Урок информатики на тему "Алгебра высказываний"

Задания для самостоятельного выполнения

3.6. Определите истинность составного высказывания: , состоящего из простых высказываний:

А = {Принтер – устройство вывода информации},

В = {Процессор – устройство хранения информации},

С = {Монитор – устройство вывода информации},

D = {Клавиатура – устройство обработки информации}.

3.7. Выделите в составных высказываниях простые. Обозначьте каждое их них буквой; запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание.

1) Число 376 четное и трехзначное.

2) Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.

3) Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3

4) Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа 15 делится на 3.

3.8. Ниже приведена таблица, левая колонка которой содержит основные логические союзы.

Заполните правую колонку таблицы соответствующими названиями логических операций.

3.9. Найдите значения логических выражений:

а); б); в);

г); д); е);

ж); з); и).  

3.10. Даны два простых высказывания:

А = {2  2 = 4}, В = {2  2 = 5}.

Какие из составных высказываний истинны:

а); б); в) А & В; г) A  В; д) А  В; е) А  В.

3.11. Даны простые высказывания:

А = {53}, В = {2=3} и С = {4

Определите истинность составных высказываний:

а) (A  B) & C  (A&C) (B&C); б) (A&B)  C  (A  C) & (A  B).

3.12.Даны простые высказывания:

А = {Принтер – устройство ввода информации},

В = {Процессор – устройство обработки информации},

С = {Монитор – устройство хранения информации},

D = {Клавиатура – устройство ввода информации}.

Определите истинность составных высказываний:

а) (А&В)  (C  D); б) (А&В)  (C  D); в) (А  В)  (C  D); г) .

3.13. Дано составное высказывание не (не А и B), где A и B — простые высказывания. В каком случае данное высказывание будет ложным?

3.14. Запишите в виде логической формулы следующие высказывания:

1. Если Иванов здоров и богат, то он здоров.

2. Число является простым, если оно делится только на единицу и само на себя.

3. Если число делится на 4, то оно делится и на 2.

4. Произвольно взятое число либо делится на 2, либо делится на 3.

5. Спортсмен подлежит дисквалификации, если он некорректно ведет себя по отношению к сопернику или судье, и если он принимал “допинг”.

3.15. Проверьте правильность выполнения заданий 3.6 - 3.9 с помощью калькулятора NumLock Calculator 3.3

Раздел «Основы логики» урок 2

Конспект урока

Тема: Алгебра высказываний. Логические операции.

Цели:

Обучающая: сформировать понятия логических операций инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, научить решать простые задачи на логические операции.

Развивающая: развитие логического мышления, научного мировоззрения.

Воспитывающая: воспитание информационной культуры учащихся, внимательности, аккуратности, дисциплинированности, усидчивости.

План:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Изучение нового материла.

4. Решение задач.

5. Итог урока. Задание домашней работы.

Ход урока

1. Организационный момент

Проверка отсутствующих.

Запись темы урока.

2. Актуализация знаний.

1. Что такое высказывание?

2. Каким может быть высказывание?

3. Какое высказывание называют простым, какое сложным?

4. Какие из следующих предложений являются высказыванием?

   1. Число 6 – четное.

   2. Посмотрите на доску.

   3. Все роботы являются машинами.

   4. У каждой лошади есть хвост.

   5. Внимание!

   6. Кто отсутствует?

   7. Есть кошки, которые дружат с собаками.

   8. Не все то золото, что блестит.

   9. Х²=0

   10. Некоторые люди являются художниками.

   11. Выразите 1 час 15 минут в минутах.

   12. Всякий моряк умеет плавать.

3. Изучение нового материала. Решение задач

Алгебра в широком смысле этого слова наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над различными математическими объектами (алгебра переменных и функций, алгебра векторов, алгебра множеств и т.д.). Объектами алгебры логики являются высказывания.

Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Ее интересует только один факт — истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.

Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными латинскими буквами:

А = {Аристотель - основоположник логики}

В = {На яблонях растут бананы}.

Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0.

Таким образом, А = 1, В = 0.

Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов, которые в алгебре высказываний заменяются на логические операции. Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение):

• в естественном языке соответствует союзу и;

• в алгебре высказываний обозначение &; ;

• в языках программирования обозначение And.

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией.¹

Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.

Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение):

  в естественном языке соответствует союзу или;

  обозначение , , | ;

  в языках программирования обозначение Or.

Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.²

Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате сложения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо множеству А, либо множеству В.

Логическая операция ИНВЕРСИЯ (отрицание):

  в естественном языке соответствует словам неверно, что... и частице не;

  обозначение ; ;

  в языках программирования обозначение Not;

Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией.¹

Отрицание - это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества, т.е. множеству получившемуся в результате отрицания множества А соответствует множество , дополняющее его до универсального множества.

Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование):

     в естественном языке соответствует обороту если ..., то ...;

     обозначение  .

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то …».²

Импликация - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность):

     в естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда; в том и только в том случае;

     обозначения  , ~ , .

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…тогда и только тогда, когда …».³

Эквиваленция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. Таблица истинности эквиваленции:

Логические операции имеют следующий приоритет:

действия в скобках, инверсия, &,  ,  ,  .

4. Решение задач

Пример 3.6. Определите истинность составного высказывания: , состоящего из простых высказываний:

А = {Принтер – устройство вывода информации},

В = {Процессор – устройство хранения информации},

С = {Монитор – устройство вывода информации},

D = {Клавиатура – устройство обработки информации}.

Сначала на основании знания устройства компьютера устанавливаем истинность простых высказываний: А = 1, В = 0, С = 1, D = 0.

Определим теперь истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических операций:

Составное высказывание ложно.

Проверим правильность полученного результата с использованием NumLock Calculator 3.3

 Решение задач 3.7(1), 3.9 (а,б).

5. Итог урока. Задание домашней работы

Д/З 3.7(2-4), 3.9(в-з).

Какие из операций являются высказываниями?

1. Какой длины эта лента?

2. Прослушайте сообщение.

3. Делайте утреннюю зарядку!

4. Назовите устройство ввода информации.

5. Кто отсутствует?

6. Париж – столица Англия.

7. Число 11 является простым.

8. 4+5=10.

9. Без труда не вытащишь и рыбку из пруда.

10. Сложите числа 2 и 5.

11. Некоторые медведи живут на севере.

12. Все медведи – бурые.

13. Чему равно расстояние от Москвы до Ленинграда.

1 Угринович стр.126

2 Угринович стр.127

1 Угринович стр.128

2 Угринович стр.133

3 Угринович стр.135

2

Урок информатики на тему:

Алгебра высказываний. Логические операции.

Какие из следующих предложений являются высказыванием?

• Есть кошки, которые дружат с собаками.
• Не все то золото, что блестит.
• Х 2 =0
• Некоторые люди являются художниками.
• Выразите 1 час 15 минут в минутах.
• Всякий моряк умеет плавать.

Обозначение высказываний

• в естественном языке соответствует союзу “ и ”
• в алгебре высказываний обозначение &; ∩ ; 
• в языках программирования обозначение And

А

В

0

0

А  В

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

Диаграмма Эйлера-Венна

А

А  В

B

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией

• в естественном языке соответствует союзу или ;
• обозначение ,  , | , +

• в языках программирования обозначение O r.

А

В

0

0

А  В

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

Диаграмма Эйлера-Венна

А

B

А  В

Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией

• в естественном языке соответствует словам неверно, что... и частице не ;
• обозначение ¯ , ¬
• в языках программирования обозначение Not

Диаграмма Эйлера-Венна

А

не А

0

1

1

0

1

А

не А

Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией

" width="640"

• в естественном языке соответствует обороту « если ..., то ... »
• обозначение =

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то …»

B 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1" width="640"

А

В

0

А= B

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

• в естественном языке соответствует оборотам речи «… тогда и только тогда…» ; «… в том и только в том случае…»
• обозначения , ~ , ≡

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…тогда и только тогда, когда …».

А

В

0

А B

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

1

• Определите истинность составного высказывания: , состоящего из простых высказываний:
• А = {Принтер – устройство вывода информации},
• В = {Процессор – устройство хранения информации},
• С = {Монитор – устройство вывода информации},
• D = {Клавиатура – устройство обработки информации}.

• § 3.2
• № 3.7(2-4), № 3.9(в-з).

Какие из операций являются высказываниями?

• Какой длины эта лента?
• Прослушайте сообщение.
• Делайте утреннюю зарядку!
• Назовите устройство ввода информации.
• Кто отсутствует?
• Париж – столица Англия.
• Число 11 является простым.
• 4+5=10.
• Без труда не вытащишь и рыбку из пруда.
• Сложите числа 2 и 5.
• Некоторые медведи живут на севере.
• Все медведи – бурые.
• Чему равно расстояние от Москвы до Ленинграда.