, умений и навыков;

2) развитие логического, абстрактного, аналитического и творческого мышления;

3) воспитание настойчивости в преодолении трудностей, потребности в поиске путей выхода из нестандартных ситуаций, самостоятельности в поиске решения задачи;

4) формирование готовности к профессиональному самообразованию;

5) овладение компьютерными технологиями;

6) обеспечение математического развития личности учащегося.

Реализация возможностей усвоения учащимися функционально-графического метода связана с решением двух задач. Первая состоит в том, чтобы добиться понимания студентами сути метода и овладения действиями по его применению (деятельностные компоненты). Вторая задача заключается в обучении применению функционально-графического метода для решения уравнений (в процессе ее решения происходит и дальнейшее усвоение деятельностных компонентов, и раскрытие объективной стороны, гносеологической основы метода).

Решение этих задач предполагает обязательное выделение в процессе формирования функционально-графического метода следующих этапов:

1. Подготовительный этап. На данном этапе происходит формирование следующих действий, реализующих функционально-графический метод решения уравнений:

а) выполнение операций над функциями и нахождение суперпозиции функций;

б) построение графиков функций, в том числе с применением компьютерных технологий.

Здесь же осуществляется систематизация, обобщение, расширение и углубление знаний и умений учащихся по тематическим блокам «Числовые функции и их свойства», «Построение графиков функций различными способами», «Решение уравнений и неравенств алгебраическим методом», выделенным на основе анализа действий, составляющих функционально-графический метод.

2. Этап решения уравнений с применением отдельных свойств функций. На данном этапе учащимися решаются задачи, являющиеся составной частью уравнений повышенной сложности - специальные уравнения на применение отдельных свойств функций (области определения, ограниченности, монотонности, выпуклости (вогнутости), четности (нечетности), периодичности).

На втором этапе происходит формирование следующих действий, входящих в состав функционально-графического метода решения уравнений:

а) определение структуры уравнения: выяснение, из каких функций и каким образом они составлены;

б) выделение свойств, присущих функциям, входящим в уравнение (ограниченность, монотонность, четность, нечетность и т.д.), то есть исследование функции;

в) решение уравнения применением отдельных свойств элементарных функций.

Овладение функционально-графическим методом решения уравнений осуществляется путем обучения учащихся отдельным действиям и системе действий в целом, адекватной данному методу.