Конспект урока геометрии по теме: «Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости» (10 класс)

10 класс ГЕОМЕТРИЯ Урок № 32

Тема: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.

Цель: повторить признак перпендикулярности прямой и плоскости; доказать теорему существования и единственности прямой, перпендикулярной плоскости.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Учитель и ученики приветствуют друг друга, выявляются отсутствующие.

II. Повторение. Актуализация опорных знаний. Проверка домашнего задания

1. Работа с определёнными учащимися:

1. Сильный учащийся у доски повторяет доказательство признака перпендикулярности.
2) В это время 2 – 3 слабых ученика в тетрадях решают задачу:
В треугольнике АВС ∠С = 90°, АС = 12 см, ВС = 16, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, СК = 24 см. Найти КМ. (Ответ: 26 см.)

2. Фронтальный опрос и работа по готовым чертежам:

– Сформулируйте лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.
– Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?
– Сформулируйте теоремы, которые устанавливают связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
– Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
– Можно ли утверждать, что прямая перпендикулярна плоскости
(рис. 1), если она перпендикулярна лежащим в этой плоскости:
1) двум сторонам сторонам треугольника (да);
2) двум сторонам квадрата (нет);
3) диагоналям параллелограмма (да).
– Дано: АВСD – куб (рис.2).
Заполните пропуски о взаимном расположении прямых и плоскостей:
СС₁…(DCB); AA₁…(DCB); D₁C₁…(DCB); B₁C₁…(DD₁C₁); B₁C₁… DC₁; A₁D₁…DC₁; BB₁…AC; A₁B…BC; A₁B…DC₁.

III. Постановка темы и целей урока

Учитель сообщает тему и цели урока.

IV. Изучение нового материала

Формулируется и записывается в тетрадь теорема существования и единственности плоскости, проходящей через любую точку пространства перпендикулярно к данной прямой (это задача №133 учебника). Доказательство разбирается учащимися самостоятельно по учебнику (стр. 40).

– Сформулируйте обратную теорему.

Записывается и доказывается теорема:

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна. (Используется рис. 50 учебника).

V. Решение задач. Закрепление изученного материала

Задача № 122 (рис. 3)

Найти: АК, DA, BD.
Решение:
1) BD = AD, т.к. ΔBCD = ΔACD (как
прямоугольные по двум катетам).
2) AD = = = 32 см.
3) АК = ВС, т.к. ΔAОК = ΔВОК (как
прямоугольные по двум катетам).
4) АО = ОВ = ОС = = 16 см.
5) АК = = 20 см.

Ответ: АК = 20 см, BD = DA = 32 см.

З адача №125 (рис. 4)

Найти: P₁Q₁
Решение:
1) (РР₁ , QQ₁ ) РР₁ QQ₁.
2) (РР₁, QQ₁) = , = Р₁Q₁.
3) QK = 33,5 – 21,5 = 12 cм.
4) Р₁Q₁ = РК = 9 см.

Задача №1 из доп. литературы

Дано:
ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед;
AD = 9 дм; DC = 8дм; DB₁ =17 дм.
Найти: .

Решение:
ΔADВ:
∠BAD = 90°; АВ=DC=8 дм.
По теореме Пифагора BD = =
= (дм).
ΔВ₁ВD:
∠В₁ВD = 90°. По теореме Пифагора ВВ₁ = ВВ₁ = = = = 12 (дм).

S_сеч. = В₁В ∙ BD 12 (дм²).

Ответ: 12 дм².

Задача №2 из доп. литературы

Дано:
ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед;
AD₁ = 8 м; DС₁ = 10 м; DB = 12 м.

Найти: AD, DC, DD₁.
Решение: Обозначим AD = х (м);
DD₁ = z (м);
DC = y (м).

Из ΔAА₁D:
По теореме Пифагора А₁D² = A + AD²; 18² = x² + z².
Из ΔDCC₁:
по теореме Пифагора D = DC² + C ; 10² = y² + z².
Из ΔABD:
по теореме Пифагора BD² = AB² + AD²; 12² = x² + y².
Получим систему:

Сложим почленно 2 и 3 уравнения.

Ответ: 3 м; 3 м; м.

VI. Анонс домашнего задания

• Читать пункт 18.

• Решить №123, 127.

VII. Подведение итогов урока

Смоделируйте в классной комнате описанную ниже ситуацию:
Три луча ОМ, ОК и ОТ попарно перпендикулярны. Как расположен каждый из лучей по отношению к плоскости, определяемой двумя другими лучами?
(Угол; перпендикулярно).

Учитель выставляет оценки, тем самым подводит итоги урока.