Кодирование чисел

Кодирование чисел

ПОНЯТЬ

Кодирование непрерывных сигналов – звука и изображений – требует выполнения трёх операций: преобразования к дискретному виду, квантования (выбор числа уровней измерения) и оцифровки (представление полученных в результате измерений числовых величин в двоичном коде).

Таким образом, представление чисел в двоичном коде требуется при кодировании текста (номер символа в таблице кодировки), изображений (координаты точки, код цвета), звука (величина амплитуды в каждый конкретный момент времени).

Но двоичное представление чисел важно и само по себе, поскольку компьютер – это всё же вычислительная машина.

Важное замечание. Если при двоичном кодировании текста, графики, звука выбор кода должен обеспечивать только то, чтобы разным объектам соответствовали разные кодовые последовательности нулей и единиц, то кодирование чисел должно быть таким, чтобы над закодированными числами можно было выполнять все арифметические операции и быть уверенными в правильности результата. То есть целесообразно выбирать такой способ кодирования, который хорошо известен в математике и доказал свою состоятельность.

В истории человечества числа представлялись различными способами.

Немного истории.

Древнейшие известные цифры – вавилонские клинописные знаки (2-е тысячелетие до н.э.) и египетская иероглифическая нумерация (2,5 – 3 тысяч лет до н.э.).

(????)

В древнем Риме цифрами служили некоторые буквы латинского алфавита I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). Все числа составлялись из этих цифр, причём их значения просто складывались за одним исключением: если младшая цифра стояла слева от старшей, то её значение вычиталось. Отрицательные числа и ноль не использовались.

На Руси до 18 века цифрами тоже служили 27 букв славянского алфавита. Чтобы отличить цифры от букв, ставился специальный значок – титло . Цифры писались слева направо в порядке убывания десятичных разрядов. Только при записи чисел от 11 до 19 единицы ставились прежде десятка. Для обозначения тысяч перед числом слева внизу ставился особый знак . Для обозначения больших чисел существовали две системы: «малое число» и «великое число». В последнем случае можно было обозначить числа до 10⁵⁰ – «боле сего несть человеческому уму разумевати».

Рис. Обозначение славянских цифр

Широкое развитие и успехи математики начались после распространения десятичной позиционной системы счисления, в которой в качестве алфавита использовались индийские цифры. Впервые правила выполнения арифметических операций над такими числами разработал среднеазиатский математик и астроном аль-Хорезми (787 – ок. 850 гг). Его работы в 12 веке были переведены с арабского на латинский язык, и именно по ним в Европе познакомились с позиционной системой счисления. Имя аль-Хорезми (латинизированное Algorithmi) вошло в математику сначала как обозначение арифметики с помощью индийских (арабских) чисел, а затем как общее название – алгоритм – всякой системы вычислений, выполняемой по строго определенным правилам.

Система счисления – совокупность правил записи чисел и операций над ними.

Пример

Числа 123 и 321 состоят из одних и тех же цифр. Вес цифры «3» в первом числе равен трём единицам, а во втором числе трём сотням.

Римские числа XIX и ХXI тоже состоят из одинаковых цифр, но в обоих случаях цифра «I» имеет один и тот же вес.

Позиционная система счисления отличается от непозиционной тем, что «вес» каждой цифры в числе зависит не только от её собственного значения, но и от положения (позиции) в записи числа.

Выведем общую формулу числа в позиционной системе счисления.

Пример

Запись 5352,5 мы понимаем как 5 тысяч 3 сотни 5 десятков 2 единицы и 5 десятых долей единицы. Иначе это можно записать так: 51000 + 3100 + 510 + 21 + 5 или как 510³ + 310² + 510¹ + 210⁰ + 510^-1.

В примере число представлено в десятичной системе счисления. Десятичной она называется потому, что для записи чисел используется десять цифр: 0, 1, 2,…, 9, а также потому, что один более старший разряд состоит из десяти единиц предыдущего разряда (в одной тысяче 10 сотен, в одной сотне – 10 десятков и т.д.). Но ведь можно договориться использовать только восемь (0..7), или пять (0..4), или шестнадцать (0..9, A, B, C, D, E, F) или всего две цифры (0, 1). Тогда и следующий разряд будет состоять из восьми, пяти, шестнадцати или двух единиц предыдущего разряда.

Пример

1101,1₂ = 12³ + 12² + 02¹ +12⁰ +12^-1. «Вес» каждого следующего разряда в 2 раза больше предыдущего.

502,7₈ = 58² +08¹ +28⁰ + 78^-1. «Вес» каждого следующего разряда в 8 раз больше предыдущего.

5А2,С₁₆ = 516² + 1016¹ + 216⁰ + 1216^-1. «Вес» каждого следующего разряда в 16 раз больше предыдущего.

Общая формула числа в системе счисления с основанием b и цифрами а₀, а₁ и т.д. такова:

A_b = a_nbⁿ + … + a₂b² + a₁b¹ + a₀b⁰ + a_-1b^-1 + …

Здесь b – основание системы счисления, которое означает, что:

1. алфавит для записи чисел состоит из b цифр;

2. каждый разряд числа состоит из b единиц предыдущего разряда.

Числа … bⁿ,… , b², b¹, b⁰, b^-1…, то есть целые степени основания системы счисления называются базисом системы счисления.

Пример

Базис десятичной системы счисления: …, 1000, 100, 10, 1, , ,…
Базис двоичной системы счисления: …, 8, 4, 2, 1, , ,…

Базис восьмеричной системы счисления: …, 512, 64, 8, 1, , ,…

Знание общей формулы числа и базиса соответствующей системы счисления позволяет переводить числа из одной системы счисления в другую.

Правило 1. Чтобы перевести число N из системы счисления с основанием b в десятичную, надо расписать N по общей формуле числа в позиционной системе счисления и вычислить результат умножений и сложений.

Пример

1011,1₂ = 12³ + 12² + 02¹ +12⁰ +12^-1 = 18+ 14+02+11+10.5=13,5₁₀

502,7₈ = 58² +08¹ +28⁰ + 78^-1 = 564+08+21+7 = 322,875₁₀

5А2,С₁₆ = 516² + 1016¹ + 216⁰ + 1216^-1 = 1280 + 160 + 2 + 0,75 = 1442,75

Правило 2. Чтобы перевести десятичное число M в систему счисления с основанием b нужно разложить М по базису этой системы счисления. Коэффициенты при степенях b и будут цифрами искомого числа.

Пример

Переведём десятичное М=139 в двоичную, пятеричную и восьмеричную системы счисления.

139₁₀ = 128 + 8 + 2 + 1 = 12⁷ + 02⁶ +02⁵ +02⁴ +12³ + 02² +12¹ +12⁰ = 10001011₂

139₁₀ = 1125 + 25 + 41 = 15³ + 05² + 25¹ + 45⁰ = 1024₅

139₁₀ = 264 + 18 + 31 = 213₈

ЗНАТЬ

При двоичном кодировании чисел важно выбрать такой код, который бы позволял выполнять все арифметические операции над закодированными числами и получать при этом правильный результат.

При кодировании чисел в компьютере используется двоичная позиционная система счисления.

Система счисления – совокупность правил записи чисел.

В позиционной системе счисления вес каждой цифры определяется её значением и положением (позицией, разрядом) в числе.

Основание системы счисления – это:

- количество единиц младшего разряда, составляющих одну единицу более старшего разряда;

- количество цифр, используемых для записи числа.

Базис системы счисления – это числа, являющиеся целыми степенями основания системы счисления.

В двоичной системе счисления используется алфавит {0, 1}, основание равно 2. Базисом двоичной системы счисления являются числа (в десятичной записи) …, 16, 8, 4, 2, 1, , ,… или иначе …, 2⁴, 2³, 2², 2¹, 2⁰, 2^-1, 2^-2,…

Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную можно, если записать формулу этого числа в позиционной системе счисления с основанием 2 и выполнить арифметические операции.

Перевести число из десятичной системы счисления в двоичную можно, если разложить его по базису двоичной системы счисления. Коэффициенты при степенях двойки в полученном разложении будут цифрами искомого числа.

УМЕТЬ

Составьте и запишите в тетрадь таблицу степеней двойки от 0 до 24.

С помощью программы Калькулятор переведите десятичные числа от 0 до 20 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Оформите в виде таблицы в тетради.

Проанализируйте таблицу, полученную в результате выполнения задания 2. Получился ли бы тот же самый результат, если бы коды чисел были построены в соответствии с универсальным способом кодирования.

Примечание. Для того чтобы коды чисел имели одинаковую длину можно дописать в старшие разряды незначащие нули.

С помощью программы Калькулятор переведите числа в десятичную систему счисления:

а) 101₂; б) 101101₂; в) 11101₂;

г) 101₁₆; д) А4₁₆; е) 5F0₁₆;

Пользуясь следующими разрядными схемами переведите:

а) числа 100₂, 101101₂, 137₈, 2ВА₁₆ в десятичную систему счисления;

б) числа 20₁₀, 32₁₀, 115₁₀ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

«Магазин 1000 мелочей», «Сказки 1001 ночи», «101 долматинец» - эти названия хорошо всем известны. О каких количествах объектов в них говориться, если считать, что числа представлены в двоичной системе счисления?

1111 1010₂ = 372₈ = 250₁₀ = FA₁₆.

Всегда ли будет правильным утверждение: «для одного и то же числа, чем больше основание системы счисления, тем меньше цифр будет в записи числа»?

Рассмотрите несколько чисел в славянской нумерации

Запишите числа 15, 256, 2006 славянскими цифрами, если правила построения чисел были таковы:

1. чтобы цифры отличались от текста над ними рисовался знак титло (над каждой буквой или только над первой или над всем числом);

2. цифры записываются слева направо по убыванию. Исключение составляют числа от 11 до 19, которые пишутся, как произносятся, то есть сначала меньшая цифра, а потом обозначение числа 10. Например, двенадцать - два на дцать, т.е. два на десять, сначала пишется 2, затем 10;

3. для обозначения тысяч перед буквой ставился знак .

4. были специальные обозначения для чисел, больших 1000.