Конспект урока по информатике в 10 классе "Представление чисел в компьютере"

Урок информатики для 10 класса

(профильный информационно-технологического класс)

Тема: «Представление чисел в компьютере».

Цель: познакомить учащихся с представлением целых и вещественных чисел в памяти компьютера.

Тип урока: изучение нового материала

Оборудование: интерактивная доска, презентация к интерактивной доске, карточки с разноуровневыми заданиями, карточки для индивидуальной оценки результатов.

План урока:

1. Организационный момент 3 мин

2. Актуализация знаний 7 мин

3. Объяснение нового материала 40 мин

4. Первичное закрепление 10 мин

5. Практическая работа 14 мин

6. Подведение итогов 3 мин

7. Домашнее задание 3 мин

Ход урока:

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний

Числовая информация была первым видом информации, который начали обрабатывать ЭВМ, и долгое время она оставалась единственным видом. А как вы думаете представлена числовая информация в памяти компьютера? (в виде двоичного кода)

Раз числа в компьютере представлены в виде двоичного кода, давайте вспомним алгоритм перевода из десятичной системы счисления в двоичную и обратно (учитель вызывает к доске ученика и помогает ему в решении примера).

63₁₀→А₂→111111₂

29,15₁₀→А₂ →11101,0010…₂

101101₂→А₁₀→45₁₀

1. Объяснение нового материала

В современном компьютере существует большое разнообразие типов и представлений чисел. Прежде всего, это целые и вещественные числа, которые по своей сути и по представлению в машине различаются очень существенно. Целые числа, в свою очередь, делятся на числа со знаком и без знака, имеющие уже не столь существенные различия.

Целые числа хранятся в памяти компьютера в формате с фиксированной запятой.

Вещественные числа в формате с плавающей запятой.

Учитель показывает в презентации схему, а ученики зарисовывают ее в тетрадь

Мы с вами будем рассматривать типы чисел в порядке увеличения их сложности.

• Целые неотрицательные числа (записать в тетрадь)

В математических задачах не так часто встречаются величины, не имеющие отрицательных значений, но беззнаковые типы данных получили в ЭВМ большое распространение. Главная причина состоит в том, что в самой машине и программах для нее имеется много такого рода объектов: прежде всего, адреса ячеек, а также всевозможные счетчики (количество повторений циклов, число параметров в списке или символов в тексте). К этому списку стоит добавить числа, обозначающие дату и время, размеры графических изображений в пикселях. Всё перечисленное выше всегда и во всех программах принимает только целые и неотрицательные значения.

Для хранения целых неотрицательных чисел отводится одна ячейка памяти (8 бит). Например, число А₂=10101010₂ (учитель показывает на доске, ученики в тетради) будет храниться в ячейке памяти следующим образом (учитель показывает на доске, ученики в тетради):

Минимальное число соответствует восьми нулям, хранящимся в восьми ячейках памяти, и равное нулю.

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае когда во всех ячейках хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно 2ⁿ – 1

Давайте определим, диапазон чисел, которые могут храниться в памяти компьютера в формате целого неотрицательного числа. Минимальное число, как мы уже сказали, соответствует восьми нулям и равно нулю. А максимальное число соответствует восьми единицам. Переведите число 11111111₂ в десятичную систему счисления (учитель вызывает ученика к интерактивной доске, ученик переводит число). Итак, получилось число 255, а это значит, что диапазон изменения целых неотрицательных чисел от 0 до 255.

Запишем алгоритм представления целого числа без знака в памяти компьютера:

1. Перевести число в двоичную систему счисления.

2. Нарисовать восьми-разрядную сетку.

3. Записать число в разрядную сетку, начиная с младшего разряда.

4. Заполнить оставшиеся разряды нулями.

Представим число 21₁₀ в восьми-разрядной или однобайтовой сетке. (учитель показывает на доске, ученики записывают в тетрадь)

1. Переведем число 21₁₀ в двоичную систему счисления 10101₂

2. Нарисуем однобайтовую разрядную сетку

   номер разряда 7	6	5	4	3	2	1	0

3. Запишем число в разрядную сетку, начиная с младшего разряда

   7	6	5	4	3	2	1	0
   			1	0	1	0	1

4. Заполним оставшиеся разряды нулями

Представьте число 37₁₀ однобайтовой сетке (учитель вызывает к доске ученика и помогает ему в решении примера)

1. Переведем число 37₁₀ в двоичную систему счисления 100101₂

2. Нарисуем однобайтовую разрядную сетку

   номер разряда 7	6	5	4	3	2	1	0

3. Запишем число в разрядную сетку, начиная с младшего разряда

   7	6	5	4	3	2	1	0
   		1	0	0	1	0	1

4. Заполним оставшиеся разряды нулями

• Целые числа со знаком (записать в тетрадь)

Для хранения целых чисел со знаком отводится две ячейки памяти или 16 бит, а для ранения больших целых чисел со знаком – четыре ячейки памяти или 32 бита. Добавление отрицательных значений приводит к появлению некоторых новых свойств. Ровно половина из всех 2^N чисел теперь будут отрицательными; учитывая необходимость нулевого значения, положительных будет на единицу меньше, т.е. допустимый диапазон значений оказывается принципиально несимметричным.

Для того чтобы различать положительные и отрицательные числа, в двоичном представлении чисел выделяется знаковый разряд. Для кодирования знака используется самый старший (левый) разряд, причем нулевое значение в нем соответствует знаку "+", а единичное – «-». Подчеркнем, что с точки зрения описываемой системы кодирования число ноль является положительным, т.к. все его разряды, включая и знаковый, нулевые.

Представление в компьютере положительных чисел с использованием формата «знак-величина» называется прямым кодом числа (записать в тетрадь). Например число 2011₁₀= 11111011011₂ будет представлено в 16-разрядном представлении следующим образом:

(учитель записывает на доске, ученики в тетради)

При представлении чисел в n-разрядном представлении со знаком максимальное положительное число со знаком (с учетом выделения одного разряда на знак) будет равно: A=2^n-1 – 1 (учитель записывает формулу на доске)

Минимальное отрицательное число равно: A=2^n-1(учитель показывает на доске формулу)

Определите диапазон чисел, которые могут храниться в памяти компьютера в формате:

1. Целых чисел со знаком

2. Больших целых чисел со знаком

1. Max= 2^16-1 – 1 = 32767₁₀

Min= –2^16-1= –32768₁₀

1. Max = = 2^32-1 – 1 = 2 147 483 647₁₀

Min= –2^32-1= –2147483648₁₀

а) Целые числа со знаком «+»

Представление положительных чисел при переходе от беззнаковых чисел к целым со знаком сохраняется, за исключением того, что теперь для собственно числа остается на один разряд меньше.

Запишем алгоритм представления целого числа со знаком плюс в памяти компьютера:

1. Перевести число в двоичную систему счисления.

2. Нарисовать к–разрядную сетку.

3. Указать код знака «+» в старшем разряде.

4. Записать число в разрядную сетку, начиная с младшего разряда.

5. Заполнить оставшиеся разряды нулями.

Пример. Представить число +25₁₀ в двухбайтовой разрядной сетке (учитель вызывает к доске ученика и помогает ему в решении примера)

1. Переведем число 25₁₀ в двоичную систему счисления 11001₂

2. Нарисуем двухбайтовую разрядную сетку

   15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0

3. Укажем код знака «+» в старшем разряде

   15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
   0

4. Запишем число в разрядную сетку, начиная с младшего разряда

   15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
   0											1	1	0	0	1

5. Заполним оставшиеся разряды нулями

б) Целые числа со знаком «-»

Предположим что, кодировать отрицательные значения можно точно так же, как и положительные, только добавлять в старший бит единицу. Подобный способ кодирования называется прямым кодом. Несмотря на свою простоту и наглядность, для представления целых чисел он не получил применения в ЭВМ. Главной причиной является то, что, хотя сам код прост, действия над представленными в нем числами выполняются достаточно сложно. Поэтому для практической реализации кодирования отрицательных чисел используется дополнительный код. Дополнительный код позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его быстродействие.

Запишем алгоритм представления целого числа со знаком минус в памяти компьютера:

1. Перевести модуль числа в двоичную систему счисления.

2. Записать число в прямом коде в n двоичных разрядах.

3. Получить обратный код числа, для этого значения всех битов инвертировать (все единицы заменить на нули, и все нули заменить на единицы).

4. Найти дополнительный код числа, прибавив к обратному коду единицу.

5. Нарисовать n–разрядную сетку.

6. Записать число в разрядную сетку.

Пример. Представить число -25₁₀ в двухбайтовой разрядной сетке (учитель вызывает к доске ученика и помогает ему в решении примера)

1. Переведем число 25₁₀ в двоичную систему счисления 11001₂

2. Запишем число в прямом коде в 16 двоичных разрядах
   0 000 000 000 011 001

3. Получим обратный код числа, для этого значения всех битов инвертировать

1 111 111 111 100 110

1. Найдем дополнительный код числа, прибавив к обратному коду единицу

1 111 111 111 100 110

+ 1

1 111 111 111 100 111

1. Рисуем 16–разрядную сетку.

1. Запишем число в разрядную сетку.

Итак, мы усвоили алгоритм представления десятичных чисел в памяти компьютера, попробуем выполнить обратный алгоритм. Нам дан код (учитель показывает на доске, ученики в тетради)

Какое это будет число? Положительное или отрицательное? (отрицательное) тогда каким алгоритмом мы будем пользоваться? (алгоритмом получения дополнительного кода)

(учитель вызывает к доске ученика и помогает ему в решении примера)

1. Вычитаем из этого числа 1

1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1

– 1

1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

1. Инвертируем

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1

1. Переведем в десятичное число 11111011011₂=2011₁₀

2. Припишем знак «–»: –2011₁₀

• Представление чисел в формате с плавающей запятой (записать в тетрадь)

Вещественные числа (конечные и бесконечные десятичные дроби) хранятся и обрабатываются в компьютере в формате с плавающей запятой. В этом случае положение запятой в записи числа может изменяться.

Формат чисел с плавающей запятой базируется на экспоненциальной форме записи, в которой может быть представлено любое число. Так число А может быть представлено в виде (учитель записывает формулу на доске):

А= т×qⁿ

Где m – мантисса числа,

q – основание системы счисления,

n – порядок числа

Представление числа в форме с плавающей точкой неодно­значно. Например, справедливы следующие равенства (учитель показывает на доске, ученики в тетради): 25,324 = 2,5324 • 10¹ = 0,0025324 • 10⁴ = 2532,4 • 10^-2 и т. п.

В компьютере используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализо­ванном представлении должна удовлетворять условию: 0,1 т 1 . Иначе говоря, мантисса меньше единицы и пер­вая значащая цифра — не ноль.