| Краткая запись в тетрадь | Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит системы счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Алфавит системы счисления – это множество всех символов (знаков), используемых для записи чисел в данной системе счисления.
Все системы счисления делятся на 2 большие группы: позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от её положения в числе, а в непозиционных – не зависит.
Непозиционные системы счисления. Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствует о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков: зарубок, черточек, точек.
Такая система записи чисел называется единичной, так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст или используя для этого счетные палочки. Древнеегипетская система счисления выглядела так: (335) Египтяне записывали - это были сотни, - десятки, - единицы, вот так они группировали. В Вавилонской 60- ричной системе счисления единицу обозначали - , десятку - . Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить римская система счисления, которая начала применяться более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V(раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для числа 10, а для обозначения чисел 100,500 и 1000 используются латинские буквы C,D и M. | 1 | I | | 5 | V | | 10 | X | | 100 | C | | 500 | D | | 1000 | M |
В римской системе счисления количественное значение цифры не зависит от её положения в числе. Например, в римском числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину – число 10, три раза по 10 в сумме дают 30.
Чтобы записать число в римской системе счисления, необходимо разложить его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом: XXVIII = 10+10+5+1+1+1 (два десятка, пяток, три единицы).
При записи чисел в римской системе счисления применяется правило: каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него, в остальных случаях знаки складываются. Например, римское число IX обозначает 9 (-1+10), а XI обозначает 11 (10+1). Число 99 имеет следующее представление в римской системе счисления: XCIX=-10+100-1+10 Но эта система имеет ряд недостатков: Какие? Как вы думаете? -большой набор алфавита -нет отрицательных и дробных чисел
Позиционные системы счисления. Первая позиционная система счисления была придумана еще в древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, т. е в ней использовалось шестьдесят цифр. Интересно, что до сих пор при изменении времени мы используем основание 60(в 1 минуте содержится 60 секунд, в 1 часе-60 минут)
В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы часто употребляем дюжину 9число 120: в сутках 2 дюжины часов, число месяцев в году.
Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание. Основание системы равно количеству цифр (знаков) в её алфавите.
В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от её позиции в числе. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряды числа возрастают справа налево, от младших разрядов к старшим, причем значения одинаковых цифр, стоящих в соседних разрядах числа, различаются на величину основания.
А теперь давайте начертим и заполним таблицу, которая будет называться «Позиционные системы счисления».
| Система счисления | Основание | Алфавит цифр | | Десятичная | 10 | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 | | Двоичная | 2 | 0,1 | | Восьмеричная | 8 | 0,1,2,3,4,5,6,7 | | Шестнадцатеричная | 16 | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F |
В настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная и двоичная. Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных так называемых арабских цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Алфавит двоичной системы содержит две цифры (0,1)
В шестнадцатеричной системе основание равно 16 и алфавит состоит из шестнадцати цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F) причем первые десять цифр имеют общепринятое обозначение, а для записи остальных цифр (10,11,12,13,14,15) используются первые шесть букв латинского алфавита.
В десятичной системе счисления цифра в крайней справа позиции обозначает единицы, цифра, смещенная на одну позицию влево, обозначает десятки, еде левее - сотни, затем тысячи и т.д
Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555.
Итак число 555 представлено для нас в привычной для нас свернутой форме. Давайте запишем его в развернутой форме. 55510=5*100+5*10+5*1 Заменим число 100,10,1 на 10 в какой-то степени. А как можно представить 1? По формуле а0=1 55510=5*102+5*101+5*100
Число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания, в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Числа в двоичной системе счисления в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.
Например, число 101 в развернутой форме выглядит следующим образом: 101=1*22+0*21+1*20
В информатике широко используется восьмеричная и шк0естнадцатеричная системы счисления. В восьмеричной системе основание равно 8 и алфавит состоит из восьми цифр (0,1,2,3,4,5,6,7)
Запишем восьмеричное число 77 в свернутой и развернутой формах и переведем его в десятичную систему счисления: 778=7*81+7*80=6310
В шестнадцатеричной системе основание равно 16 и алфавит состоит из шестнадцати цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F).
Запишем шестнадцатеричное число в свернутой и развернутой формах и переведем его в десятичную систему счисления: 1А16=1*161+10*160=16+10=2610 |
Делает краткие записи в тетради |
|
Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Алфавит системы счисления – это множество всех символов (знаков), используемых для записи чисел в данной системе счисления.
2 большие группы: позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от её положения в числе, а в непозиционных – не зависит.
Таблица
Основание системы равно количеству цифр (знаков) в её алфавите.
Разряд – позиция цифры в числе
Таблица
Примеры
Число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания, в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа. |
3 543
13 309 
