Конспект урока геометрии по теме: «Решение задач на многогранники, цилиндр, конус и шар» (11 класс)

11 класс Геометрия Урок № 29

Тема: Решение задач на многогранники, цилиндр, конус и шар.

Цели:

• закрепить основные понятия по изученной теме;

• совершенствовать навык решения задач на комбинацию: призмы и сферы; конуса и пирамиды.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Учитель и ученики приветствуют друг друга, выявляются отсутствующие.

II. Проверка домашнего задания

Учитель берёт тетради у 2 – 3 учащихся для проверки домашней работы.

III. Актуализация опорных знаний

Учитель проводит фронтальный опрос:

– Какая призма называется вписанной в сферу?
– Какая призма называется описанной около сферы?
– Какая призма называется правильной?
– Около всякого ли прямоугольника можно описать окружность?
– Где находится центр этой окружности?
– Во всякий ли прямоугольник можно вписать окружность?
– А в какой можно?

IV. Решение задач

1. Теория на комбинацию: призма и шар.

а) Шар вписанный в призму.
– Шар можно вписать в прямую призму, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности.
– Центр вписанного шара лежит на середине высоты прямой призмы, проходящей через центр окружностей вписанных в основания призмы, а радиус шара равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы.

б) Шар, описанный около призмы.
– Около призмы можно описать шар тогда, когда призма прямая и около основания можно описать окружность.
– Центр шара, описанного около прямой призмы, лежит на середине высоты призмы, проведённой через центр окружности, описанной около основания.

2. Решение задач по учебнику

Задача №632

Дано:
АВСА₁В₁С₁ – правильная призма,
О и О₁ – центры основной призмы;
сфера (S; R) вписанная в призму.

Доказать: OS = SO₁.

Доказательство:

Сфера касается всех граней призмы, центр её должен быть равноудалён от оснований, т.е. лежать на середине высоты призмы. Отрезок ОО₁, соединяющий центры оснований, является высотой призмы и все точки, лежащие на отрезке ОО₁, равноудалены от боковых граней призмы. (О и О₁ – центры вписанных в основания окружностей.) Таким образом, середина О₁О, точка S, является центром сферы.

Задача №634 (а)

Дано:
ABCD А₁В₁С₁D₁ – куб, сфера (О; R) вписанная в куб.
Найти: S полной поверхности куба.
Решение:
Рассмотрим сечение KLPQ, где K, L, P, Q – середины
АА₁, ВВ₁, СС₁ и DD₁ соответственно. В сечении получим
квадрат и вписанную в него окружность, её радиус равен
радиусу сферы. Пусть ребро куба равно а, а = 2R. Площадь одной грани равна а² или 4R².
S_П.П. = 6 ∙ 4R² = 24R².
Ответ: 24R².

З адача №639 (б)

Дано:
Вписанная правильная шестиугольная призма,
Н₁Н₂ = R высота призмы; сфера (O; R)

Найти: S полной поверхности призмы.

Решение:
Н₁ и Н₂ – центр оснований призмы.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через диаметр оснований призмы перпендикулярного основаниям призмы. Получим прямоугольник АА₁В₁В.

Из прямоугольного ΔОА₁Н₁:

А₁Н₁ = = (по теореме Пифагора). А₁Н₁ – радиус описанной окружности около основания призмы, а в правильном шестиугольнике его сторона равна радиусу описанной около него окружности.

Сторона основания а. а = , площадь грани R ∙ а = .

S_бок. = 6 ∙ = 3 R².

S_оcн. = = ∙ = = .

S_п.п. = 2S_оcн. + S_бок.

S_п.п. = 2 ∙ + 3 R² = + = .

Ответ: .

V. Закрепление изученного материала

Самостоятельное решение упражнения

Учащиеся самостоятельно (до конца урока) решают №630.

VI. Подведение итогов урока

Учитель берёт тетради у более подготовленных учеников и проверяет решение №630.

Учитель выставляет оценки,тем самым подводит итоги урок.