Комбинаторные задачи. Правило умножения.

Тема урока : « Комбинаторные задачи. Правило умножения»

Предмет: алгебра

Класс: 9

Титульный лист

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛИ:

1) Сформировать умение проводить самоконтроль знания алгоритма решения комбинаторных задач правилом умножения и умения его применять.

2) Тренировать в применении правила умножения при решении комбинаторных задач.

ЭТАЛОН

Перестановками без повторений из n элементов по n называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только порядком расположения элементов .

P n = n∙ ( n-1 ) ∙(n-2) ∙… ∙2 ∙1

ЭТАЛОН

Алгоритм решения комбинаторных задач правилом умножения:

- Внимательно прочитать условие задачи.

- Выяснить, является ли эта задача комбинаторной задачей без повторения.

- Если «да», то необходимо определить количество объектов, принимающих участие в перестановках.

- Записать произведение всех чисел в порядке убывания, начиная с наибольшего определенного вами на предыдущем шаге.

- Если «нет», то это правило не работает.

СПИСОК ВОЗМОЖНЫХ ЗАТРУДНЕНИЙ И ИХ ПРИЧИНЫ

ЗАТРУДНЕНИЯ

ПРИЧИНЫ

Выяснить является ли задача с повторением или нет

Не внимательно прочитал условие.

Незнание определения перестановки без повторения

Неправильно определено количество объектов, участвующих в перестановках

Непонимание сути задачи

Получил неправильный ответ

а) вычислительная ошибка;

б) умножение на 0;

в) плохое знание формулы.

АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Задача. Имеется девять различных книг, четыре из которых - учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке? Расставить книги так, чтобы все учебники стояли рядом, не меняя их порядка?

Является ли данная задача комбинаторной?

Определите количество объектов, участвующих в перестановках.

Будет ли отличаться количество объектов, участвующих в перестановках во втором случае?

Какую формулу будем использовать в каждом из случаев?

РЕШЕНИЕ:

Количество объектов равно девяти:

9 · 8 ·7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 362880

Учебники рассматриваются как один объект. Количество объектов станет равно шести:

6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

Рассуждаем так: будем рассматривать учебники как одну книгу . Тогда на полке надо расставить

не девять , а шесть книг. Это можно 6! способами. Учебники тоже можно менять местами. Это можно сделать 4! способами. Значит, число способов расположения книг на полке равно произведению 6! на 4!.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА№1 .

5040

1 . В автомашине 7 мест. Сколькими способами семья из 7 человек разместиться в машине?

2. В автомашине 7 мест. Сколькими способами члены семьи разместятся в машине, если за руль садится отец?

3. В автомашине 7 мест. Сколькими способами члены семьи разместятся в машине, если оба родителя сидят рядом, не меняясь местами?

4. В автомашине 7 мест. Сколькими способами разместятся члены семьи, если папа – водитель, а мама сидит рядом?

720

720

120

ЭТАЛОН ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ № 1

Задача 1. Данная задача комбинаторная, без повторений.

В ней 7 объектов.

7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040

• Алгоритм решения комбинаторных задач правилом умножения.
• Формула перестановки без повторений

Задача 2. Задача с повторением, отец не участвует в перестановках (он водитель). Количество объектов уменьшилось на 1.

Стало 6 объектов.

6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

P n = n∙ ( n-1 ) ∙(n-2) ∙… ∙2 ∙1

Задача 3. Задача с повторением, родители сидят вместе и рассматриваются как один объект перестановок. Количество объектов уменьшилось на 1.

Стало 6 объектов.

6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

Задача 4. Задача с повторением. Родители не участвуют в перестановках. Количество объектов уменьшилось на 2.

Стало 5 объектов.

5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

ЗАДАЧИ ДЛЯ ТРЕНИНГА

1. Современные пятиборцы участвуют в соревнованиях по пяти видам спорта: кросс на лошадях, фехтование, бег, плавание и стрельба. Сколько существует вариантов прохождения видов соревнований?

2. Современные пятиборцы участвуют в соревнованиях по пяти видам спорта: кросс на лошадях, фехтование, бег, плавание и стрельба .Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования, если известно, что последним видом должен быть бег?

3. Современные пятиборцы участвуют в соревнованиях по пяти видам спорта: кросс на лошадях, фехтование, бег, плавание и стрельба Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования, если плавание и стрельба следуют друг за другом?

4. Современные пятиборцы участвуют в соревнованиях по пяти видам спорта: кросс на лошадях, фехтование, бег, плавание и стрельба Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования, если известно, что последним видом должен быть бег, а если первым видом будет плавание?

Задача:

Сколькими способами Петю, Васю, Галю, Свету и Марину можно посадить так, чтобы Петя был в середине?

24

Задача:

Сколькими способами Петя, Вася, Галя, Света и Марина могут сесть так, чтобы Галя и Марина были рядом?

24·2=48

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 2

1. В расписании 6 уроков на четверг: русский язык, литература, алгебра, география, физика, история. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?

2. В расписании 6 уроков на четверг: русский язык, литература, алгебра, география, физика, история. Сколькими способами можно составить расписание, чтобы история стояла последней?

3. В расписании 6 уроков на четверг: русский язык, литература, алгебра, география, физика, история. Сколькими способами можно составить расписание из этих же 6 предметов, если русский язык и литература должны стоять вместе, не меняя их местами?

4. В расписании 6 уроков на четверг: русский язык, литература, алгебра, география, физика, история. Сколькими способами можно составить расписание , если физика стоит первой, а география последней?

ЭТАЛОН ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ №2

Задача 1. Данная задача комбинаторная, без повторений.

В ней 6 объектов.

6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

• Алгоритм решения комбинаторных задач правилом умножения.
• Формула перестановки без повторений

Задача 2. Задача с повторением, история не участвует в перестановках (он а последняя). Количество объектов уменьшилось на 1.

Стало 5 объектов.

5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

P n = n∙ ( n-1 ) ∙(n-2) ∙… ∙2 ∙1

Задача 3. Задача с повторением, два предмета стоят вместе и рассматриваются как один объект перестановок. Количество объектов уменьшилось на 1.

Стало 5 объектов.

5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

Задача 4. Задача с повторением. Два предмета не участвуют в перестановках. Количество объектов уменьшилось на 2.

Стало 4 объекта

4 · 3 · 2 · 1 = 24

РЕФЛЕКСИЯ.

• Какая была цель урока?
• Те, кто допускал ошибки, при выполнении заданий, какая перед вами стояла цель?
• Кто из вас достиг цели?

Используя таблицу результатов, проанализируйте свою деятельность.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ