Конспект урока по теме "Логарифмические неравенства" (Алгебра и начала математического анализа, 10 класс)

10 класс АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 25.01.2024

Тема: Логарифмические неравенства.

Тип: изучение нового материала.

Цель: изучить методы решения логарифмических неравенств.

Задачи:
Образовательные: познакомиться с методикой решения логарифмических неравенств; практиковаться в решении логарифмических неравенств.

Развивающие: развивать у учащихся технику вычисления.

Воспитательные: прививать аккуратность и правильность записи математических символов; содействовать воспитанию интереса к математике.

Автор разработки урока: Попов Дмитрий Сергеевич.

ХОД УРОКА

I.Организационный момент.

- Здравствуйте, ребята! Сегодня мы продолжаем изучать логарифмы.

Учитель проводит перекличку.

II. Проверка домашнего задания

Учитель проводит проверку и анализ выполнения домашней работы.

III. Актуализация знаний

Учитель проводит фронтальный опрос:

- Дайте определение логарифма.

- От любого ли числа можно найти логарифм?

- Какое число может стоять на месте основания логарифма?

- Какие значения может принимать логарифмическая функция?

- Какие логарифмы называют десятичными?
- Какие логарифмы называют натуральными?

- Перечислите основные свойства логарифмов.

IV. Постановка темы и целей урока.

- Сегодня мы будем учиться решать логарифмические неравенства. Неравенства такого типа встречаются как в задания ЕГЭ по базовой математике, так и в заданиях ЕГЭ по профильной математике.

- Откройте тетради, запишите дату (25.01.2024) и тему урока «Логарифмические неравенства».

V. Работа по теме урока. Изучение нового материала.

Мы уже говорили о логарифмической функции и ее свойствах. Важным свойством, которым мы пользовались для решения логарифмических уравнений: монотонность.

Для   график логарифмической функции выглядит следующим образом:

 - возрастающая функция: чем больше  , тем больше  . Значит,  .

В отличие от уравнений, при решении логарифмических неравенствпроверкой обойтись не удастся, поэтому необходимо учитывать ОДЗ: 

Объединяя, получаем:  .

Для   график логарифмической функции выглядит следующим образом:

 - убывающая функция: чем больше  , тем меньше  . Значит,  .

ОДЗ:  .

Объединяя, получаем: 

.

При решении логарифмических неравенств лучше всего начинать с проверки ОДЗ

Рассмотрим такой полезный факт: как быстро определить знак логарифма?

Рассмотрим два случая:

1)   : 

2)   : 

Таким образом,  , если   и   лежат по одну сторону от 1, и  , если   и   лежат по разные стороны от 1.

Основные виды логарифмических неравенств

1) Простейшие 

2) Сводящиеся к простейшим 

3) С использованием свойств логарифмов 

4) С заменой 

5) С переменной в основании 

Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма  .

,то есть знак неравенства сохраняется.

ОДЗ представлено системой:

Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство  , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно проверить меньшее из чисел получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:

  Решение более сложных логарифмических неравенств

Пример 1:

Согласно методике решения простейших логарифмичеких неравенств, первым действием необходимо уравнять основания логарифмов, в данном случае представить правую часть в виде логарифма с требуемым основанием:

Получаем неравенство:

Учтем ОДЗ: 5-2х0

х2,5

Поскольку основание логарифма больше единицы, в эквивалентной системе знак неравенства сохранится:

Преобразуем:

Ответ: х

Пример 2:

Учтем ОДЗ:

ОДЗ: 

Согласно свойству логарифма преобразуем в левой части сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения:

Нам известно, что число Пи больше единицы ( ). Поэтому в эквивалентном неравенстве знак исходного неравенства сохраняется:

Преобразуем полученное неравенство:

Корни квадратного уравнения, стоящего в левой части, согласно теореме Виета  . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас значения находятся между корней уравнения:

Ответ с учетом ОДЗ:   

Сведение к простейшему логарифмическому неравенству часто осуществляется с помощью замены переменных.

 Пример 3:

Приведем второй член к основанию 5:

Получили неравенство:

замена: 

Имеем:

Согласно теореме Виета корни квадратного уравнения, стоящего в левой части:  . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас решения находятся в интервале между корнями.

Вернемся к исходным переменным:

Преобразуем согласно определению логарифма:

Ответ: 

 Пример 4:

Учтем ОДЗ:

ОДЗ: 

Согласно свойству логарифма преобразуем в левой части сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения:

Преобразуем правую часть в логарифм с требуемым основанием:

Имеем неравенство:

Основание логарифма больше единицы, получаем эквивалентное неравенство с тем же знаком:

Преобразуем:

Согласно теореме Виета корни квадратного уравнения, стоящего в левой части:  . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас решения находятся в интервале между корнями:

Ответ с учетом ОДЗ: 

Системы логарифмических неравенств решаются аналогично системам показательных неравенств: каждое из неравенств решается по отдельности, а затем находится пересечение.

Пример: 

VI. Решение упражнений. Закрепление изученного материала.
Учитель вызывает учащихся к доске для решения №354 (1,3), №355(1), №356(1), №357 (1), №359(1), №361 (1); №366.

Если остаётся свободное время, то учитель даёт дополнительные задания по учебнику.

VII. Рефлексия учебной деятельности
- Продолжите предложения:
1) Сегодняшний урок заинтересовал меня …
2) Я считаю нужным запомнить …
3) Мне надо узнать лучше о …

VIII.Домашнее задание

Учитель выдаёт учащимся карточки с домашним заданием (смотреть в приложении 1).

- Вызывают ли у вас вопросы задания домашней работы? Если да, то какие?

IX. Подведение итогов урока
Оценивание рабочей деятельности учащихся на уроке.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1