Комплексные числа

Комплексные числа.

Тема: Мнимая единица, множество комплексных чисел, алгебраическая форма комплексного числа, действия над комплексными числами в алгебраической формуле. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Определение: Мнимой единицей называется число j, квадрат которого равен «-1»

Пример:

Определение: Объединение множества действительных чисел с мнимой единицей называется множеством комплексных чисел и обозначается «С».

Определение: Выражение вида: a+bj, где а и b – действительные числа, j – мнимая единица, называется алгебраической формой комплексного числа.

а – действительная часть комплексного числа.

b – мнимая часть комплексного числа.

Если а=0, то bj – чисто мнимое комплексное число.

Задача:

Ответ: Корнями уравнения являются два сопряженных комплексных числа.

z=a+bj ему сопряженное , а противоположное -z = -a-bj

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части.

Комплексные числа в смысле «», «

Комплексное число z=a+bj геометрически изображается точкой М(a,b) на координатной плоскости и наоборот: каждая точка координатной плоскости

изображает какое либо комплексное число.

Комплексное число z=a+bj геометрически изображается радиусом вектора ОМ с координатными (а;b).

Определение: длина радиуса вектора изображающего комплексное число z=a+bj, называется модулем комплексного числа и обозначается «r»,

Определение: Аргументом комплексного числа называется величина угла, образованного радиус – вектором, изображающим комплексное число с положительным направлением действительной оси.

Действия над комплексными числами:

Пусть даны два комплексных числа: и

1. сложение:

2. вычитание:

3. умножение:

Произведением двух комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, является комплексное число в алгебраической форме, которое получается по правилу умножения двучлена на двучлен:

4. деление:

Частным двух комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, является комплексное число в алгебраической форме, которое получается после умножения числителя и знаменателя дроби на число, сопряженное знаменателю.

Задача:

Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и наоборот. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

Рассмотрим прямоугольный ОАМ

Определение: Выражение вида , где r- модуль, φ – аргумент комплексного числа, j – мнимая единица, называется тригонометрической формой комплексного числа.

; - формулы перехода

от тригонометрической к алгебраической форме.

Пример: 2,6(

Переход из тригонометрической формы к алгебраической производится с помощью калькулятора. r(cosφ+sinφj)=a+bj

Формулы перехода от алгебраической к тригонометрической форме комплексного числа: ; ;

Пример:

Переход от алгебраической формы комплексного числа

к тригонометрической осуществляется с помощью калькулятора. a+bj=r(cosφ+sinφj)

Действия над комплексными числами

в тригонометрической форме.

Сложение и вычитание выполняется только в алгебраической форме.

1) Умножение:

Пример:

2) Деление:

Пример:

3) Возведение комплексных чисел в n степень(формула Муавра) n – натуральное:

Пример:

4) Извлечение корня n-й степени.

Корень n-й степени из комплексного числа имеет ровно n-значений, которые получаются при к=0,1…(n-1)

, где k=0,1…(n-1)

Пример:

Тема: Показательная форма комплексного числа. Переход от показательной формы комплексного числа. Действия над комплексными числами показательной формы.

Формула Эйлера:

Определение: Выражение вида , где r-модуль, φ-аргумент, j-мнимая единица, называется показательной формой комплексного числа.

Т.к. комплексное число в показательной форме задается модулем r и аргументом φ, то формулой перехода от алгебраической формы к показательной и наоборот, такие же, как от тригонометрической к показательной и наоборот.

Пример:

Пусть даны комплексные числа: ;

1. умножение:

2. деление:

3. возведение в натуральную степень: z=(

4. извлечение корня n-й степени: к=0,1,…,(n -1)