Классические задачи древности

«КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ»

Исключительное значение математике приписывала школа Платона .

Платон и его школа позволяли для решения геометрических задач на построение пользоваться только циркулем и линейкой Такое требование привело к появлению в геометрии так называемых «невозможных задач», т.е. задач которые невозможно решить только указанными инструментами. Эти задачи древности стали знаменитыми потому, что в течении 2000 лет усилия многих математиков были направлены на их решение.

Школа Платона породила три классические «невозможные» задачи на построение: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга.

Б ыло доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой.

Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки.

Задача о трисекции угла

Задача о квадратуре круга

Задача об удвоении куба

1.Задача о трисекции угла

(деление угла на три равные части).

2.Задача о квадратуре круга (построение квадрата, площадь которого равнялась бы площади данного круга).

3.Задача об удвоении куба (построение куба, объем которого был бы вдвое больше объема данного куба).

S 2

S 1

S 1 =S 2

V 2

V 1

V 2 =2V 1

Задача о трисекции угла

Успешное решение этой задачи дало толчок к постановке более общей задачи – о делении любого угла на три равные части. Задача эта была поставлена еще в V в. До н. э. и получила название у древних Греков задачи о трисекции угла .

За её решение брались многие из лучших греческих математиков, но так и не решили. Однако если не ограничиваться указанными инструментами, то ее можно решить. В частности, в процессе отыскания таких решений был открыт целый ряд в высшей степени важных и интересных кривых.

Решение задачи о трисекции угла греческим математиком НИКОМЕДОМ

Пусть AOB данный угол. Из т. К, принадлежащей стороне ОВ, на сторону ОА опускаем перпендикуляр KL и дополним треугольник OKL до прямоугольника О DKL . Пусть луч ON пересекает KL и DN , продолжение DK , соответственно в т. M, N . Если Р- середина MN, то MP=PN=KP=OK. Следовательно MN=2OK. Таким образом, направление луча, отсекающего от данного угла его третью часть, мы найдем, если нам удастся построить на продолжении DK точку N так, чтобы MN=2OK На этом пункте и останавливалось все решение.

B

K

N

D

1

1

2

P

M

4

3

A

Z

O

НИКОМЕД довел решение задачи до конца с помощью кривой, названной им КОНХОИДОЙ.

Решение задачи о трисекции угла греческим математиком АРХИМЕДОМ

Решение Архимеда основано на лемме:

Если в окружности из точки, лежащей вне её, проведены две секущие – одна через центр, а другая так, что внешний её отрезок равен радиусу окружности, то угол между секущими измеряется третьей частью большей из дуг, заключенных между его сторонами.

A

C

M

D

B

O

Дан угол АОВ. Опишем произвольным R=OA=OB окружность с ц. в вершине угла. Если удастся построить на окружности т. С, так чтобы MC=R , т. M,C,A принадлежали одной прямой, то на основании леммы задача была бы решена. Но решение только при помощи циркуля и линейки не находилось. Поэтому Архимед построил т. С, а значит и решил задачу при помощи линейки на которой была нанесена длина радиуса проведённой окружности.

Знаменитые геометрические задачи древности

Отсюда следует так называемый способ «вставки» для деления на три равные части угла AOE . Описав окружность с центром O и  радиусом  и , проводим диаметр . Линейку CB на которой нанесена длина  радиуса r (например,  помощью двух штрихов), прикладываем и двигаем так, чтобы её точка C скользила по продолжению диаметра , а сома линейка всё время проходила бы через точку A окружности, пока точка B линейки не окажется на окружности. Тогда угол BCF и будет искомой третьей частью угла AOE . Как видно, в этом приёме используется вставка отрезка CB между продолжением диаметра EF и окружностью так, чтобы продолжение отрезка CB прошло через заданную точку A окружности. В указанном выше построении применяется, помимо циркуля, не просто линейка как инструмент для проведения прямых, а линейки с  делениями, которая даёт длину определённого отрезка.

При решении этой задачи Архимед также открыл кривую, которая названа «Спиралью Архимеда»

Дано круглое поле диаметром 9 мер. Каково содержание его поверхности?

Задача о квадратуре круга.

Вопрос о квадратуре круга древними египтянами был решен опытным путем. Они предполагали, что круг и квадрат со стороной, равной диаметру, египтяне покрывали сплошным слоем семян в один ряд. Простой подсчет числа семян на каждой из этих фигур сразу убеждал, что на площади квадрата семян больше. Постепенно уменьшая сторону квадрата и повторяя опыт с семенами, они пришли к выводу, что число зерен на площади квадрата будет совпадать с числом зерен круга только когда сторона квадрата равна 8/9 длины диаметра.

текст задачи из папируса Ахмеса

Задача о квадратуре круга

Были найдены и другие пути определения квадратуры круга: кроме циркуля и линейки использовали другие инструменты или специально построенные кривые.

Так, в V в. до н.э. греческий математик Гиппий из Элиды изобрел кривую, впоследствии получившую название квадратрисы Динострата.

Многие греческие математики

Анаксагор,

Дейнострат,

Антифон,

Бризон,

Гиппократ и др. стремились решить эту задачу.

11/15/16

Задача о квадратуре круга

История нахождения квадратуры круга длилась четыре тысячелетия, а сам термин стал синонимом неразрешимых задач. Как следует из подобия кругов, отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается буквой π . Таким образом, длина окружности круга радиуса r равна а так как площадь круга равна S = 2π r , то задача о квадратуре круга сводится к задаче построения треугольника с основанием 2π r и высотой r. Для него потом уже без труда может быть построен равновеликий квадрат.

d

r

r

O

Задача о квадратуре круга

C

Пусть ABCD - квадрат. Сторона АВ равномерно вращается около т.А, и её конец В описывает дугу BD . Одновременно с началом вращения АВ начинает перемещаться вниз сторона ВС. Когда радиус АВ совместится со стороной AD, BC также совместится с ней. Геометрическое место указанных точек пересечения и есть квадратриса ВЕ Её основное свойство:

где l – длина дуги BFD

B

Mk

M3

M2

M1

D

E

A

Один из современников Сократа – софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом:

«впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцати угольник и т.д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольётся с окружностью. Но так как можно построить квадрат равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать».

Квадратурой круга занимался также самый знаменитый геометр V в. до н.э. – Гиппократ Хиосский. У многих занимавшихся этой задачей возникало сомнение, возможно ли вообще построить прямолинейную фигуру, равновеликую криволинейной. Эта возможность была доказана Гиппократом, построившим лунообразные фигуры, известных под названием «гиппократовых луночек». В полукруг с диаметром ВС вписан равнобедренный прямоугольный треугольник BAC. На ВС и АВ, как на диаметрах, описываются полуокружности.

Удвоение куба

а х

x 3 = 2 a3, или x = Задача является естественным обобщением аналогичной задачей об удвоении квадрата, которая решается просто: стороной квадрата, площадь которого равна 2 а 2, служит отрезок длиной а , т.е. диагональ данного квадрата со стороной а . Наоборот удвоение куба, объём которого равен 2 а 3, т.е. отрезок х , равный , не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Однако это было доказано лишь в первой половине XIX в.

удвоении куба

На острове Делос (в Эгейском море) распространялась эпидемия чумы. Когда жители острова обратились к оракулу за советом, как избавится от чумы, они получили ответ: «Удвойте жертвенник храма Аполлона». Сначала они считали, что задача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза больше ребра старого жертвенника. Делосцы не знали, что таким образом они увеличили объём куба не в 2 раза, а в 8 раз. Чума ещё больше усилилась, и в ответ на вторичное обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше изучайте геометрию…» Согласно другой легенде, бог приписал удвоение жертвенникам не потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а потому, что хотел упрекнуть греков, «которые не думают о математике и не дорожат геометрией».

Гиппократ Хиосский, знаменитый геометр V в. до н. э., свёл удвоение куба к построению «двух средних пропорциональных» х и у для данных отрезков а и b, т. е. к решению уравнений .

a : x =x : y = y : b ( при b=2a получаем x=a). Эту идею удалось реализовать Платону около 340 г. до н. э. с помощью нетрадиционных чертёжных инструментов — двух прямых углов. Менехм примерно в .350 г. до н. э. решал задачу об удвоении куба, используя конические сечения — кривые, по которым плоскости пересекают конус. Свои решения дали также крупнейшие древнегреческие математики Евдокс, Эратосфен, Аполлоний, Герон, Папп и др.

Итак, все старания решить три знаменитые задачи  при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течении столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет неверно. При попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи.

Древность завещала решение всех трёх задач нашим временам.