Комплексные числа

Комплексные числа и квадратные уравнения.

10 класс ( профильный уровень).

«Мысль выражать все числа знаками

настолько проста, что именно из-за

этой простоты сложно осознать,

сколь она удивительна»

Пьер Симон Лаплас

Цели урока:

1.Обучающая:

• формирование у школьников различных приёмов мыслительной деятельности;

• включение новой информации в структуру прежних знаний;

• расширить сведения учащихся о числах;

2. Воспитательная:

• привитие интереса к предмету;

• формирование уверенности в своих знаниях.

• воспитание чувства ответственности.

3. Развивающая:

• развитие эмоционально-положительного отношения к изучению математики.

Задачи урока:

• Обобщить и систематизировать знания, умения и навыки учащихся по теме урока.

• Развивать умения применять теоретические знания при решении заданий; умение анализировать, сравнивать, обобщать, устанавливать причинно-следственные связи; классифицировать.

• Формировать навыки самостоятельной деятельности

Учебно-методическая карта фрагмента урока

На прошлых уроках мы познакомились с понятием комплексного числа, алгебраической формой записи комплексного числа, научились выполнять различные действиями над комплексными числами, научились находить модуль и аргумент комплексного числа.

Актуализация

Работа в парах - решение кроссворда (историческая справка), для слабых тестирование. (проверка)

Индивидуальная работа. Заполняют лист само оценивания.

Вариант 1

1. Даны два комплексных числа Z₁= (10 + 2i ) и Z₂=(1 – 6i ). Найдите их сумму, разность, произведение и частное.

Вариант 2.

Даны два комплексных числа z₁= (12 + 2i ) и z₂=(3 – 4i ). Найдите их сумму, разность, произведение и частное.

Ответы:

Вариант 1

1. Z₁+ Z₂=11 – 4i

2. Z₁- Z₂=9 +8i

3. Z₁ Z₂=22 -58i

4.

Вариант 2

1. Z₁+ Z₂=15 – 2i

2. Z₁- Z₂=9 +6i

3. Z₁ Z₂=44 -42i

4. (Проверка по тетрадям учащихся через документ камеру)

Решите квадратные уравнения:

х² – 5х + 6=0 х² +6х+9=0 9х²-12х + 5 = 0

Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел

ax² + bx + c = 0

1 cлучай: D0, 2 корня, х_1,2 =

2 случай D=0, 1 коре нь, х_1,2 =

3 cлучай: D_1,2 =

Сколько корней может иметь записанное на доске квадратное уравнение?

9х²-12х + 5 = 0

У доски решает ученик:

9х²-12х+5=0

D= 144-180= -36, считаем, что

-Теперь вы можете блеснуть эрудицией, услышав, что при D

- Вот и сделали мы шаг в глубину математического айсберга. Комплексные числа широко применяются в электротехнике, в аэродинамике. Отец русской авиации, Н.Г. Жуковский использовал их при разработке теории крыла самолета. Возможно, они пригодились для получения промежуточного результата.

x ²– 4x + 13 = 0.
  9 x ²+ 12x + 29 = 0.

Взаимопроверка

Ответы:

1) 𝑥=(4+6𝑖)/2=2+3i 𝑥=(4−6𝑖)/2=2-3i

2) 𝑥=(−12−30𝑖)/18=(−2)/3 − 5/3 𝑖 , 𝑥=(−12+30𝑖)/18=(−2)/3+ 5/3 𝑖

Самопроверка.

1. Решите уравнение x² – 4x + 5 = 0.

Решение. D = – 4 уравнение имеет мнимые корни:   2+i, 2-i

2. Решите уравнение x² – x + 10 = 0.

Решение. D = – 39 , уравнение имеет мнимые корни:  

3. Решите уравнение x² – 4x + 13 = 0.

Решение. D = – 36 уравнение имеет мнимые корни:   2+3i, 2-3i

4. Решите уравнение x² – 2x + 15 = 0.

Решение. D = – 56 , уравнение имеет мнимые корни:  

А как бы вы решили следующее квадратное уравнение?

1. х² + (5 – 2i) x + 5(1– i) = 0;???????

Вот над этой проблемой будем работать на следующем уроке, а желающие могут попробовать самостоятельно попробовать свои силы.

Домашнее задание п.35 №7-8(а, б),10.

Спасибо за урок!

Вариант 1

1. Даны два комплексных числа Z₁= (10 + 2i ) и Z₂=(1 – 6i ). Найдите их сумму, разность, произведение и частное.

2. Проверьте правильность следующих утверждений:

а) Сумма и разность чисто мнимых чисел есть чисто мнимое число.

Для проверки возьмите числа: Z₁=2i, Z₂=-3i

б) Произведение двух чисто мнимых чисел равно действительному числу.

Для проверки возьмите числа: Z₁=-5i, Z₂=3i

в) Квадрат чисто мнимого числа равен действительному отрицательному числу.

Для проверки возьмите числа: Z₁=10i

г) Произведение чисто мнимого числа на действительное равно чисто мнимому числу.

Для проверки возьмите числа: Z₁=7i, Z₂=3

которых равны 2.

Вариант 2.

Даны два комплексных числа z₁= (12 + 2i ) и z₂=(3 – 4i ). Найдите их сумму, разность, произведение и частное.

2. Проверьте правильность следующих утверждений:

а) Сумма и разность чисто мнимых чисел есть чисто мнимое число.

Для проверки возьмите числа: Z₁=2i, Z₂=-3i

б) Произведение двух чисто мнимых чисел равно действительному числу.

Для проверки возьмите числа: Z₁=-5i, Z₂=3i

в) Квадрат чисто мнимого числа равен действительному отрицательному числу.

Для проверки возьмите числа: Z₁=10i

г) Произведение чисто мнимого числа на действительное равно чисто мнимому числу.

Для проверки возьмите числа: Z₁=7i, Z₂=3

1. Решите уравнение x² – 4x + 5 = 0.    2+i, 2-i

2. Решите уравнение x² – x + 10 = 0.  

3. Решите уравнение x² – 4x + 13 = 0. 2+3i, 2-3i

4. Решите уравнение x² – 2x + 15 = 0.

1. Решите уравнение x² – 4x + 5 = 0.    2+i, 2-i

2. Решите уравнение x² – x + 10 = 0.  

3. Решите уравнение x² – 4x + 13 = 0. 2+3i, 2-3i

4. Решите уравнение x² – 2x + 15 = 0.

Карточка само оценивания. 

Ф. И. _______________________________________________

 Система оценивания:

"+" - справился с заданием без затруднений,

"±" - справился с заданием, но возникали сложности,

"-" - не справился с заданием.

Если у вас: 5- 4,5 «+» - ставим оценку «5»;

4- 3,5 «+» - «4»;

3- 2,5 «+» - «3».