Комплексные числа

Комплексные числа и операции над ними

Цель урока: познакомить учащихся с понятием комплексного числа; рассмотреть основные действия над комплексными числами.

План урока.

1. Организационный момент.

2. Изложение материала.

3. Домашнее задание.

4. Подведение итогов урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Изложение материала.

Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi, где i – мнимая единица, причем i ² = - 1.

Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.

Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b - действительные числа. При этом выполняются условия:

а) Два комплексных числа a₁ + b₁i и a₂ + b₂i равны тогда и только тогда, когда a₁=a₂, b₁=b₂.

б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

(a₁ + b₁i) + (a₂ + b₂i) = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂) i.

в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

(a₁ + b₁i) (a₂ + b₂i) = (a₁a₂ - b₁b₂) + (a₁b₂ - a₂b₁) i.

3. Алгебраическая форма комплексного числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0

Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a: a + 0i = a.

Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi: 0 + bi = bi.

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

1) Сложение.

Определение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1 i и z2 = a2 + b2 i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел z1 и z2 , то есть z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.

Числа z1 и z2 называются слагаемыми.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. Ассоциативность: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).

3º. Комплексное число – a – bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0

Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Вычитание.

Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z + z2 = z1.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственна.

Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Умножение.

Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2 i называется комплексное число z, определяемое равенством:

z = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1) i.

Числа z1 и z2 называются сомножителями.

Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).

1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2 5 – 3 (- 7)) + (2 (- 7) + 3 5)i =

= (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.

2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2 5 + 2 (- 7i) + 3i 5 + 3i (- 7i) =

= 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Деление.

Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пусть z₁ = a₁ + b₁i, z₂ = a₂ + b₂i, тогда

+ .

Пример 4. Найти частное .

1 способ. .

2 способ. .

5) Возведение в целую положительную степень.

а) Степени мнимой единицы.

Пользуясь равенством i² = -1, легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:

i³ = i² i = -i,

i⁴ = i² i² = 1,

i⁵ = i⁴ i = i,

i⁶ = i⁴ i² = -1,

i⁷ = i⁵ i² = -i,

i⁸ = i⁶ i² = 1 и т. д.

Это показывает, что значения степени iⁿ, где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .

Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.

Пример 5. Вычислите: (i ³⁶ + i ¹⁷) · i ²³.

i ³⁶ = (i ⁴) ⁹ = 1 ⁹ = 1,

i ¹⁷ = i ^{4 4+1} = (i ⁴)⁴ i = 1 · i = i.

i ²³ = i ^{4 5+3} = (i ⁴)⁵ i³ = 1 · i³ = - i.

(i ³⁶ + i ¹⁷) · i ²³ = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.

Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) ³

(4 + 2i) ³ = 4 ³ + 3 4² 2i + 3 4 (2i)² + (2i)³ = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

5. Геометрическое изображение комплексных чисел.

а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b) (рис.1).

Рисунок 1

б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).

Рисунок 2

III. Решение задач.

1. Даны комплексные числа: , , . Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

1. Вычислите:   а) (2 - i)(2 + i) - (3 - 2i) + 7;  б) ; 

2. Найти частное комплексных чисел:   а) ;    б) ;    в) .

3. Решите уравнения.

а) x2 – 4x + 5 = 0;

б) y3 – 6y + 9 = 0.

Вариант 2

1. Даны комплексные числа: , , . Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

1. Вычислите:   а) (3 + i)(3 - i) - (6 + 2i) + 7;   б)

2. Найти частное комплексных чисел:   а) ;   б) ;   в) .

3. Решите уравнения.

а) x2 + 6x + 12 = 0;

б) y3 – 12y + 16 = 0.

IV. Подведение итогов урока.