КОНСПЕКТ УРОКА - ПРАКТИКУМА ПО МАТЕМАТИКЕ

Чертеж на доске

Решение

,

a

Расстоянием отпрямой до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки прямой на плоскость.

,

Расстоянием между параллельными плоскостями называют длину перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной из параллельных плоскостей на другую плоскость.

А

Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

А

A

наклонная

перпендикуляр

М

проекция

Н

Как называется отрезок АН? (Перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость).

Как называется точка Н? (Основание перпендикуляра)

Возьмем в плоскости точку М, отличную от точки Н. Проведем отрезок АМ. Это – …? (Наклонная, проведенная из точки А к плоскости).

Точка М называется? (Основание наклонной).

НМ – это…(Проекция наклонной АМ на плоскость)

1. Через вершину А треугольника АВС проведена прямая АD, перпендикулярная ABи AC.AH– высота треугольника. Докажите, что DH перпендикулярна BC.

D

A

B

H

C

Дано: , пр. AD,

,

Доказать:

Доказательство:

1. ,;

2. (по условию АН – высота треугольника);

3. По теореме о трех перпендикулярах .

1. В треугольнике АВС из вершины прямого С проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости треугольника. Отрезок DKAB. Докажите, что АВCK.

D

С

А

K

В

Дано: ,

пр.CD, ,DKAB

Доказать: ABCK.

Доказательство:

1. ;

2. DKAB (по условию);

3. По теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах АВCK.

2.Через вершину острого угла прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояния от точки D до вершин B и C, если AC=a, BC=b, AD=c.

B

A C

Дано: АВСтреугольник;

С=;

AD(ABC);

AC=a; BC=b; AD=c

Найти: DC, DC

Решение:

1) ADAB и АDAC (по определению);

2) АDACADC – прямоугольный;

3) DС=(по т. Пифагора);

4) АВ=(по т. Пифагора);

5) ADABADВ – прямоугольный;

6) DB=(по т. Пифагора);

Ответ:;.

3.В правильном треугольнике ABC через вершину С проходит прямая , О-центр ABC.через точку О проведена прямая . Найти расстояние от точки K до вершин А и В, если известно, что см, ,.

D

K

B

O

C

A

Дано:

ABC-правильный;

;

О-центр ABC;

С

;

;

;

Найти: AK, BK

Решение:

1) O-центр треугольника, где AH, CM-медианы;

2) (по теореме);

3) (по следствию из определения);

4) ;KO – общая; OA=OB

AH=BM как медианы равностороннего треугольника;

(по двум катетам);

5) AK=KB, как соответственные стороны равных треугольников;

6) - прямоугольный (AH – медиана равностороннего треугольника)

7) ;

8) (по теореме Пифагора).

Ответ: 20 см.

4.Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD , диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что расстояния от точки К до прямых, содержащих стороны ромба равны.

K

С B

M O

A D

N

В O D

M N

A

Дано:ABCD – ромб, ,

Доказать:

Доказательство:

1. . Это можно доказать из равенства треугольников и.

2. и - прямоугольные;

3. OK – общая сторона;

4. Докажем, что ОМ=ОNиз треугольников и.

=

(диагонали ромба точкой (по трем сторонам)

пересечения делятся пополам)

1. (по теореме, обратной теореме о 3х перпендикулярах) - высота ;

2. ( по теореме, обратной теореме о 3х перпендикулярах) - высота ;

3. =высоты ;

1. =по двум катетам .

5.В основании тетраэдра MPNK лежит треугольник MPHс прямым углом Н. Прямая НК перпендикулярна плоскости треугольника. Будет ли отрезок HFперпендикуляренMP, если наклонная КFсоставляет с прямой MP угол 90^о?

К

N

М P

F

Дано: MPNK – тетраэдр,

- основание, ,

,

Доказать:

Доказательство:

1. (по условию);

2. , KF – наклонная к плоскости (по условию);

3. По теореме о трех перпендикулярах.

1. В ромбе ABCD угол А равен 60^о, сторона ромба равна 4 см. Прямая АЕ перпендикулярна плоскости ромба. Расстояние от точки Е до прямой DC равно 4 см. Найдите расстояние от точки Е до прямой АС.

E

B

4см

A C

K D

A

K D C

Дано: ABCD – ромб, АВ=4 см,

, см.

Найти:

Решение:

1. - перпендикуляр, опущенный из точки E на прямую CD. определим точку, являющуюся основанием перпендикуляра на прямой CD.

Т.к. , то (по свойству ромба), тогда тупоугольный, значит =АК, где К – точка, лежащая на прямой CD левее точки D.

По условию, , значит, по теореме о 3х перпендикулярах, , т.е. .

1. Найдем ЕАиз:

.

найдем из.

1. В (как смежный с ), значит , тогда (как катет, лежащий напротив )

По теореме Пифагора

Ответ: 2 см.

2. Прямые PP₁ и QQ₁ перпендикулярны плоскости и пересекают плоскость соответственно в точках P₁ и Q₁. Известно, что PP₁=21.5, QQ₁=33.5, PQ=15. найти расстояние между прямыми PP₁ и QQ₁

Дано:

- плоскость;

PP₁;

QQ₁;

Q₁

P₁

Найти: P₁Q₁

Решение:

1) (по следствию из определения);

2) (по следствию из определения);

3);

4) - прямоугольная трапеция (по определению);

5) (по построению);

6)

7) -прямоугольник

8) PH=P₁Q₁ (по свойству прямоугольника)P₁Q₁=9

Ответ: 9.

3. Отрезок BM перпендикулярен к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD перпендикулярна к плоскости MBC.

1)Учебник № 154.Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Известно, что BD=9 см, АС = 10 см, BC=BA=13 см. Найдите а) расстояние от точки Dдопрямой АС; б) площадь треугольника ACD.

D

9см

B A

K

13см 10см

C

Дано:,,

, BD=9 см,

АС = 10 см

Найти: а) ;

б) .

Решение:

а)

1. 

2. - это длина перпендикуляра, проведенного из точки D на прямую АС. =DK, .

3. - проекция наклонной DK на плоскость треугольника, по теореме о трех перпендикулярах .

4. Найдем DK из прямоугольного.

, т.к. BK – высота равнобедренного.

.

б) .

Ответ: а) ;

б) .

2)В треугольнике АВС угол С прямой, а угол А равен 30. Через точку С проведена прямая CM, перпендикулярная плоскости треугольника, AС=18 см, СМ=12 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ.

М

12см

C

В

18см

К

А

Дано:,

,AС=18 см, СМ=12 см

Найти:

Решение:

1. - длина перпендикуляра МК, опущенного из точки М на прямую АВ, ;

2. ;

3. По теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, ;

4. Найдем МК из прямоугольного :

. СК найдем из прямоугольного;

1. (катет, лежащий напротив угла равен половине гипотенузы)

2. .

Ответ: .

Самостоятельная работа В-1_______________________________

1. Прямая CD перпендикулярна плоскости остроугольного треугольника ABC. CK – его высота. Докажите, что прямые DK и ABвзаимно перпендикулярны.

D Доказательство:

А С 2)

3) По теореме о 3х перпендикулярах

C

K

В

1. В треугольнике АВС АВ=ВС, точка N – середина стороны АС. Прямая BD перпендикулярна плоскости основания. Докажите, что треугольник DNC– прямоугольный.

DДоказательство:

2)равнобедренный,

N – середина основания (по условию)

A

3) По теореме о 3х перпендикулярах

B

N 4) т.к.

C прямоугольный.

А

В

1. Диагонали плоского четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Из точки О проведены перпендикуляр ОМ к прямой АВ и перпендикуляр ОК к плоскости четырехугольника. Докажите, что угол между прямымиMK и AB прямой.

Доказательство:

1)

В С 2)

3) По теореме о 3х перпендикулярах

М О

А D

Самостоятельная работа В-2________________________________

1. Прямая АМ перпендикулярна плоскости равнобедренного треугольника ABC, ВА=АС. Точка Р такая, что ВР=РС. Докажите, что прямые МР и ВСвзаимно перпендикулярны.

Доказательство:

М 1)

2) равнобедренный, ВР=РС

(по условию)

В А 3) По теореме о 3х перпендикулярах

Р

С

1. Треугольник MNK– равносторонний. Прямая FM перпендикулярна сторонам МNи МК. Отрезок МЕ – высота треугольникаMNK. Докажите, что треугольник FEK – прямоугольный.

F Доказательство:

1)

F

2.

M

K3) По теореме о 3х перпендикулярах

Е

4) т.к.

Nпрямоугольный.

1. Диагонали квадратаABCD пересекаются в точке М, через которую проведена прямая MS, перпендикулярная плоскости квадрата. Точка Е лежит на стороне AD так, что MEAD. Докажите, что угол между прямыми SEи AD прямой.

S Доказательство:

1)

D C 2)

EM3) По теореме о 3х перпендикулярах

A B

1. Через вершину А треугольника АВС проведена прямая АD, перпендикулярная ABи AC.AH– высота треугольника. Докажите, что DH перпендикулярна BC.

1. В треугольнике АВС из вершины прямого С проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости треугольника. Отрезок DKAB. Докажите, что АВ CK.

D

C

A

К

В

1. Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD , диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что расстояния от точки К до прямых, содержащих стороны ромба равны.

B C

O

A

D

1. В основании тетраэдра MPNK лежит треугольник MPH с прямым углом Н. Прямая НК перпендикулярна плоскости треугольника. Будет ли отрезок HF перпендикулярен MP, если наклонная КF составляет с прямой MP угол 90^о?

К

Н

М Р

1. В ромбе ABCD угол А равен 60^о, сторона ромба равна 4 см. Прямая АЕ перпендикулярна плоскости ромба. Расстояние от точки Е до прямой DC равно 4 см. Найдите расстояние от точки Е до прямой АС.

Домашнее задание

1)Учебник № 154.

2)В треугольнике угол С прямой, а угол А равен 30. Через точку С проведена прямая CM, перпендикулярная плоскости треугольника, AС=18 см, СМ=12 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ.

Самостоятельная работаВ-1_______________________________

1. Прямая CD перпендикулярна плоскости остроугольного треугольника ABC. CK – его высота. Докажите, что прямые DK и AB взаимно перпендикулярны.

D

А

C

K

В

1. В треугольнике АВС АВ=ВС, точка N – середина стороны АС. Прямая BD перпендикулярна плоскости основания. Докажите, что треугольник DNC– прямоугольный.

B

A

C

1. Диагонали плоского четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Из точки О проведены перпендикуляр ОМ к прямой АВ и перпендикуляр ОК к плоскости четырехугольника. Докажите, что угол между прямымиMK и AB прямой.

Самостоятельная работаВ-2________________________________

1. Прямая АМ перпендикулярна плоскости равнобедренного треугольника ABC, ВА=АС. Точка Р такая, что ВР=РС. Докажите, что прямые МР и ВСвзаимно перпендикулярны.

М

В А

С

1. Треугольник MNK – равносторонний. ПрямаяFM перпендикулярна сторонам МN и МК. Отрезок МЕ – высота треугольника MNK. Докажите, что треугольник FEK – прямоугольный.

F

M K

N

1. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке М, через которую проведена прямая MS, перпендикулярная плоскости квадрата. Точка Е лежит на стороне AD так, что MEAD. Докажите, что угол между прямымиMEAD прямой.