Конспект и презентация к уроку информатики в 11 классе по теме "Логика высказываний."

04.05.2018

Математическая логика

Предмет логики

Логика  

( др.-греч. « λογική»  — «искусство рассуждения»)  — наука, изучающая законы и формы мышления.

Реализация идеи Лейбница принадлежит английскому учёному Д. Булю. Он создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания. Введение символических обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее значение, как и введение буквенных обозначений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки – МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Впервые в истории идеи о построении логики на математической основе были высказаны немецким математиком Г. Лейбницем (1646-1716) в конце XVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по особым правилам. Это позволит всякое рассуждение заменить вычислением.

Как самостоятельная наука логика оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384-322 г.г до н.э.). Он систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться формальной или Аристотелевой логикой.

История

Высказывания

Понятие высказывания является исходным понятием математической логики.

Высказывание – утвердительное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно.

Обычно высказывания обозначаются заглавными латинскими буквами, а само предложение заключается в фигурные скобки.

Законы алгебры логики

6. A ∧ (A ∧ A) = A

7. L = I

8. A ν L = A

9. A ∧ L = A

10. A ∧ A = L

1. А = А

2. А ν А = А

3. А ∧ А = А

4. А ν А = I

5. A ν (A ν A) = I

I – тождественно-истинное высказывание L – тождественно-ложное высказывание

Отрицание

Отрицанием высказывания А называется такое высказывание, что В ложно, когда А истинно и В истинно, когда А ложно.

А

А

И

Л

Л

И

Дизъюнкция

А

В

и

и

АνВ

и

л

л

и

и

и

л

и

л

л

Дизъюнкцией высказываний А и В называется такое высказывание АνВ, ложное лишь в том случае, если оба высказывания А и В ложные.

A ≡ {Луна - спутник Земли}

В ≡ {Солнце- спутник Земли }

АνВ ≡ {Луна - спутник Земли или

Солнце - спутник Земли}

импликация

Импликацией высказываний А и В называется такое высказывание А→В, ложное лишь в том случае, когда высказывание А – истинное и В – ложное.

А

В

и

А→В

и

и

л

и

л

л

и

л

и

л

и

A ≡ {Лето жаркое},

B ≡ {Зима будет холодной}

А→В ≡ {Eсли лето жаркое, то зима будет холодной.}

конъюнкция

Конъюнкцией высказываний А и В называется такое высказывание А∧В, истинное лишь в том случае, если оба высказывания А и В истинные.

А

В

и

А∧В

и

и

и

л

л

л

л

и

л

л

л

А∧В ≡ {Даша и Кирилл учатся вместе в 11 классе}

A ≡{Даша учится в

11 классе}

В ≡{Кирилл учится в

11 классе}

Строгая дизъюнкция

Строгой дизъюнкцией высказываний А и В называют высказывание А ⊕ В, истинное лишь в случаях, когда А – истинное и В – ложное высказывание или А – ложное и В – истинное высказывание.

А

В

и

и

А⊕В

и

л

л

л

и

и

л

и

л

л

А ⊕ В ≡ {Сейчас Алсу танцует или гуляет}

А ≡ {Сейсас Алсу танцует}

В ≡ {Сейчас Алсу гуляет}

Приоритет выполнения операций

3

5

2

1

4

1

Аν(В ~С) ∧ А → (ВνС)

1. Действия в скобках

2. Отрицание

3. Конъюнкция

4. Дизъюнкция

5. Импликация, эквиваленция, строгая дизъюнкция

Законы математической логики

Коммутативность

ν

В

А

∧

А

В

Ассоциативность

( )

( )

А ∧ В ∧ С

А ν В ν С

Дистрибутивность

А ∧ В ν С

( )

А

∧

( )

( )

( )

ν

А

А ν В ∧ С

Законы де Моргана

А

В

ν

∧

А

В

ν

∧

Алгебра высказываний

Строгая дизъюнкция

Отрицание

Дизъюнкция

Действия над высказываниями

Эквиваленция

Импликация

Конъюнкция