Комплекс уравнений с параметрами

Автор: Терджанян А.А.

Комплекс уравнений с параметрами

Задача 1 (алгебраическое уравнение с параметром). Определить, при каких значениях параметра оба корня уравнения положительны.

Решение. Квадратное уравнение имеет действительные положительные корни, если

Для данного уравнения

Значит, имеем следующую систему:

Решим 1-е неравенство

Решим 2-е неравенство

,

Решим 3-е неравенство

или

Т.к. знак неравенства то выбираем те интервалы, где +

Имеем

Решая эту систему, находим .

Ответ: при оба корня уравнения положительны.

Задача 2 (трансцендентное уравнение с параметром). Определить, при каких значениях параметра уравнение имеет хотя бы одно решение.

Решение. Пусть

Тогда получаем следующее уравнение

,

,

Решаем полученное уравнение. Возможны два случая:

1. если , то , подставляем это значение в уравнение

и получаем следующее

, откуда или, что то же самое,

помним, что на переменную было введено ограничение, поэтому уравнение будет иметь решение при

1. если , то

| :

но , поэтому , т.е. , имеем

Ответ: при и уравнение имеет хотя бы одно решение.